阅读高可观测量与算符

1、Chapter 6可观测量与算符经典力学一个根深蒂固的观点就是认为一个物体或一个质点在确定的时刻 必定有确定的位置和确定的速度， 因而其运动即可由其位置和速度随时间的变化所完全描写，其运动必定具有轨道。 不仅如此，描述该质点运动的其他可观测量在确定的时刻也都具有确定的值。 从日常经验来看，这是一个合理的假设，因此它成为整个经典力学赖以建立的基础。 然而这一观点在微观世界并确的实验支持。 量子力学终于发现这一观点对于微观粒子运动的描述并不正确。前已述及，微观粒子具有波粒二象性，因而微观粒子运动状态的描述 经典粒子将根本不同， 它需要用波函数来描写。 量子力学中微观粒子的可观测量，如位置、动量、角

2、动量、能量等的性质也不同于经典粒 子的可观测量， 它们一般不具有确定值， 这种差别的存在使得我们不得不用和经典力学根本不同的方式， 即用算符来表示微观粒子的可观测量。本章算首先由可观测量平均值的计算说明量子力学中可观测量必须用 示的缘由， 然后讲述算符的运算规则和量子力学中可观测量算符的形式和特点， 可观测量算符的取值和它与观测值的关系，以及多个可观测量同时具有确定值的条件等等。6.1可观测量的平均值和算示 位置及其函数的平均值设微观粒子处于波函数 (r, t)所描述的状态，由于微观粒子的波粒二象性，它的坐标并不具有确定值， 但是在一定的位置具有确定的概率，这就是波函数的统计意义。 在时刻t其

3、位置处于r处的概率密度为2| (r, t)| = (r, t) (r, t)73CHAPTER 6. 可观测量与算符74因此粒子的位置有确定的平均值。根据平均值的计算公式有2r | (r, t)| drr =(6.1)2| (r, t)| dr如果波函数 (r, t)是化的，则2| (r, t)| dr = 1因而有r = r | (r, t)|2 dr = (r, t) r (r, t) dr(6.2)同理，对于任何只与粒子位置有可观测量f (r)，其平均值为f (r) = f (r) | (r, t)|2 dr = (r, t) f (r) (r, t) dr(6.3) 动量的平均值及动量

4、算符另一个基本可观测量是动量p， 但是我们不能像计算位置的平均值那样用化的波函数 (r, t)来计算动量的平均值p = p | (r, t)|2 dr(6.4)2因为上式中的p | (r, t)| 意味着在每一个确定的空间位置r处有相应的确定的动量p， 这是直接违背不确定原理的。为了得到动量的平均值，可应用5.3节得到的结果，描述微观粒子状态 的波函数 (r, t)可以展开成一系列平面波的叠加 1i·rEt)(p (r, t) =C (p, t) edp(6.5)(2)3/2其中dp代表三维动量空间的体积元，展开系数 1i (p·rEt)C (p, t) = (r, t)

5、edr(6.6)(2)3/2为波函数 (r, t)的叶变换式，其物理意义是处于 (r,t)态的微观粒2子，t时刻测得其动量为p p + dp的概率是|C (p, t)| dp，因此可以利用C (p, t)求出处于 (r, t)态的微观粒子在t时刻的平均动量为p = p |C (p, t)|2 dp = C (p, t) pC (p, t) dp(6.7)6.1. 可观测量的平均值和算示75这样做破坏不确定关系。如果已知C (p,t)，是可以通过(6.7)式计算动叶变换关系(6.5)(6.6)式， 下量平均值。由于C (p, t)和 (r, t)有上述面我们考虑直接通过 (r, t)来计算动量平

6、均值，看看会引出什么新结果。将(6.6)式代入(6.7)式中，得到C (p,p =t) pC (p,t) dp 1i (p·rEt) (r,t) edrpC (p, t) dp(2)3/2 1i (r, t) e(p·rEt)=dr pC (p, t) dp(2)3/2 1i (r, t) pe·rEt)(p=drC (p, t) dp(2)3/2 1i (r, t) (i) e(p·rEt)=drC (p, t) d(p6.8)(2)3/2 1i (r,·rEt)t) (i)(p=C (p,t) edp dr(2)3/2 (r,t) (i)

