无穷小与无穷大_无穷小的比较

1、1第第4节节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小的比较无穷小的比较 一、无穷小一、无穷小 二、无穷大二、无穷大 三、无穷小的比较三、无穷小的比较主讲： 唐辉成x定义定义1.121.12若函数在自变量若函数在自变量的某个变化过程中的某个变化过程中以零为极限以零为极限，则称在该，则称在该变化过程中变化过程中, ,为为无穷小量无穷小量简称简称无穷小无穷小)(xfy )(xf2.4.1 2.4.1 无穷小无穷小例如，当例如，当 时，是时，是无穷小量；当时，是无穷小量无穷小量；当时，是无穷小量当时，是无穷小量当时，是无穷小量0 xxsin3x3x1x2) 1( xx21x21x我们经常用希腊字母，来表

2、示我们经常用希腊字母，来表示无穷小量无穷小量注意：注意： （1）无穷小是）无穷小是以零为极限以零为极限的的变量变量，常数中只有零是无穷小常数中只有零是无穷小 （2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如例如: : 1( )f xx当当 时时, 为无穷小为无穷小x 1( )f xx当当 时时, 就不是无穷小就不是无穷小1( )f xx1x 定理定理1.21.2函数函数 以以 为极限的充分为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即小量之和即)(xfA)(xfAAxfAxf)()(lim0lim其中其中无穷小的代

3、数性质 性质性质1 无限个无穷小之和仍是无穷小。 性质性质2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小 。 推论推论1 常数与无穷小之积是无穷小。 推论推论2 有限个无穷小之积是无穷小。定义定义1.11.10 0如果如果 ( (或或 ) )时，时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称相应的函数值的绝对值无限增大，则称当当 ( (或或 ) )时为时为无穷大量无穷大量，简，简称称无穷大无穷大. .0 xxx ( )f x2.4.2 2.4.2 无穷大无穷大( )f x0 xxx 0lim( )(lim( )xxxf xf x 如果函数当时为无如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，穷大，按通常意

4、义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是函数的极限是无穷大无穷大”并记为并记为)(xf0()xx x00()()lim( )lim( )xxxxxxf xf x 而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为例如，例如，0lim 2lim lnxxxx （1） 无穷大是个变量，不是常数无穷大是个变量，不是常数 （2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联无穷大总和自变量的变化趋势相关联 注意：注意： 时，时， , , 时，时， 是无穷小是无穷小 x 101x1

5、1xx 例例1 1 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？程中是无穷小和无穷大？ 2(1)1(2)1yxyx解解 时，时， , , 时，时， 是无穷小是无穷小 0 x 20 x 2x0 x 时，时， , , 时，时， 是无穷大是无穷大 x 2x 2x0 x解解 时，时， , , 时，时， 是无穷大是无穷大 1x 11x 11x1x 时，时， , , 时，时， 是无穷大是无穷大 x 2x 2x0 x13( ) yx解解 时，时， ，所以，所以 时，时， 是无穷小是无穷小 x 10 x1xx 时，时， , ,所以所以 时，时， 是正无穷大是正

6、无穷大 0 x1x 0 x1x练习一练习一1 1. .下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？221121311411当时，当时，当时，当时，( )( )( )( )xyxxyxxyxxyx 是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小2150326273183当时，当时，当时，当时，( )( )( )( )xxxyxxyxxyxy 是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大2.2.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小程中是无穷大和无穷小 (1)1yx31(

7、2)yx 时， 是无穷小 1x 1x 时， 是无穷大 x 1x 时， 是无穷小 x 31x0 x 时， 是无穷大 31x1(3)1yx 时， 是无穷小 x 11x 时， 是正无穷大 1x 11x241( )xyx 221211时，是无穷小时，是无穷大xxyxxxyx 226( )xyx 5( )lgyx 10时，是无穷小或时，是无穷大lglgxyxxxyx 222220或时，是无穷小时，是无穷大xxxyxxxyx 解解因为，所以是有界变因为，所以是有界变量；量；11sinxx1sin例例2 2求求xxx1sinlim0当时，是无穷小量当时，是无穷小量0 xx根据性质根据性质1.21.2，乘积是

8、无穷小量即，乘积是无穷小量即xx1sin01sinlim0 xxx练习练习求下列函数的极限求下列函数的极限2022112234( )limsinarctan( )limsin( )limcos( )limxxnnxxxxxxnn0 0 0 0 01lim/1/1limlim2xxxxxx，21/2/1limlimxxxx，xxxxxx2lim/1/2limlim2x我们记，它们我们记，它们都是都是x1x221x时的无穷小量但时的无穷小量但2.4.3 2.4.3 无穷小的比较无穷小的比较，趋于零的情况，趋于零的情况x121xx2xx/1x/22/1 x10 100 1 000 10 00010

9、100 1 000 10 000 0.1 0.01 0.001 0.000 10.1 0.01 0.001 0.000 1 0000.2 0.02 0.002 0.000 20.2 0.02 0.002 0.000 20.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 010.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01定义定义1.141.14设、是同一变化过程中设、是同一变化过程中的两个无穷小量，的两个无穷小量，(2)(2)若若( (是不等于零的常数是不等于零的常数) )，则称与是则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量若，则称若，则称与是与是等价无穷小量等价无穷

10、小量climc1c0lim(1)(1)若若, ,则称是比则称是比高阶的高阶的无穷小量无穷小量也称是比也称是比低阶的无穷小量低阶的无穷小量21关于等价无穷小，有下面重要的性质关于等价无穷小，有下面重要的性质定理定理44 设设 ， ，且，且 存在，存在，则则证明：证明： limlimlimlimlimlim22在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法称为等价无穷小替换法方法称为等价无穷小替换法常用的无穷小替换有：常用的无穷小替换有： xx sinxx tanxx arcsinxx arctan2cos12x