轴心受压构件的弯曲屈曲ppt课件

1、重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院构造稳定实际主讲：程 睿 : 2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性实际2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲2.5 初始缺陷对轴心受压构件的影响2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述概述轴心受压构件的失稳方式轴心受压构件的失稳方式弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速添加而丧失承载力。添加而丧失承载力。 双轴对称截面双轴对称截面 改动失稳：改动变形迅速增大而丧失

2、承改动失稳：改动变形迅速增大而丧失承载力。载力。十字形截面十字形截面弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心时，截面形心与剪心 不重合，发生弯曲的同时伴有不重合，发生弯曲的同时伴有改动。改动。 单轴对称截面，无对称轴截面单轴对称截面，无对称轴截面 弯曲屈曲是确定轴心受压构件弯曲屈曲是确定轴心受压构件稳定承载力的主要根据。稳定承载力的主要根据。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v荷载位移曲线荷载位移曲线vv1-小挠度实际小挠度实际 (弹性弹性)2-大挠度实际大挠度实际 (弹性弹性)3-有初弯曲时有初弯曲时(弹性弹性)4-有初偏心时有初偏

3、心时(弹性弹性)3-有初弯曲时有初弯曲时(弹塑性弹塑性)4-有初偏心时有初偏心时(弹塑性弹塑性)2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲轴心受压构件的弹性弯曲屈曲1理想轴心压杆的欧拉临界力理想轴心压杆的欧拉临界力根本假定：根本假定：1等截面、双轴对称直杆，两端理等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；想铰接；2压力经过截面形心，沿原杆件轴压力经过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；线方向作用；3资料具有线弹性，符合虎克定律；资料具有线弹性，符合虎克定律；4符合平截面假定；符合平截面假定；5小变形假定：小变形假定： 弯曲曲率：弯曲曲率：yyy/ 232)(1 2

4、 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程：并建立平衡微分方程： 杆件处于临界形状时，内外弯矩杆件处于临界形状时，内外弯矩相等，即相等，即 令令 ，得：，得：此常系数二阶齐次微分方程的通解：此常系数二阶齐次微分方程的通解：A, B为待定系数，由边境条件确定。为待定系数，由边境条件确定。yEIMi PyMePyyEI 2kEIP02 ykykxBkxAycossin2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲由边境条件得：由边境条件得：1 那么那么2由此可得临界力公式为：由

5、此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：与之对应的挠曲线为：kxAyByxsin , 0 000sin 0klAylx0 A0sin kllmk 2lmEIP222mcr,lEImPlxmAysinm = 1，2，3，即，即2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v临界力和屈曲方式临界力和屈曲方式v v 221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxmAysin2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v挠曲线挠曲线v 当当m = 1时时P最小，对应的挠曲线方程最小，对应的挠

6、曲线方程为为 ，为正，为正v弦曲线的一个半波；当弦曲线的一个半波；当x = l /2时，时，y = v0，A即为即为跨中最大挠度跨中最大挠度v v0，故有，故有 。v杆件可在恣意杆件可在恣意 v0值的弯曲形状下坚持平衡。值的弯曲形状下坚持平衡。v lxvysin0crP轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度Av 0lxAysinv0 为不定值，在小变形假设的前提下，为不定值，在小变形假设的前提下，2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2端部有约束的轴压构件压杆的高阶微分方程端部有约束的轴压构件压杆的高阶微分方程 对于两端为恣意支承情况时，由脱离体的平衡得：对于两端为恣意支承情况时，由脱离体

7、的平衡得：对上式求导两次可消去等式对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力：右端的杆端约束力： 令令 ，得，得 此微分方程与杆端约束力此微分方程与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，无关，故能代表各种支承情况，称压杆屈曲的高阶微分方程。称压杆屈曲的高阶微分方程。 VzMPyyEI A0 yPyEI2kEIPlMMVBAPPPP02 yky2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲方程的通解为：方程的通解为：其各阶导数为：其各阶导数为：A, B, C, D为待定系数，由边境条件确定。为待定系数，由边境条件确定。各支承情况的边境条件：各支承情况的边境条件： 铰支：铰支： 固支：固支： 自在