7、(r, t) dr=(6.9)其中(6.8)式用到i (p·rEt)i(i) e(p·rEt)= pe (6.10)用到(6.5)式。(如果将i记为动量算符p = i(6.11)则(即可写为p = (r, t) p (r, t) dr同理可得到 (r, t)态中动量的函数f (p)的平均值为(6.12)f (p) = (r, t) f (p) (r, t) dr(6.13) 可观测量的算示与平均值公式这样，我们就找到了一个用波函数 (r, t)来直接计算动量平均值和动量函数平均值的公式， 而不必像(6.7)式那样通过 (r, t)的叶变换C (p, t)来CHAPTER 6

8、. 可观测量与算符76计算，这时必须把动量p看作微分算符i. 这个结果与5.3节中建立波动方程时形式地把经典力学关系中的p用i来替代是一致的。现在看到它来源于微观粒子的波粒二像性。还必须说明，既然可以通过 (r, t)的叶变换C (p, t)从(6.7)式计算动量的平均值，那么把动量这一可观测量看作微分算符i的必要性似乎并不迫切。但是当我们考虑如质点能量p2E =+ V (r)(6.14)2m和角动量L= r × p(6.15)等既含有位置又含有动量的可观测量时， 计算它们的平均值时，如果不把它们看成算符，我们就不可能写出计算其平均值的公式， 从而无法计算它们的平均值。其实，可观测量

9、用相应的算示是量子力学的一个基本假定，上面从可观测量平均值的计算， 引入必须把可观测量用算示，并不是把这一基本假定推导出来， 而是通过平均值的计算显示它与波粒二象性的深刻联系。在经典力学中除了有位置和动量这两个可观测量外， 还有动能、势能、总能量、角动量等可观测量， 它们常常以基本可观测量位置和动量的函数形式出现， 例如质点的能量(6.14)式和质点的角动量(6.15)式。 在经典力学中这些关系式是可观测量的数值关系。 有经典对应的可观测量，依照经典力学中与位置和动量的函数关系F = F (r, p) ,用位置算动量算符代入而得到量子力学中相应的可观测量算符= F (r, p)F(6.16)例

10、如粒子的哈密顿量算符为p · p22+ V (r) = 2m + V (r)H =2m粒子的角动量算符L = r × p = ir × 可见经典力学中的数值关系，到量子力学中变成了算符关系。此外量子力 学中还有一些经典力学中所没有的可观测量， 如自旋等，其算符形式将另行讨论。6.2. 算符的运算规则77可观测量都按规则(6.16)式用算示后，平均值公式(6.3)式和(6.13)式可以自然地推广。 任意一个可观测量F在化的 (r, t)态中的平均值为F = (r, t) F (r, t) dr(6.17)这个普遍的平均值公式也是量子力学中的基本假设1之一。这些假设是

11、否正 确，只能依靠实验来检验。6.2算符的运算规则 算符所谓算符2是作用在一个函数上的运算符号，用F表示，它作用于一个函数上，一般得出另一个函数，即F(r, t) = (r, t)(6.18)例如ddx = ddx就是对x求导算符，又如x = x也可看成算符，它的运算是用x与相乘。如果算符F满足F (c1(r, t) + c2(r, t) = c1F(r, t) + c2F(r, t)其中c1和c2是任意复数，则F称为线性算符。如果算符F作用于一个函数，结果等于乘以某个常数(6.19)F(r,则称为算符F的本征值， 为属算符F的本征方程。 例如定态 方程。t) = (r, t)(6.20)值的

12、本征函数，方程式(6.20)称为方程(5.34)式就是哈密顿算符H 的本征1P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition, Oxford Uni- versity Press, 1958. p462数学上， 算符F是一个从函数到函数的。CHAPTER 6. 可观测量与算符78算符的运算及运算规则算符A和B的和定义为1.(A + B) (r, t) = A(r, t) + B(r, t)(6.21)由于上式右端是两个函数相加，函数加法满换律和结合律，因此算符加法也满换律和结合律：A + B = B + A(

