什么是有限元

1、什么是有限元分析?报告人报告人 邹邹 霞霞有限元法 FEM (Finite Element Method 有限单元法) 一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学问题的数值方法。问题的数值方法。有限元分析 FEA (Finite Element Analysis) 使用有限元法，以计算机为工具，对实际物理问题进行模拟求解。使用有限元法，以计算机为工具，对实际物理问题进行模拟求解。有限元法的发展概况u 1943年年 Courant从应用数学角度，尝试用定义在三角形区域上的分片连续从应用数学角度，尝试用定义在

2、三角形区域上的分片连续 函数和最小位能原理相结合求解函数和最小位能原理相结合求解 St. Venant扭转问题。扭转问题。u 1956年年 Turner、Clough等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题，用三等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题，用三 角形单元求得平面应力问题的正确解答。角形单元求得平面应力问题的正确解答。 u 1960年年 Clough进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了“有限单元有限单元 法法” （Finite Element Method）的名称，使人们开始认识到了有限单元法）的名称，使人们开始认识到了有限单元法 的功效。的功效

3、。u 1963-1964年年 Besseling、Melosh等人证明了有限元法是基于变分原理的等人证明了有限元法是基于变分原理的 Ritz法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题的一种普遍法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题的一种普遍 方法，并为有限元法找到了理论基础。方法，并为有限元法找到了理论基础。u 60年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元方程。年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元方程。u 70年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究也随之空年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究也随之

4、空 前活跃起来。前活跃起来。 有限元法的理论基础： 基础力学基础力学对象：质点对象：质点特征：无变形特征：无变形 无形状的点无形状的点变量：变量：(1)质心描述质心描述 (2)运动状态描述运动状态描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程：质点的牛顿三大定律方程：质点的牛顿三大定律非变形体非变形体 (刚体刚体) 理论力学理论力学对象：质点系及刚体对象：质点系及刚体特征：无变形特征：无变形 复杂形状的体复杂形状的体变量变量：(1) 刚体描述刚体描述 (2) 运动状态描述运动状态描述 (3) 力的平衡描述力的平衡描述方程：质点和刚体的方程：质点和刚体的 牛顿三大定律牛顿三大定律 材料力学材料力学对象

5、：简单变形体对象：简单变形体特征：变形特征：变形(小小) 简单形状的体简单形状的体变量：变量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)变形方面描述变形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(1)物理本构方程物理本构方程 (2)几何变形方程几何变形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程 结构力学结构力学对象：数量众多的简单变形体对象：数量众多的简单变形体特征：变形特征：变形(小小) 简单形状的体简单形状的体(数量众多数量众多)变量：变量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)变形方面描述变形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(1)物理本构方

6、程物理本构方程 (2)几何变形方程几何变形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程变形体变形体 弹性力学弹性力学对象：任意变形体对象：任意变形体特征：变形特征：变形(小小) 任意形状的体任意形状的体变量：变量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)变形方面描述变形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程：(针对微体针对微体dxdydz) (1)物理本构方程物理本构方程 (2)几何变形方程几何变形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程 弹塑性力学弹塑性力学对象：任意变形体对象：任意变形体特征：变形特征：变形(屈服，非线性屈服，非线

7、性) 任意形状的体任意形状的体变量：变量：(1)材料物性描述材料物性描述 (2)变形方面描述变形方面描述 (3)力的平衡描述力的平衡描述方程方程： (针对微体针对微体dxdydz) (1)物理本构方程物理本构方程(屈服，非线性屈服，非线性) (2)几何变形方程几何变形方程 (3)力的平衡方程力的平衡方程三大变量三大变量三大方程三大方程变形体变形体 基本变量的定义：主位移主位移物体变形后的形状物体变形后的形状应应 变变物体的变形程度物体的变形程度应应 力力物体的受力状态物体的受力状态弹性常数弹性常数物体的材料特征物体的材料特征 基本方程 力的平衡方程：力的平衡方程： 力力应力应力 几何变形方程：

8、几何变形方程： 位移位移应变应变 材料的物理方程材料的物理方程(本构关系本构关系)： 应力应力应变应变 力平衡方程力平衡方程几何变形方程几何变形方程本构关系本构关系 有限元法的思路 对象的离散化过程对象的离散化过程自然离散自然离散逼近离散逼近离散(如：桁架如：桁架)(连续体连续体)离散体离散体连续体连续体连续体连续体一分一合一分一合 离散化过程实体模型实体模型有限元模型有限元模型自然离散自然离散逼近离散逼近离散 有限元分析过程分解过程分解过程组装与求解过程组装与求解过程节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。存在相互物理作用。单元单元

