2016-2017年广东省江门市高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2016-2017学年广东省江门市高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）i是虚数单位，若Z（1+i）=i，则|Z|=（）A1BCD2（5分）已知集合A=x|x2x60，B=x|x2+2x80，则AB=（）A（2，3）B（4，2）C（4，3）D（2，3）3（5分）在ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=（）A（2，4）B（0，4）C（2，4）D（0，4）4（5分）若等差数列an满足a1+a2+a2015+a2016=3，则an的前2016项之和S2016=（）A1506B150

2、8C1510D15125（5分）若a=log0.60.3，b=0.30.6，c=0.60.3，则（）AabcBacbCbacDbca6（5分）在平面直角坐标系中，“直线ax+y1=0与直线x+ay+2=0平行”是“a=1”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件7（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD8（5分）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则=（）ABCD9（5分）已知函数f（x）=2sinxc

3、osx+cos2x，则下列说法正确的是（）Af（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象B若f（x1）=f（x2），则x1x2=k，kZCf（x）的图象关于直线对称Df（x）的图象关于点对称10（5分）已知an=2n1（nN*），把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵，记S（m，n）表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S（8，6）=（）A67B69C73D7511（5分）过抛物线y2=2px（p0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x3）2+（y2）2=16，则p=（）A1B2C3D412（5分）设实数x，y满足，则3x22xy的最小值是（）ABCD二、填空

4、题：本题共4小题，每小题5分13（5分）若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为M=14（5分）如图，PABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tanPEF=15（5分）dx+=16（5分）对于函数，有如下三个命题：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*）f（x）的值域为0，+）若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内有3个不相等的实根其中，真命题是（将真命题的序号填写在横线上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，nN*（）求S1，S2，S3；（）由（

5、）推测Sn的公式，并用数学归纳法证明你的推测18（12分）已知ABC是锐角三角形，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足B（）求角A的值；（）若=12，a=2，求ABC的周长19（12分）如图，五面体ABCC1B1中，AB1=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四边形BCC1B1是矩形，二面角ABCC1为直二面角，D为AC的中点（1）证明：AB1平面BDC1；（2）求二面角CBC1D的余弦值20（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（ab0）的离心率为，椭圆E的顶点四边形的面积为16（）求椭圆E的方程；（）过椭圆E的顶点P（0，b）的直线l交椭圆于另一点M，交x轴于点N，若|PN|

6、、|PM|、|MN|成等比数列，求直线l的方程21（12分）已知函数（其中，e为自然对数的底数）（）求f（e）；（）求函数f（x）的极值；（）若整数k使得f（x）k（x1）恒成立，求整数k的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳（）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？23如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各

7、边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？2016-2017学年广东省江门市高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016秋江门月考）i是虚数单位，若Z（1+i）=i，则|Z|=（）A1BCD【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z，代入模的公式求得答案【解答】解：由Z（1+i）=i，得Z=，|Z|=故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题2（5分）（2016秋江门月考）已知集合A=x|x2x60，B=x

8、|x2+2x80，则AB=（）A（2，3）B（4，2）C（4，3）D（2，3）【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+2）0，解得：2x3，即A=（2，3），由B中不等式变形得：（x2）（x+4）0，解得：x4或x2，即B=（，4）（2，+），则AB=（2，3），故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）（2015大连二模）在ABC中，D为BC边的中点，若=（2，0），=（1，4），则=（）A（2，4）B（0，4）C（2，4）D（0，4）【分析】根据向量的几何意义和向量的坐标运算

9、计算即可【解答】解：=（1，4）（2，0）=（1，4）（1，0）=（0，4），故选：D【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题4（5分）（2016秋江门月考）若等差数列an满足a1+a2+a2015+a2016=3，则an的前2016项之和S2016=（）A1506B1508C1510D1512【分析】根据等差数列的性质得到a1+a2016=a2+a2015=1.5则an的前2016项之和S2016=【解答】解：等差数列an满足a1+a2+a2015+a2016=3，a1+a2016=a2+a2015=1.5S2016=1512故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n

10、项和，是基础的计算题5（5分）（2016秋江门月考）若a=log0.60.3，b=0.30.6，c=0.60.3，则（）AabcBacbCbacDbca【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解【解答】解：a=log0.60.3log0.60.6=1，0b=0.30.60.30=1，10.60c=0.60.30.60.60.30.6=b，故acb故选：B【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用6（5分）（2016秋江门月考）在平面直角坐标系中，“直线ax+y1=0与直线x+ay+2=0平行”是“a=1”的（）A充分非必要条件B必要

11、非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可【解答】解：当a=0时，两直线分别为y=1和x=2，此时两直线垂直，不满足平行，当a0时，若两直线平行，则满足，则a2=1，得a=±1，则充分性不成立，当a=1时，两直线平行，则两直线平行，即必要性成立，则“直线ax+y1=0与直线x+ay+2=0平行”是“a=1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件建立方程关系是解决本题的关键7（5分）（2016秋江门月考）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用

