2001年高考.广东卷.数学试题及答案

1、2001 年广东普通高等学校招生统一考试数学试题2001. 7说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 n 卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分 钟参省公式:三角函数的积化和差公式sin : cossing T：） sin（：）21cost si n si n（*亠；）一si n（：-）21cos：cossin（：亠，）cos（：-）21sin : sincos（：；亠卜）一cos（:;l：,）2正棱台、圆台的侧面积公式1S台侧=（c +c）l2其中c、c分别表示上、下底面周长,I衣示创戚吟统氏台体的库机公式1*V ,=（S亠：S S亠S）h3其中S、S分别表示上、下底面积，

2、h表示高.第 I卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1.不等式1 为邮匚为x - 3A . x1x 3 C . x|x3D. x|1x 0,则的取但范围是1A . (0,)B, ( 0丄C . 11,+a)D. (0,+)2225 .已知复数z=2 6i1是Z兀5兀11 A.Bc.),33666.函数y=2x+ 1(x 0)的反函数是A.y= 1o g21,xE i_1,2)B.y=1og12-,x E(1, 2)x -1X -1C.y= iog21x(1,2)D.y=1og12x( 1,

3、2 x-1X -17 .若 0Va V 3 V,sina +cosa =a,sin 3+ cos3 =b，则4A.abB.aVbQrabViD.ab 28 .在正三棱柱ABC-Ai EiCi中，若AB=2BB!，贝U AB与CiB所成的角的大小为A . 60459 .设f(x)、g(x )都是单调两数,有如卜四个命题1若f(x)单调递增,2若f(x)单调递增,3若f(x)单调递减,4若f(x)单调递减,弍屮，正确闯侖題是g(x)单调递增，贝yf(x) g(x)单调递减，贝yf(x)g(x)单调递增，贝yf(x)g(x)单调递减，贝Uf(x)A.10.对于抛物线y2=4x上任意一点Q点Ra,0)

4、都满足| 范曲是A. ( , 0)B. ( , 2)C . 0 , 2DP120g(xg (x ； H询iAN；g(xg(xD.PQ|a| ,则a的取值D. (0 , 2 j11. 一 H 氏品旳屛顶仃女 I 图二小巨 T：J 工法:工:曰 I；慨弹:双阳;I:nI；Jiiijij-三种盖法屋顶面积分别为Pl、P2、P3若屋顶斜面与水平面所成的角都是A. P3P2PiB,C . P3 =P2P1D.12 .如图，小圆圈表示网络的结点，a 则P3P2=PlP3=P2= P1结点之间的连线表示它们有网线相联连线标注的数字表示该段网线单 位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可

5、以分开沿不同的路线同时传递则单位时间内传递的最大信息量为A.二、填空题13.已知甲、成共有_B.24筍H 吉(非选择题共 90 分)(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上)乙两组各有 8人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 _种可能(用数字作答)*2 214.双曲线 Z_L=1 的两个焦点为Fl、F2,点 P 在双曲线上，若PF1丄PF2，则916点P到X轴的距离为_.15.设a訂是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和若S訂是等差数列，贝U q16.圆周上有 2n个等分点（nl ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 _ 三、解答题（

6、本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 10 分）求函数y=（sinx+ cosx） + 2cos2X的最小正周期.18.（本小题满分 12 分）已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为Sn,Sk= 2 5 5 0.（I ）求a及k的值；111（n）求lim （）F S1S2Sn19.（本小题满分 12 分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCDKZABC= 90,SA丄面ABCD1SA= AB= BC= 1,AD= .2（I ）求四棱锥S-ABCD勺体积；（n ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.20.（本小题满分 12

7、 分）2设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm，画面的宽与高的比为 入（入 VI ），画面的上、下各留 8cm空白，左、右各留5cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所2 3用纸张面积最小？如果要求入，那么入为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？3 421 .（本小题满分 14 分）2已知椭圆 y1的右准线I与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相2交于AB两点，点C在右准线I上，且BC/xM求匸好AC经过线段EF的中点.22.（本小题满分 14 分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x 1对样；x1,x20,1,都有f(x1+x2) =f(x1) f(x2

