二面角是高中数学(教师版)

1、学习必备欢迎下载名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有:定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；三垂线法：如图 1，C 是二面角：.AB-?的面 1 内的一个点，CO_平面于 0,只需作 0D 丄 AB于 D,连接 CD，用三垂线定理可证明/ CDO 就是 所求二面角的平面角。垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面 ，使 垂直于二面角的棱，则 所成的角就是该二面角的平面角。例 1 如图 2，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正

2、三角形，平面 VAD 丄底面 ABCD .(1 )证明 AB 丄平面 VAD ;(2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小.解：(1)证明：平面 VAD 丄平面 ABCD AB 丄 AD十=二 AB _ 平面 VADAB 二平面 ABCDAD 二平面 VADfl 平面 ABCD(2)解：取 VD 的中点 E,连结 AF , BE ,VAD 是正三形，四边形 ABCD 为正方形,由勾股定理可知，BD =f：AB2 AD2二、AB2VA2二VB, AE 丄 VD , BE 丄 VD ,/ AEB 就是所求二面角的平面角与二面角的两个面的交线又在 Rt ABE 中，/ BAE=90AE=-

3、AD=AB ,因tan / AEB=ABAE即得所求二面角的大小为23 arcta n3例 2 如图 3, AB 丄平面 BCD , DC 丄 CB , AD 与平面 BCD 成 30的角, 且AB=BC.(1 )求 AD 与平面 ABC 所成的角的大小;(2 )求二面角 C-AD-B 的大小；S3欢迎下载3.略例 3 如图 4 , P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点,O.(1) 证明PA丄BF;(2) 求面APB与面DPB所成二面角的大小。解：(1 )在正六边形 ABCDEF 中，ABF为等腰三角形, P 在平面 ABC 内的射影为 0, PO 丄平面 ABF ,学习

4、必备(3 )若 AB=2，求点 B 到平面 ACD 的距离。解：(1)TAB 丄平面 BCD ,/ ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角，即/ ADB=30且 CD 丄 AB ,又 DC 丄 BC ,ABRBC=B, CD 丄平面 ABC , AD 与平面 ABC 所成的角为/ DAC ,设AB=BC=a,则AC=2a,BD=acot300=、3a,AD=2a,CD =BD2_BC2=2a, tan /DAC=竺二2a=1,-ZDAC=45,CD2CEsin CFE =0CF /CFE=a故，所求的二面角为arcsin 空PA = 1, P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点P欢

5、迎下载学习必备 AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；又 O 为 BF 中点，ABF为等腰三角形， AO 丄 BF ,有三垂线定理可知,PA 丄 BF.(2)TO 为 BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ， A、O、D 共线，且直线 AD 丄 BF , PO 丄平面 ABF ,BF 面 ABF,由三垂线定理可知，AD 丄 PB,过 O 在平面 PBF 内作 OH 丄 PB 于 H，连 AH、DH ,贝 U PB 丄平面 AHD,所以.AHD 为所求二面角平面角。又正六边形 ABCDEF的边长为 1 , AO1/21故,所求的二面角为 二-arctan-.9、面积射影法：如图 5，二面角：

6、 _|二为锐二面角， ABC 在半 平面内, ABC 在平面一：内的射影为A1B1C1，那么二面角:-I - 的大小v 应满足COS出S心BC例 4 如图 6，矩形 ABCD 中,AB=6,BC=2、3,沿对角线 BD 将ABC折起,使点 ABCD 内的射影为 O,且 O 在 DC 上.(1)求证:PD 丄 PC ;(2 )求二面角 P-DB-C 的平面角的余弦值；在.：AHO 中，OH21,tan . AHOAOOH1_2_21在.DHO 中，tan . DHODOOH32=21.2? -21从而，tan /AHD =tan(/AHO ZDHO )2 21 216 21721一移至点 P,且

