2016-2017年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合U=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，B=1，2，5，则（UA）B=（）A2，4，5B1，2，4，5C2，5D0，2，3，4，52（5分）已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）A1+iB1iCD3（5分）某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是0，30，样本数据分组为，0，5），5，10），10，15），15，20），20，2

2、5），25，30，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（）A27B33C135D1654（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）ABC0D25（5分）一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+4BC2+4D6（5分）已知，是相交平面，直线l平面，则“l”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知直线xy+2=0与圆C：（x3）2+（y3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则ACB的大小为（）A30°B60°C90°D120°8（5分）

3、已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x0时xf'（x）+f（x）0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=2，则a，b，c的大小关系式（）AacbBcabCcbaDabc9（5分）已知函数，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A（，2）BCD10（5分）已知ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosAcosC=（）ABCD二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11（5分）执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为12（5分）已知向量的夹角为60°，则在上的投影为13（5分）已知离心率

4、为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p的值为14（5分）一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为15（5分）已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（12分）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间0，上的单调递增区间17（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，

5、人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；当X3或X6时，即有资格展现才艺；当3X6时，即被迫放弃展示（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2）；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，CDC1=90°，在ABC中，AB=2AC，BAC=60°（1）证明：AM平面BDC1；（2）证明：DC1平面BDC19（12

6、分）在等差数列an中，d0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列bn是等比数列，b1=16，a2b2=4（1）求an和bn的通项公式；（2）令，求cn的前n项和Tn20（13分）已知函数f（x）=exaex（aR，e是自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当xR时，f（x）0恒成立，求a的取值范围21（14分）已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数

7、学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016秋聊城期末）设集合U=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，B=1，2，5，则（UA）B=（）A2，4，5B1，2，4，5C2，5D0，2，3，4，5【分析】根据补集与交集的定义，写出对应的运算结果即可【解答】解：U=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，B=1，2，5，则UA=2，4，5；所以（UA）B=2，5故选：C【点评】本题考查了补集与交集的定义和运算问题，是基础题目2（5分）（2016秋聊城期末）已知i为虚数单位，复数z满足

8、，则z=（）A1+iB1iCD【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：由，得，z=故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）（2016秋聊城期末）某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是0，30，样本数据分组为，0，5），5，10），10，15），15，20），20，25），25，30，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（）A27B33C135D165【分析】先由频率分布直方图计算出学习

9、时间不少于15小时的频率，进而可得学习时间不少于15小时的人数【解答】解：学习时间不少于15小时的频率为（0.045+0.03+0.015）×5=0.45，故这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是300×0.45=135，故选：C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，频数计算，难度不大，属于基础题4（5分）（2016秋聊城期末）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）ABC0D2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解：变量x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（1，0）连线的斜率，经过A时

10、，目标函数取得最大值由，可得A（，），则的最大值是：=故选：A【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键5（5分）（2016秋聊城期末）一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+4BC2+4D【分析】由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，代入锥体和柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，四棱锥的底面面积为：2×2=4，高为1，故体积为：，圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：2，故组合体的体积V=，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥

11、的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档6（5分）（2016秋聊城期末）已知，是相交平面，直线l平面，则“l”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】，是相交平面，直线l平面，则“l”“”，反之也成立即可判断出结论【解答】解：，是相交平面，直线l平面，则“l”“”，反之也成立“l”是“”的充要条件故选：C【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）（2016秋聊城期末）已知直线xy+2=0与圆C：（x3）2+（y3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则ACB的

12、大小为（）A30°B60°C90°D120°【分析】求出圆心到直线的距离，利用三角函数，即可得出结论【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=，圆的半径为2，cosACB=，ACB=90°，故选C【点评】本题考查点到直线距离公式，考查特殊角三角函数，比较基础8（5分）（2016秋聊城期末）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x0时xf'（x）+f（x）0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=2，则a，b，c的大小关系式（）AacbBcabCcbaDabc【分析】令g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x）由

13、于当x0时xf'（x）+f（x）0，可得函数g（x）单调递增即可得出【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）为偶函数，则g（x）=f（x）+xf（x）当x0时xf'（x）+f（x）0，当x0时，函数g（x）单调递减函数f（x）是定义域为R的奇函数，函数g（x）为R+的单调递增函数，a=3f（3）=g（3），b=sin1f（sin1）=g（sin1）c=2=g（2）=g（2），g（3）g（2）g（sin1），acb故选：A【点评】本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，属于中档题9（5分）（2016秋聊城期末）已知函数，若两函数的图象有且只有三

14、个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A（，2）BCD【分析】首先根据函数的表达式画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围【解答】解：画出函数和y=|xa|的图象，（如图）由图可知，当且仅当直线y=ax与函数y=的图象相切时，有2解，此时a2，xa，y=ax代入y=，可得：x2+（1a）x+2=0，=（1a）28=0，解得a=1+2，要有3个交点，可得a1+2，函数y=和y=|xa|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a2综上a故选：D【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中

15、常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷10（5分）（2016秋聊城期末）已知ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosAcosC=（）ABCD【分析】三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，设cosAcosC=m，平方相加即可得出【解答】解：三边a，b，c成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，sinA+sinC=2sin=，设cosAcosC=m，则平方相加可得：22cos（A+C）=2+m2，m2=2cosB=，解得m=