9、: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之间通过组成，单元之间通过节点节点连连接，并承受一定接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷约束约束 节点和单元.常用单元的形状线线(弹簧，梁，杆弹簧，梁，杆)体体(三维实体三维实体)线性线性二次二次.面面 (薄壳薄壳, 二维实体二维实体,轴对称实体轴对称实体)线性线性二次二次.二次二次线性线性. . .线性线性二次二次 节点和单元块单元块单元四面体单元四面体单元 一般问题的求解过程结构离散化结构离散化单

10、元分析单元分析整体分析整体分析求解计算求解计算集成组合集成组合为了进行单元分析为了进行单元分析为了对整体结构综合分析为了对整体结构综合分析 单元分析 单元分析是为了利用节点位移求解出节点力单元分析是为了利用节点位移求解出节点力节点位移节点位移单元内部单元内部各点位移各点位移单元应变单元应变单元应力单元应力节点力节点力单元分析单元分析单元刚度矩阵单元刚度矩阵插值插值几何几何方程方程本构本构关系关系等效等效 整体特征分析 整体分析是将各个单元再拼凑起来以代替原来的连续体整体分析是将各个单元再拼凑起来以代替原来的连续体建立整体建立整体刚度矩阵刚度矩阵引入约引入约束条件束条件节点载节点载荷移置荷移置整

11、体刚度矩阵整体刚度矩阵 有限元法的工程应用 (1) 平衡问题或不依赖于时间的问题平衡问题或不依赖于时间的问题 (2) 固体力学和流体力学的特征值问题固体力学和流体力学的特征值问题 (3) 连续介质领域的许多随时间变化的问题和或传播问题连续介质领域的许多随时间变化的问题和或传播问题静力动力分析静力动力分析疲劳分析疲劳分析流体动力分析流体动力分析模态分析模态分析热分析热分析 有限元分析实例动力分析动力分析疲劳分析疲劳分析热分析热分析流体分流体分析析模态分析模态分析 利用有限元软件求解的一般过程： 模型的建立模型的建立设定材料属性设定材料属性添加边界条件添加边界条件划分网格划分网格约束、载荷约束、载

12、荷运行求解运行求解后处理后处理结果的提取结果的提取应力、应变、位移等等应力、应变、位移等等E、G、等等等等 边界条件的添加 边界条件边界条件当研究一个物体，与该物体相连接的其他物体被拿掉时，用一个约束或者当研究一个物体，与该物体相连接的其他物体被拿掉时，用一个约束或者 载荷来替代被拿掉的物体。这个载荷来替代被拿掉的物体。这个约束约束或者或者载荷载荷就是边界条件。就是边界条件。固定铰链固定铰链固定铰链固定铰链载荷载荷(油缸压力油缸压力)添加边界条件添加边界条件位移边界条件位移边界条件力边界条件力边界条件 网格的划分 网格的划分粗网格粗网格细网格细网格 后处理截面剪裁截面剪裁ISO剪裁剪裁延性：延

13、性：Mises脆性：应力强脆性：应力强度度 ISO剪裁25MPa40MPa60MPa80MPa 后处理探探 测测 后处理探测结果探测结果 应力奇异 (应力集中) 有限元模型中由于几何构造或载荷引起弹性理论计算应力值无限大。有限元模型中由于几何构造或载荷引起弹性理论计算应力值无限大。 即使是奇异点，材料的非线性特性不可能允许应力值出现无限增大情况，在理论上总体即使是奇异点，材料的非线性特性不可能允许应力值出现无限增大情况，在理论上总体 应变也是有限的。应变也是有限的。P /AA s A 0, 一般应力奇异发生情形：集中载荷作用位置处集中载荷作用位置处锐利锐利(零半径倒角零半径倒角)拐角处。拐角处

14、。 不常见的应力奇异情形：由于在划分单元网格时出错，模型中存在由于在划分单元网格时出错，模型中存在的的“裂缝裂缝”；曲边单元中处在极不理想位置的中间点；曲边单元中处在极不理想位置的中间点；严重扭曲的单元。严重扭曲的单元。 在应力奇异处: 单元网格越是细化，越引起计算应力单元网格越是细化，越引起计算应力 无限增加，并且不再收敛。无限增加，并且不再收敛。 网格疏密不均匀时网格离散误差也大网格疏密不均匀时网格离散误差也大 小不一。小不一。 应力奇异处应力值不是实际应力值，应力奇异处应力值不是实际应力值， 不作为应力参考值。不作为应力参考值。 应力奇异点 (应力集中点) 改善应力集中 消除尖角消除尖角 手工计算手工计算装配体装配体零零 件件 不同的分析方式装配体的分析过程(实例)装装 配配 配