13、6.22)(6.23)A + (B + C) = (A + B) + C算符A和B的积定义为2.(A · B) (r, t) = A (B(r, t)(6.24)算符乘法不满换律，即AB= BA这是算符运算与数运算的重要区别。算符之间的对定义两个算符之间的对3.A, B = AB BA(6.25)对不等于零，表明相两个算符不可随意交换它们先后的位置，称为这两个算符不对易； 对等于零，表明相两个算符看到对可交换它们先后的位置，称为这两个算在量子力学中起着非常重要的作用。 后面通过简单运算，可以证明对具有以下性质：A, B = B,A(6.26)A, A = 0(6.27)A, c =

14、0,c为任意复数(6.28)A, B + C = A, B + A,C(6.29)A, BC = A, B C + B A,C(6.30)AB, C = A, C B + A B,C(6.31)A, B, C + B, C, A + C,B, A = 0(6.32)6.2. 算符的运算规则79(6.32)式称为雅可比恒等式。例1：计算对x, px对任意的波函数(r,t)，x(r,t)= x(r, t)(6.33)= (i) (r, t)p (r,t)(6.34)xx= x (i) (r,xt) = ixxp (r,t)(6.35)xx= ix x(r, t) = i ix x(6.36)pxx

15、(r,t)因此(xpx pxx) = ix, px = i的定义，通过类似的计算，我们可以得到(6.37)即(6.38)利用对, p = i, = x, y, z(6.39)其中= 1, = 0, = 系。(6.40)(6.39)式是量子力学中基本的对例2：轨道角动量算符的对系经典力学中的轨道角动量(6.15)式将其中的位置r换成位置算符r， 动量p换成动量算符p， 则得到量子力学中的轨道角动量算符L = r × p(6.41)各分量写出来就是= yp zp = i (y z)yL(6.42)xzyz= zp xp = i (z xL(6.43)yxzxz= xp yp = i (x

16、 y)L(6.44)zyzyxCHAPTER 6. 可观测量与算符80轨道角动量算位置算符的对Lx,x = 0,Lx,y = iz,Lx,z = iyLy ,x = iz, Ly ,y = 0,Ly ,z = ixLz ,以上九个x = iy,Lz ,y = ix,Lz ,z = 0以合起来写为L, = i,其中是Levi-Civita记号：, , = x, y,z(6.45)xyz = 1= = = (6.46)轨道角动量算动量算符以及轨道角动量算符的对分别为L, p = ip,L, L = iL , , = x, y, z(6.47), , = x, y,z(6.48)(6.48)式可写为

17、L × L = iL(6.49)8.2节中将看到(6.49)式可作为角动量的基本对系。算符的乘幂算符F的n次幂定义为4.Fn = F · F F(6.50)|n个z因此Fm+n = Fm · Fn(6.51)显然Fm, Fn = 0(6.52)例：定义轨道角动量的平方算符L2 = L2 + L2 + L2(6.53)xyz6.2. 算符的运算规则81利用(6.48)式可以计算轨道角动量的平方算符与轨道角动量x分量算 符的对L2,LxLx22222=L + L + L , L= L ,L+ L,xxxyzyz= Ly , Lx Ly + Ly Ly , Lx + L

18、z , Lx Lz + Lz Lz ,Lx= iLz Ly iLy Lz + iLy Lz + iLz Ly = 0(6.54)同理可证L2, Ly = L2, Lz = 0(6.55)即轨道角动量的平方算符与轨道角动量的任何分量算符均对易。算符的函数算符的函数可以用不同的方法定义。这里我们介绍其中一种利用无穷级数定义算符的函数。5.若f(z)是z的函数，且可展成如下级数形式(n)f(0)n!n|z| < f(z) =z ,(6.56)n=0则可利用(6.56)式定义算符A的函数(n)f(0)n!nf(A) =A(6.57)n=0例： 1Ane=A(6.58)n!n=0逆算符若6.(r,