8、端：自在端：DCzkzBkzAycossinCkzBkkzAkysincoskzBkkzAkycossin22 )(sincos233CykkzBkkzAky 0 , 00 , 00 , 02 ykyyyyyy2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v 两端固定的轴心压杆两端固定的轴心压杆v 边境条件：边境条件：v 线性齐次方程组：线性齐次方程组：v 为使关于为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，那么其系解，那么其系数行列式应为数行列式应为0。v 0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDC

9、lklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲那么那么由此得由此得 或或1求解第一式求解第一式 临界力：临界力：2求解第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法求解第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法 在坐标系中分别画出曲线在坐标系中分别画出曲线 和和 ，其，其交点交点 即为方程的解。即为方程的解。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl22 tan 02sinklklkl)3 , 2 , 1(422222mcr,mlEImPEIPlmkmkl2tankly 2kly 22cr4

10、lEIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲取相交点的最小值，得取相交点的最小值，得 即即 结合上述两式的解，取小值，结合上述两式的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：得两端嵌固杆的临界力为：使方程有非使方程有非0解，满足解，满足 = 0的的k值称为特征值，因此解理想值称为特征值，因此解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。与与k值对应的值对应的y(x)为特征函数或特征向量，即构件处于中性为特征函数或特征向量，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。平衡时的弹性曲线方程。 = 0为特征方程，因为特征方程，因Pcr由由

11、 = 0求得，故又称为屈曲方程。求得，故又称为屈曲方程。2222cr2/4lEIlEIP22cr)2/(045. 2 43. 12lEIPkl2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v 一端铰接、一端固定的轴心压杆一端铰接、一端固定的轴心压杆v 边境条件：边境条件：v 线性齐次方程组：线性齐次方程组：v 为使关于为使关于A、C的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，那么其系数行列式解，那么其系数行列式应为应为0。v 0 , 0 , 0 , 000 lxlxxxyyyy0cos0sin 0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDB01

12、cossinklklkl力学边力学边境境几何边几何边境境2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲展开得展开得即即 上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为： 最小特征根最小特征根 即即klklklklkltan0cossinEIPk 2EIPlcr2493. 4222cr)7 . 0(19.20lEIlEIP493. 4kl2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲3轴心受压构件的计算长度轴心受压构件的计算长度 对其他约

13、束情况，对其他约束情况，Pcr同样可由高阶微分方程计算，同样可由高阶微分方程计算，如：如： 两端铰支：两端铰支： 一端固定一端自在：一端固定一端自在： 一端固定一端平移但不转动：一端固定一端平移但不转动： 可一致表示为：可一致表示为： l0称计算长度，称计算长度，为计算长度系数。为计算长度系数。 ) 1( 22crlEIP2)( )2(22crlEIP) 1( 22crlEIP22202cr)( lEIlEIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v 讨论讨论 l0 l0 的本质的本质v 由曲率方程有：由曲率方程有：v 假设知杆中两弯矩为零的截面位置分别为假设知杆中两弯矩为零的截面位

14、置分别为z1z1、z2z2，即：，即：v 和和 v 代入上式得关于待定系数代入上式得关于待定系数A A、B B的线形齐次方程组的线形齐次方程组v 即应有即应有v 展开得：展开得： v 即即 v 令令 ，得，得 ， 解得最小值解得最小值 kzBkkzAkycossin22 01yzz 02yzz0cossin0cossin2211kzBkzAkzBkzA0coscos sinsin2121kzkzkzkz0sincoscossin2121kzkzkzkz0)sin(12 zz120zzl0kl0sin0kl2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 由此得到与欧拉临界力一样的算式：由此得到

15、与欧拉临界力一样的算式： l0 l0的本质为点的本质为点 z1 z1、z2 z2 之间的间隔，因这两点弯矩为零，之间的间隔，因这两点弯矩为零，亦亦即曲率为零，故为反弯点。即曲率为零，故为反弯点。 l0 l0实践上相当于相邻两反弯点处实践上相当于相邻两反弯点处切切出的脱离体相当于欧拉柱的长度。出的脱离体相当于欧拉柱的长度。 202crlEIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性实际轴心受压构件的大挠度弹性实际1大挠度方程大挠度方程 构件弯曲曲率与变构件弯曲曲率与变形的关系：形的关系： 两端铰接轴压杆大两端铰接轴压杆大挠度方程为：挠度方程为：232)(1