12、过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）ABCD【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分故选：A【点评】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题8（5分）（2016秋徽州区校级期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则=（）ABCD【分析】利用已知OM=2MA、BN=CN，用分别表示即可【解答】解：BN=CN，OM=2MA，

13、故选：B【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题9（5分）（2016秋江门月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x，则下列说法正确的是（）Af（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象B若f（x1）=f（x2），则x1x2=k，kZCf（x）的图象关于直线对称Df（x）的图象关于点对称【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），故把f（x）的图象向右平移个单位长度后得到g（x）=sin2（x）+=sin（2x）的图象，故排除A若f（x1）

14、=f（x2），则x1x2=k，kZ不对，例如f（0）=f（）=1，但0k，kZ，故排除B令x=，求得f（x）=sin=，为f（x）的最小值，故f（x）的图象关于直线对称，故C满足条件令x=，求得f（x）=sin（）=，为f（x）的最小值，故f（x）的图象不关于点对称，故排除D，故选：C【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题10（5分）（2016秋江门月考）已知an=2n1（nN*），把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵，记S（m，n）表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S（8，6）=（）A67B69C73D75【分析】观察发现：

15、数阵由连续的项的排列构成，且第m行有m个数，根据等差数列求和公式，得出S（8，6）是数阵中第几个数字，即时数列an中的相序，再利用通项公式求出【解答】解：由数阵可知，S（8，6）是数阵当中第1+2+3+7+6=34个数据，也是数列an中的第34项，而a51=2×341=67，所以S（8，6）对应于数阵中的数是67故选A【点评】本题是规律探究型题目，此题要发现各行的数字个数和行数的关系，从而进行分析计算11（5分）（2016秋徽州区校级期末）过抛物线y2=2px（p0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x3）2+（y2）2=16，则p=（）A1B2C3D4【

16、分析】求出圆的圆心坐标，利用抛物线的性质求解p，即可得到结果【解答】解：过抛物线y2=2px（p0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x3）2+（y2）2=16，可得弦长的坐标横坐标为：3，圆的半径为：4直线结果抛物线的焦点坐标，所以x1+x2=6，x1+x2+p=8，可得p=2故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力12（5分）（2016秋江门月考）设实数x，y满足，则3x22xy的最小值是（）ABCD【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，再由基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：由，可设x=2sec，y=t

17、an，则3x22xy=12sec24sectan=+，其中1sin1，（1sin）+（1+sin）（+）=12+12+8，当且仅当=，解得sin=32（3+2舍去），取得最小值则3x22xy的最小值是6+4故选：B【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的参数方程，考查三角函数的化简，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分13（5分）（2016秋江门月考）若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为M=4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：x、y满足约束条件，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x

18、+y得y=x+z，平移直线y=x+z，则当直线y=x+z经过点A时，z取得最大值，由：，解得A（，）时，直线的截距最大，此时z最大，此时z=4，故答案为：4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键14（5分）（2016秋江门月考）如图，PABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tanPEF=【分析】取AB中点G，连接EG，可证得平面PAB平面PEG，过E作EFPG，垂足为F，则EF平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影，然后求解直角三角形得答案【解答】解：如图，取AB中点G，连接EG，则EGAB，又P

19、E平面ABCD，PEAB，PEEG=E，AB平面PEG，则平面PAB平面PEG，且平面PEG平面PAB于PG过E作EFPG，垂足为F，则EF平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影在RtPEG与RtPFE中，可得PEF=PGEPABCD是棱长均为1的正四棱锥，EG=，PE=tanPEF=故答案为：【点评】本题考查线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题15（5分）（2014咸阳一模）dx+=2+1【分析】根据函数积分的公式以及积分的几何意义，即可得到函数的积分值【解答】解：dx=lnx|=lneln1=1， 的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即=，即dx+=2+1；故答案为：2+

20、1【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式以及积分的几何意义16（5分）（2016秋江门月考）对于函数，有如下三个命题：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*）f（x）的值域为0，+）若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内有3个不相等的实根其中，真命题是（将真命题的序号填写在横线上）【分析】函数的图象，数形结合分析三个命题的真假，可得答案【解答】解：函数的图象如下图所示：，由图可得：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*），故正确；f（x）的值域为0，+），故正确；若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内至多有有2个不相等的实根，故错误；故答

21、案为【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象，函数的值域，函数的根与方程的零点，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2016秋江门月考）已知数列an的前n项和为Sn，nN*（）求S1，S2，S3；（）由（）推测Sn的公式，并用数学归纳法证明你的推测【分析】（）根据an=（1）n（2n1），可求S1，S2，S3的值；（）由（）猜想Sn的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明【解答】解：（1）依题设可得S1=1，S2=1+3=2，S3=1+35=3，（）猜想：，证明：当n=1时，猜想显然成立假设n=k时，猜想成立，即（7分）当n=k+1