19、 t) = F(r, t)(6.59)且由(r, t)能唯一地解出(r, t)，则定义(r, t) = F1(r, t)算符F1称为算符F的逆算符。并非所有算符都有逆算符存在。 若F1存在，则(6.60)F1F= FF1 = 1(6.61)CHAPTER 6. 可观测量与算符82其中1是算符，它作用于任意一个函数都得到它1(r, t) = (r, t)(6.62)显然F, F1 = 0(6.63)算符的转置7.如果算符A和B满足关系式 (r, t) A (r, t) dr = B (r,t) (r,t) dr(6.64)则称算符B为算符A的转置，记为eB= A(6.65)算符A上面的 表示对算

20、符A作转置运算。由算符乘法以及转置的定e义式，可知算符的转置有如下性质：(6.64)FgP= PeFe(6.66)算符的复共轭8.算符的复共轭运算与复数的复共轭运算相同，就是将算符中出现的所i变成i， 用上标表示。有虚例：p = (i) = i= px(6.67)xxx算符的厄米共轭算符F的厄米共轭也称为算符F的伴随，算符的厄米共轭运算就是对算符取转置的同时取复共轭， 用上标表示，即9.( )efF =F= F(6.68)由转置以及复共轭的定义，知 ()( )()ee F dr =F dr =Fdr =Fdr(6.69)由(6.66)式知，算符的厄米共轭运算也有类似的性质(OP) = PO(6

21、.70)6.3. 自伴算其性质836.3自伴算其性质 定义如果一个算符F的伴随等于它，即F = F(6.71)则称算符F为自伴算符。由(6.知，自伴算符具有下列基本性质：对任意的函数和Fdr = (F) dr(6.72)需要指出，数学上一个算符是否是自伴算符，不仅与算符本身有关， 还跟所取的任意函数和满足的边界条件有关！d例：算符L = i，对满足边界条件dx(a) = (b),(a) = (b)的任意函数和，有 ()()()bbbddx=bdx = i |x=a iL dx =idxdxdxaaab ()()bd=idx =Ldxdxaad即算符L = i是自伴算符。dx但对满足边界条件(a

22、) = 2(b),(a) = 2(b)的任意函数和，有 ()()b()bbddx=bL dx =idxdx = i |x=a idxdxaaab ()b ()d=idxdx 3i (b)(b) =Ldxaad即算符L = i不是自伴算符！dxCHAPTER 6. 可观测量与算符84下面我们看看位置算符r和动量算符p的自伴性。 对任意的波函数 (r,t)和 (r,t)rdr = rdrrdr=(r) dr = (r) dr=(6.73 (i) dr = i |i () d(6.74xp dr=x=+dydz +xx=x (i) dr = (p ) drx=x其中(6.73)式用到位置算符在位置表

23、象的表(r) = r(6.33)式以及函数r是实函数(6.74)式用到动量算符在位置表象的表(6.11)式以及通常波函数满足的无穷远条件：lim (r, t) = 0x±(6.75)可见，(6.11)式定义的动量算符的x分量px是在波函数满足边界条件(6.75)式时才是自伴算符。 在量子力学中我们一般没有强调边界条件在算符的自伴性中的作用，那是因为在量子力学中的算符都是作用在波函数上， 而能够描述微观系统状态的波函数都是满足一定边界条件的。 自伴算符的运算性质1. 自伴算符之和仍为自伴算符。2. 自伴算符之积一般不是自伴算符。若算符A和B对易，则它们的积是自伴算符。(AB) = BA

24、 = BA = AB(6.76)3. 任意两个自伴算符A和B的线性组合AB BA和AB + BA2i2必为自伴算符。例(AB) (BA)() AB BAAB BAAB BA=2i2i2i2i(6.77)6.3. 自伴算其性质854. 任何算符F（可能不是自伴算符） 总可分解为两个自伴算符F+和F 的(6.78)线性叠加F= F+ + iF其中F + F,F FFF=(6.79)+22i都是自伴算符。自伴算符的本征值和本征函数的性质自伴算符的本征值为实数。设自伴算符F的本征方程为1.F = (6.80)上述方程两边取复共轭，得F = (6.81)(6.80)式和(6.81)式交叉相乘、相减、，具