7、 P 在平面欢迎下载(3)求 CD 与平面 PBD 所成的角的正弦值学习必备欢迎下载解：(1)证明： PC 在面 BCD 内的射影为 0C,且 0C 丄 BC ,由三垂线定理可知， BC 丄 PC,又TPB=6 , BC= 2. 3 , PC=26,而 PD=2、3, DC=6222PD PC=36=DC, PD 丄 PC.设 OC=x,贝 U OD=6-x , /BD2 DO2二BC2CO2,24 x = 12 -X, x = 4.SBOD=6 3 -4 3 =2 3,设二面角 P-DB-C 的大小为二，则COST -2 3J.6/331故，所求二面角为 arccos-.3三、空间向量法：I

8、、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。例 5 如图 7,直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE = EB , F 为 CE 上的点，且 BF 丄平面 ACE .(1)求证：AE 丄平面 BCE ;(2 )求二面角 B-AC-E 的大小；(3)求点 D 到平面 ACE 的距离。解：(1 )二面角 D-AB-E 为直二面角，AB 为棱，CB 丄 AB， CB 丄平面 EAB，进而可得， CB 丄 AE，又 BF 丄平面 ACE， AE 丄 BF，而BC平面BCE, BF平面BCE,且BCd BF=F, AE 丄平面 BCE.(2)PBD

9、在面BCD内的射影为OBD，且SPBD%3冷2 3 0C.BDBDOC学习必备欢迎下载T I行，另一个从二面角_ -的外部向内部穿行时，二面角一 -的大小就是m、n2的夹角。例 6 (20XX 年四川卷)如图 8，在长方体ABCD - A.B.C,D,中，E, P 分别是BC, A1D1的中点，M, N 分别是 AE,CD,的中点，AD =AA1=a,AB =2a(I)求证：MN /面ADD!A!;(n)求二面角 P AE - D 的大小。(川)求三棱锥P - DEN的体积。解：以D为原点，DA , DC , DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则A a,0,0, B a,2

10、a,0 ,C 0, 2a,0 , A1a,0, a口0,0, a(2)连结 BD 交 AC 于点 0,连结 0F，由于 ABCD 为正方形，所以 0B 丄 AC,又因为 BF 丄平面 ACE，由三垂线定理的逆定理可知，OF 丄 AC ,/ BOF 就是所求二面角的平面角在平面ABE 内系,易知C(0,2, 2 ) , E( 1 ,1,0 ),设 F( m, n, t ), C、E、F 三点共线, CF= CE，即m, n-2, t-2 1,-1,-2 ,m = -, n= 2 -, t= 2 一 2 即点 F 坐标为(,BFA=0,即2-2 入丁(0,2,2尸0,又BF 丄2(2 4 2一3,

11、故，点F的坐标为OB0仁1),OB01 - 1 .V3 33丿OFWB薦73co型B O F ) I=.故，所求的二面角为 arccos B 33II、直接求出平面二和的法向量 m、n2，利用向量的夹角公式求m、rb的夹角，再根据法向量 口、门2分别相对于二面角:- -的方向确定出二面角 ：I -的大小。一般地，当法向量T I内部)穿行时，二面角.-I - -的大小就是ni、n2的夹角的补角;n1n2都是从二面角： -1 - -的内部向外部(或外部向TT当法向量口、n2个从二面角 a -1的内部向外部穿学习必备欢迎下载 E,P,M ,N分别是BC,AD1,AE,CD1的中点学习必备欢迎下载6E

12、2,2a,0 ,Pf,0,a ,M苧,a,0 ,N 0,a,2,取n = 0,1,0，显然n _面ADD1A1n而MN二面ADDiAiMN /面ADDiA（2）显然，g =：0, 0,1是平面ABCD的一个法向量；设 讥hx, y, z是平面PAE的一个法向量，则 I,0,I,TE I,2I,0 .2，. 2，ax az = 0,2ax 2ay = 0.2SDEN=1DE DN sin :DE,DN21a22 8x/I。1法厉PDEN3SDENd3(i)MN-3I,0,I.42T T T T T fmAE = 0 且 m2AP =0.而AP=又法向量m = 0,0,1是从二面角P - AE - D的外部向内部穿行的，法向量m2= I2,，1 f是从二面角2I 2丿P - AE - D的内部向外部穿行的.故，所求二面角为arccos-2121(3)设山=xi, yi, zi为平面DENa又