8、),且f(1)=a02(I )求f(2)，1f ();4（n）证明f(x）是周期函数；（川）记an=1=f (2n+)，求lim (In an).2nndn4、选择题1. C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D二、 填空题13.4900 14.1615.1 16.2n(n-1)5三、 解答题f-兀 C=.2 sin(2x) 284所以最小正周期T= n .1018.解：(I )设该等差数列为an,贝 U ai=a,a2=4,a?=3a,Sk= 2 5 5 0.由已知有a+3a=2X4，解得首项ai=a= 2, 公差d=a2-ai=2.2

9、代入公式Sk=kai+k(k1)d得k 2k(k1)2二2550 2 22 k + k 2 5 5 0 = 0 解得k=50,k=-51(舍去)a=2,k=50.6(n)由Sn= n q d得 Sn =n(n+ 1),2丄丄.丄二丄丄S1S2Sn1 2 2 3 n(n 1)参考答案17. 解:y =(:s inX+ c 0 sX)2+ 2cos2X=1+s i n2X+2c02sX=sin 2X+c 0 s 2X+ 25 分分分分分=1 -1 1 1 1nim(S；S2Ew百)91219 解：（I ）直角梯形ABC啲面积是M底面=】(BC AD) AB21 0.52四棱锥SABCD勺体积是底面

10、分分分分(n )延长BA CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱TAD/BC,BC= 2ADEA = AB = SA , SE丄SB/SA丄面ABCD得面SEBL面EBC EB是交线.又BC丄CSLS所以/B55 5即%（81）时，S取得最小值，2)=4 4. 10(8.一5-丸111 22552-2 -5,故 8 一50381 /. 2此时，高:4840=88cm,宽:如果入-35x宀88 = 55cm8323可设-:;-2，则由34S的表达式得44.10(,12)(8 -5)10EB,.BC丄面SEB故SB是SC在面SEB的射影,E,SC是所求二面角的平面角10/SB=,SA2A

11、B2-、辽,BC =1,BC _ SBtgZBSC=BCSB即所求二面角的正切值为1220.解：设画面高为x设纸张面积为 S,则有S=x+16)(入叫宽为入x+10) =2 /X+(160)X+22 10代入上式得5 0 0 0 + 4 410(8：巫宀-5)分分3 分分入1)S(入由于2因此S(入1)S(入2)V0,2 3所以S(入)在区间,内单调递增3 42 32从而，对于入 _ , 一 ，当入=一时，S(入)取得最小值3 4323答：画面高为 88 匚时所纸朮九枚眾小；勿朮要求入 孚 :,3 42当入=2时，所用纸张面积最小12分321.证明：依设，得椭圆的半焦距c= 1,右焦点为F(1

12、 , 0)，右准线方程为x= 2，点E3的坐标为(2 , 0) ,EF的中点为N, 0)3分2若AB垂直于x轴，则A(1,y1),B(1, yi) ,C(2, yi),3 AC中点为N( ，0),即AC过EF中点N.2若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F,且由BC/ x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为y=k(x 1) ,kO.记A(x1,yi)和B(x2,y2),则C(2 ,y2)且X1,x2满足二次方程22k2(x -1)1即(1 + 2k2)x2 4kx + 2(k21)=O ,3又x21= 2 2 y21 ,f（2）=ajf（4）=a(n )证明：依题设y=f(x)关于直线x= 1 对称，故f(x)=f(1 + 1x), 即f(x)=f(2x),x R又由f(x)是偶函数知f(x) =f(x),x R, f (x) =f(2x) ,x R,将上式中一x以x代换，得f(x) =f(x+ 2) ,xR 这表明f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是