25、体地说即 × (6.80) × (6.81) dr，得( ) dr= F (F) dr= F (F) dr(6.82)= F F dr = 0(6.83)(6.82)式用到算符的厄米共轭运算的性质(6.符F的自伴性。， (6.83)式用到算由于是算符F的本征函数，肯定不是零函数。因此dr = |2 dr > 0 = 所以即本征值是实数。可观测量与算符86CHAPTER 6.自伴算符的属于不同本征值的本征函数正交如果两个函数(r, t)和(r, t)满足2.(r, t)(r, t)dr = 0(6.84)则称函数(r, t)和(r, t)正交。设自伴算符F有如下的本征方

26、程Fm = Fmm Fn = Fnn将(6.85)式两边取复共轭，并利用本征值是实数，得Fm = Fm m = Fmm(6.87)式和(6.86)式交叉相乘、相减、，得(6.85)(6.86)(6.87)(Fm Fn) mndrn (Fm) dr m (Fn) dr= (Fn) mdr m (Fn) dr(6.88)= (Fn) mdr m (Fn) dr = 0(6.89)(6.88)式用到算符的厄米共轭运算的性质(6.符F的自伴性。 若Fm = Fn则必有， (6.89)式用到算mndr = 0即算符F的分别对应不同本征值Fm和Fn的本征函数m和n正交。本征函数的正交可以统一表示为m (r

27、, t) n (r, t) dr = mn(6.90)如果对应自伴算符的一个本征值有两个或两个以上的本征函数，则称 此自伴算符的本征函数有简并。 线性自伴算符的简并本征函数经重新组合后可以正交。例如可用正交化方法3。，2002. 第33页3可参考著量子力学，科学6.4. 可观测量的测量值及统计分布873. 线性自伴算符的本征函数系是完备的。设n (r, t)是某一线性自伴算符F的化的所有本征函数的集合。所有本征函数的集合称征函数系。 完备性是指任何波函数 (r, t)都可用线性自伴算符F的本征函数系n (r, t)展开 (r, t) = (r, t)(6.91)n nn其中n是展开系数。怎么求

28、这个展开系数呢？ (6.91)式两端同时乘以化的本征函数m (r, t)，再对r任意一个，得m (r, t) (r, t) dr=m (r,t) (r, t) drn nnm (r,=t) n (r,t) drnn= = (6.92)n mnmn也就是说(6.91)式中的展开系数n可由 (r, t)求出n(t) = n (r, t) (r, t) dr(6.93) 对可观测量算符的要求前已述及，量子力学的一个基本假定是每一个可观测量都用一个相应的算 示。然而，并不是任意一个算符都能对应一个可观测量。 那么，量子力学中可观测量算符应满足些什么条件？物理上，在任何量子态下，每次测量任意一个可观测量

29、都一定能得到测 量值， 而且测量值都一定是实数，最后得到的平均值当然也一定是实数， 这就要求数学上代表可观测量的算符的所有本征函数的集合应该是完备 的， 而且在任意一个波函数中代表可观测量的算符的平均值都应为实数， 满足这些性质的算符一定是线性自伴算符。 因此量子力学中代表可观测量的算符必须是线性自伴算符。6.4可观测量的测量值及统计分布完整的论除了要讲清楚理论的要点及其结构之外，还应讲清楚理论与实际测量之间的关系， 以便理论的运算可以与实际测量相对照。那么量子力学的理论与实际的物理测量怎么起来呢？CHAPTER 6. 可观测量与算符88 可观测量的本征态与测量量子力学认定4： 每个可观测量都

30、用一个线性自伴算示，与可观测量F对应的线性自伴算符记为F.设微观系统所处的状态用波函数描述， 如果是与可观测量算符F的本征值为的本征函数， 满足本征方程(6.20)式。 那么在该系统中测量F只能得到唯一确定值； 反之，若对一个微观系统测量可观测量F总能得到唯一确定值， 则测得的唯一确定值一定是可观测量算符F的一个本征值， 而且该系统状态用F的本征值为的本征函数描述， 称此状态为可观测量F的一个本征态。“确定值” 的含义用数学式子表达就是指在态中算符F = F F(6.94)()2的平方 F在量子态 (r, t)中的平均值（称为均方差）为零， 其中F是在量子态中测量可观测量F得到的平均值。 若本