16、7;a，b，c成递减的等差数列，m=故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11（5分）（2016秋聊城期末）执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为4【分析】S0=2，Sn3Sn1+1，Sn202时，输出n【解答】解：n=1时，S3×2+1；n=2时，S3×7+1；n=3时，S3×22+1；n=4时，S3×67+1=202，因此输出n=4故答案为：4【点评】本题考查了程序框图与数列求和，考

17、查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）（2016秋聊城期末）已知向量的夹角为60°，则在上的投影为1【分析】根据平面向量数量积的定义，得到向量在向量方向上的投影为|cos，计算即可【解答】解：向量的夹角为=60°，|=2，则在上的投影为|×cos=2×cos60°=1故答案为：1【点评】本题考查了根据平面向量的数量积求向量投影的问题，是基础题目13（5分）（2016秋聊城期末）已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p的值为2【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2p

18、x（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值【解答】解：双曲线，双曲线的渐近线方程是y=±x，又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，A，B两点的纵坐标分别是y=±，又AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，×p×=，得p=2故答案为2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，

19、做题时要严谨，防运算出错14（5分）（2016秋聊城期末）一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为【分析】测度为面积，找出点离岸边不超过4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12，阴影部分的面积为20×3022×12，海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1=故答案为【点评】本题考查几何概型，明确测度，正确求解面积是关键15（5分）（2016秋聊城期末）已知函数，若方程f（x）=t恰有3

20、个不同的实数根，则实数t的取值范围是（0，2）【分析】由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y=t有三个交点的t的范围【解答】解：已知函数的图象如图：方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则圆锥函数图象与y=t有三个交点，由图象可知，当t（0，2）满足题意；故答案为：（0，2）【点评】本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，考查数形结合的思想方法；难度中档三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（12分）（2016秋聊城期末）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g

21、（x）的图象，求函数g（x）在区间0，上的单调递增区间【分析】（1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论（2）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数g（x）在区间0，上的单调递增区间【解答】解：（1）=因为函数f（x）的最小正周期为，所以，得=1（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x），把函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象令2k2x+2k+，求得当k=0时，；当k=1时，所以函数g（x）在区间0，上的单调递增区间为【点评】本题主要考查三角恒

22、等变换，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题17（12分）（2016秋聊城期末）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；当X3或X6时，即有资格展现才艺；当3X6时，即被迫放弃展示（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2）；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合（2）红

23、绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X3或6的红绿卡片组合对9对由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为： 卡片组合 绿色卡片 12 34 红色卡片 1 （红1，绿1）（红1，绿2） （红1，绿3） （红1，绿4） 2 （红2，绿1）（红2，绿2） （红2，绿3） （红2，绿4） 3（红3，绿1） （红3，绿2） （红3，绿3） （红3，绿4） 4（红4，绿1） （红4，绿2） （红4，绿3） （红4，绿4） x值绿色卡片12 34 红色卡片123 452345 63456745678（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个满

24、足当X3或6的红绿卡片组合对有：（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2），（红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对所以甲同学取得展示才艺资格的概率为【点评】本题考查古典概型等知识点，解题的关键是列出所有可能的组合，再去根据相关的定义和公式进行求解和计算18（12分）（2016秋聊城期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，CDC1=90°，在ABC中，AB=2AC，BAC=60°（1）证明：AM平面BDC1；（2）证明：DC1平面BDC【分析】（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，证明：四

25、边形ADNM为平行四边形，可得DNAM，即可证明AM平面BDC1；（2）证明：DC1BC，DC1DC，且DCBC=C，即可证明DC1平面BDC【解答】证明：（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，则且又且，ADMN，且AD=MN，四边形ADNM为平行四边形，DNAM又DN平面BDC1，AM平面BDC1，AM平面BDC1（2）由题设AC=1，则AB=2，由余弦定理，得由勾股定理，得ACB=90°，BCAC1又BCCC1，且CC1AC=C，BC平面ACC1A1又DC1平面ACC1A1，DC1BC又DC1DC，且DCBC=C，DC1平面BDC【点评】本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数

26、形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（12分）（2016秋聊城期末）在等差数列an中，d0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列bn是等比数列，b1=16，a2b2=4（1）求an和bn的通项公式；（2）令，求cn的前n项和Tn【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设an公差为d，bn公比为q由a1+a7=2a4，得3a4=12，即a4=4再结合题意，得，解得或（舍）由a1=1，a7=7，得故an=a1+（n1）d=n在数列bn中，解得q=2所以（

27、2）因为，所以又以上两式作差，得，所以【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）（2016秋聊城期末）已知函数f（x）=exaex（aR，e是自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当xR时，f（x）0恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求出f'（x）=exea，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性（2）由a0，a=0，a0，利用导数性质分类讨论，能求出a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）=exeax，得f'（x）=exea当a0时，f'（x）=exea0，则f（x）在R上为增函数；当a0时，由f'（x）=exea=exe1+lna=0，解得x=1+lna当x1+lna时，f'（x）0；当x1+lna时，f'（x）0所以f（x）在（，1+lna）上为减函数，在（1+lna，+）上为增函数（2）结合（1），得：当a0时，