22、时，Sk+1=（1）kk+ak+1=（1）kk+（1）k+1（2k+1）=（1）k+1（k+1），即n=k+1时，猜想也成立，由和，可知，对于一切nN*，猜想成立【点评】本题考查数列的性质和应用，第（）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧18（12分）（2016秋江门月考）已知ABC是锐角三角形，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足B（）求角A的值；（）若=12，a=2，求ABC的周长【分析】（）利用条件以及三角恒等变换求得sinA的值，可得A的值（）由条件求得bc的值，再利用余弦定理求得b+c的值，可得，ABC的周长【解答】解：（）ABC是锐角三角形，=，又A

23、为锐角，所以（）由，得bccosA=12 ，由（1）知，所以bc=24 ，由余弦定理知a2=b2+c22bccosA，将及代入可得c2+b2=52 ，+×2，得（c+b）2=100，所以c+b=10，ABC的周长是【点评】本题主要考查三角恒等变换，两个向量的数量积的运算，余弦定理的应用，属于中档题19（12分）（2013沈河区校级模拟）如图，五面体ABCC1B1中，AB1=4，底面ABC是正三角形，AB=2，四边形BCC1B1是矩形，二面角ABCC1为直二面角，D为AC的中点（1）证明：AB1平面BDC1；（2）求二面角CBC1D的余弦值【分析】（1）连接B1C交BC1于O，连接DO

24、，由三角形的中位线性质可得 DOAB1 ，从而证明AB1平面BDC1 （2）建立空间直角坐标系Bxyz如图所示，分别求出平面CBC1与BC1D的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角CBC1D的余弦值【解答】解：（1）证明：连接B1C交BC1于O，连接DO，四边形BCC1B1是矩形，O为B1C中点又D为AC中点，从而DOAB1 AB1平面BDC1，DO平面BDC1，AB1平面BDC1 （2）建立空间直角坐标系Bxyz如图所示，则 ，C（0，2，0），B（0，0，0），所以设为平面BDC1的法向量，则有可得平面BDC1的一个法向量为，而平面BCC1的法向量为，所以，所以二面角CBC1

25、D的余弦值，【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得DOAB1，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题20（12分）（2016秋江门月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（ab0）的离心率为，椭圆E的顶点四边形的面积为16（）求椭圆E的方程；（）过椭圆E的顶点P（0，b）的直线l交椭圆于另一点M，交x轴于点N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比数列，求直线l的方程【分析】（）由题意可知：2ab=16，椭圆的离心率，则a=2b，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（）直线l的斜率不存在时，|PM|2|PN|MN|，不合题

26、意，直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆的标准方程，求得M，N坐标，则，代入即可求得k的值，即可求得直线l的方程【解答】解：（）由题意可得：椭圆E：（ab0）焦点在x轴上，椭圆E的顶点四边形的面积为16，由菱形的面积公式可知：2ab=16，（1分）又由，整理得：a=2b，（3分）解得：a=4，b=2，椭圆E的方程为；（5分）（）由题意|PM|2=|PN|MN|，故点N在PM的延长线上，当直线l的斜率不存在时，|PM|2|PN|MN|，不合题意，（6分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，令y=0，得，（7分）将直线l的方程代入椭圆E的方程，整理得：（4k2

27、+1）x2+16kx=0，（8分）因为xP=0，解得：，（9分）由，则，即，（10分）解得：，即，（11分）直线l的方程为（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等比数列的性质，考查计算能力，属于中档题21（12分）（2016秋江门月考）已知函数（其中，e为自然对数的底数）（）求f（e）；（）求函数f（x）的极值；（）若整数k使得f（x）k（x1）恒成立，求整数k的取值范围【分析】（）求出f（x）的导数，计算f（e）即可；（）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极值即可；（）由题意f（x）k（x1）0对任意x0恒成立令g（

28、x）=f（x）k（x1）=x+xlnxk（x1），求出函数g（x）的导数，求出g（x）的最小值，从而求出满足条件的k的值即可【解答】解：（）由已知得（1分）取x=e得，解得f'（e）=3（2分）（）f（x）=x+xlnx，f'（x）=lnx+2（3分）易知f（x）的定义域为（0，+），当0xe2时，f'（x）0，即f（x）在（0，e2）递减；当xe2时，f'（x）0，即f（x）在（e2，+）递增（5分）函数f（x）在x=e2处取得极小值，且极小值为f（e2）=e2，无极大值（7分）（）由题意f（x）k（x1）0对任意x0恒成立令g（x）=f（x）k（x1）=x+xlnxk（x1），g'（x）=lnx+2k，x0（8分）当0xek2时，g'（x）0，即g（x）在（0，ek2）递减；当xek2时，g'（x）0，即g（x）在（e