31、征态是的，则均方差 (F F)2 dr(F)2 = (F F) (F F) dr(6.95)()2= F F dr = 0 (6.96)其中(6.95)式用到算符F的自伴性。因此(F F) = 0(6.97)即F = F (6.98)因此这(6.98)式就是线性自伴算符F在本征态中的本征方程(6.20)式，性自伴算符F的本征态 (r, t)中测量可观测量F得到的平均就表明值F就是该本征态所对应的本征值. 如果微观系统处于可观测量F的本征态，则每次测量可观测量F得到的观测值一定 得到该测量值的概率为1.征值， 也就是说 非本征态中的测量可观测量的本征态是很特殊的状态，一般情况下，微观系统并不一定

32、处于 可观测量的本征态。 这时，如果对微观系统作测量，会得到什么结果呢？4参考P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition, Oxford University Press, 1958. p34526.4. 可观测量的测量值及统计分布89我们会测得不同的值， 每个可能的测量值以一定的概率出现，测量值的均方差应严格大于0。 对一个确定的量子态(r, t)，测量任何一个可观测量得到的平均值应该是确定的。 由于线性自伴算符F的本征函数系n是完备的， 波函数(r, t)可以用完备、正交、本征函数系n展开成(6.9

33、1)式。若波函数(r, t)是中，得到的，将(6.91)式代入平均值公式(6.17)式(r, t)Fn(r, t)dr(r, t)FF = (r, t)dr =n nnnn2(r, t)n(r, t)dr =| | F F(6.99)n nnnnn其中用到可观测量算符F是线性算符，本征方程(6.86)式以及展开系数(6.93)式。利用概率论中平均值与概率的关系，(6.99)式的物理意义可以合理地解释为： 在量子态(r, t)（非可观测量F的本征态）中测量可观测量F，每次测量所得的值是Fn中的一个，不同次测量所得的值可能不同， 但不可能2有Fn以外的值，而且测得值为Fn的概率为|n| . 由此可

34、见量子力学中，展开式(6.91)不仅仅是一个数学处理， 而且与物理测量是有利用(6.93)式和(6.91)式，还可得到的。 ( (r, t) (r, t) dr) 2|=nnnnn (r,=t) (r, t) drn nn (r,=t) (r, t) dr可见，只要波函数(r, t)是的，则2| | = 1nn即在量子态 (r, t)中测量可观测量F得到F的本征值的总概率是1， 测到本征值以外的值的概率为0. 在量子态 (r, t)中测量可观测量F能够得到测量值的概率是1，这与我们称F为可观测量是一致的。 对比波函数(r, t)的统计诠释，我们看到这里的n(t)不仅仅是展开系数，也是概率幅。C

35、HAPTER 6. 可观测量与算符90不确定关系与两个可观测量可同时确定的条件6.5 不确定关系均方差反映的是测量一个力学量得到测量值的不确定程度， 同时测量两个可观测量得到测量值的不确定性可由这两个可观测量的均方差的相互制约 定量地表示出来。对任意两个绝对值积函数f和g， 定义 = f + g其中为实参数。显然(f + g) (f + g) drdr=2 ffdr + (fg + fg) dr + ggdr= A2 + B + C 0(6.100)其中A = B = = ffdr,(fg + fg) dr,ggdrC(6.101)都是实数。为使(6.100)式成立，一元二次方程A2 + B

36、+ C = 0(6.102)不能有两个实根，因此B2 4AC 0将A, B和C的定义(6.101)式代入，得214ffdr ·ggdr (fg + fg) dr(6.103)不等式。 对任意两个可观测量算符F和G以及这就是数，定义化波函f = iF,g = G6.5. 不确定关系与两个可观测量可同时确定的条件91利用F和G的自伴性得 (iF) iFdr = (F) Fdrffdr= (F)2 dr = (F)2= (G) Gdr = (G)2 dr = (G)2ggdr= (iF) G + iF (G) dr(fg + fg) dr=i (F) G (G) F dr=i (FG GF

37、) dr=i (F F) (G G) (G G) (F F) dr=i (FG GF) dr = i F, G dr=i F,G=代入不等式(6.103)得(F)2 (G)2 G 12F,(6.104) 上式可以简记为G 12F · G F ,(6.105)其中 ()() 2222F · G =(F)(G)=F FG G(6.106)(6.105)式就是普遍的任意两个可观测量F和G的不确定关系。 由此可见不确定关系来源于可观测量用线性自伴算示而算符乘法不满换律，而这又来源于微观粒子的波粒二象性。作为一个特例，若取FG= x,= px利用对系(6.38)式，得到在任意量子态中

38、都有2x · p (6.107)x这就是在1927年导出的不确定关系， 表明微观系统的任意量子态中都不能同时准确测定微观客体的位置和动量。CHAPTER 6. 可观测量与算符92 两个可观测量可同时确定的条件每个可观测量算符都有的一套本征函数系，也就是说每个可观测量都有的一套本征态。 每个可观测量在的本征态中测量，总能得到确定值。不同的可观测量的本征态系通常不同， 这就使得微观系统中不同的可观测量一般不能同时确定。 这与描述宏观现象的经典力学不同。 在经典力学中，如果忽略测量对原系统的影响，那么对一个系统测量两个或可观测量都没有原则， 总能测到确定值。 在量子力学中，在某个量子态中同

39、时测量两个可观测量F和G，而又要求都有确定值， 则此量子态必须既是可观测量算符F的本征态，同时也是可观测量算符G的本征态， 也就是说是这两个可观测量算符的共同本征态。而如果两个可观测量算符F和G对易， 则由(6.105)式得到在任意量子态中F · G 0与经典力学中相同。 这时就称这两个可观测量能同时确定。可以证明5， 两个不同的可观测量具有完备的共同本征态系的充分必要条件是它们的算。如果可观测量算符F和G不对易，它们的对不为零， 但不排除在某些特殊量子态中它们的对的平均值为零， 那么在这些特殊量子态中同时测量可观测量F和G时可能都有确定值。 例如算符Lx和Ly 不对易，但1在Y00

40、 = 4 态中同时测量可观测量Lx和Ly, 均得到确定值零。可见若可观测量算符F和G不对易， 只说明F和G必无共同本征态系， 但不排除它们仍可能有共同本征函数。 完备可观测量组量子力学中可观测量的测量值征值， 因此常常借助可观测量的本征值来描述本征态。如果可观测量的本征态没有简并， 那么用这一个可观测量的本征值就可以描述它的本征态。 例如一维无限深势阱中的微观粒子， 其哈密顿量的本征态没有简并n222E=,n2ma2n = 1, 2, 3, · · ·2nn =a sinxa它的本征态n当n > 1激发态，n = 1基态。用一个可观测量哈密顿量就刻画清楚了。

41、 对于具有多个自由度的微观系统，一个可观测量5证明可参考著量子力学，科学，2002. 第4142页6.5. 不确定关系与两个可观测量可同时确定的条件93的本征态可能出现简并。例如对氢原子，若哈密顿算符取为( )p22e212H =+ Vr= 2µ2µ 4 r(6.108)0在5.6节我们已经知道此哈密顿量的本征值及本征态为µe41En = 2 (4 )2 2 n2 ,n = 1, 2, · · ·0(6.109)l = 0, 1, · · · ,n 1(r, , ) = R(r) Y(, ) ,nlmnllmm = 0, ±1, · · · , ±l对于给定的能级En，共有n2个线性的本征态。 所以要完整地刻画氢原子的一个能级（即哈密顿算符的本征态），需要若干个相互对易的可观测 量。一个微观系统，能同时确定并完全定出本征函数（即它们的共同本征函 数无简并）的一组可观测量称为完备可观测量组。 对于一个特定的微观系统，究竟需要多少个可观测量才能一个完备可观测量组？ 一般来