16、 /yy 0)(1 232 PyyyEI/2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2讨论讨论 1当当PPE时，小、大挠度实际都阐明构件处时，小、大挠度实际都阐明构件处于直线稳于直线稳 定平衡形状；定平衡形状； 2当当PPE时，小挠度实际只能指出构件处于时，小挠度实际只能指出构件处于随遇平衡随遇平衡 形状，只能给出分岔点和屈曲变形外形，不形状，只能给出分岔点和屈曲变形外形，不能给出确能给出确 定的挠度值；而大挠度实际不仅能阐明构件定的挠度值；而大挠度实际不仅能阐明构件屈曲后仍屈曲后仍 处于稳定平衡形状，而且可以得到不同时辰处于稳定平衡形状，而且可以得到不同时辰的荷载与的荷载与 挠度关系；

17、挠度关系； 2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 3两个实际给出了一样的分岔荷载。小挠度实际的临界两个实际给出了一样的分岔荷载。小挠度实际的临界 荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠 度实际的分岔荷载那么是由直线稳定平衡形状到曲线度实际的分岔荷载那么是由直线稳定平衡形状到曲线稳稳 定平衡形状的分枝点；定平衡形状的分枝点； 4大挠度实际得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达大挠度实际得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达 到构件长度到构件长度3%以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹 塑性形状，出现下降

18、段。因此轴心压杆的屈曲后强度塑性形状，出现下降段。因此轴心压杆的屈曲后强度 不能被利用。不能被利用。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲轴心受压构件的非弹性屈曲欧拉临界力及临界应力只适用于资料为欧拉临界力及临界应力只适用于资料为弹性时的情况，应弹性时的情况，应 力一旦超越资料的比例极限，那么欧力一旦超越资料的比例极限，那么欧拉公式不再适用。拉公式不再适用。临界长细比临界长细比 ppp22pcrEE弹性失稳和弹性失稳和弹塑性失稳弹塑性失稳的分界点的分界点2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲1切线模量实际切线模量实际 由德国科学家恩格塞尔由德

19、国科学家恩格塞尔Engesser在在1889年年提出。提出。 根本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。根本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。 到达弹塑性失稳荷载到达弹塑性失稳荷载Pt后，后，构件微弯时荷载还略有添构件微弯时荷载还略有添加，加，而且添加的平均轴向应力而且添加的平均轴向应力正好正好抵消因弯曲而在抵消因弯曲而在11截面截面右侧右侧边缘产生的拉应力。边缘产生的拉应力。即：即：凹面压应力添加为凹面压应力添加为max；凸面压应力添加量正好为凸面压应力添加量正好为0。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲作用于作用于1 11 1截面上的压力为：截面上的压力为：作用于作用于1

20、11 1截面上的内力矩为：截面上的内力矩为：ttAtAPPPdAdAP)(AAAAizdAChdAzhdAzhCzdAzM2max2max2max全截面对形心全截面对形心轴的面积矩为轴的面积矩为0hEEtmaxtmaxyIEIE tt2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲恣意截面恣意截面i i上的内力弯矩和轴力对原点的平衡方程为：上的内力弯矩和轴力对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，那么代入前面推导得到的轴力和弯矩，那么求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中PtPt和和EtEt均为未知，需求迭代求解。均为未知，需求迭代求解。0PyMPyMii0 Pyy IEtEt

21、2t2tPEElIEPtttPEP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2双模量实际折算模量实际双模量实际折算模量实际 由德国科学家恩格塞尔由德国科学家恩格塞尔Engesser在在1895年年提出。提出。 根本假定：根本假定： 1在弯曲时全截面出现反号应变；在弯曲时全截面出现反号应变； 2压杆屈曲时压力坚持不变。压杆屈曲时压力坚持不变。v 弯曲时凹面产生正号应变，弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；凸面产生负号应变；v 即：即：v 凹面为继续加载区，凹面为继续加载区，v 凸面为卸载区。凸面为卸载区。v 加载区变形模量为加载区变形模量为Et；卸载；卸载区变形模量为区变形模量为E0

22、1121222max2111max12211AAAAdAzCdAzCdAdA2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲作用于作用于1 11 1截面上的压力变化值为：截面上的压力变化值为：由于屈曲后压力坚持不变，因此由于屈曲后压力坚持不变，因此那么那么 即即由上式可以求出中性轴的位置。由上式可以求出中性轴的位置。21221121PPdAdAPAA1tmax1tmax1CEE2max2max2CEE0)(212211tAAdAEzdAzE021t ESSE2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲1-1截面上的内力矩：截面上的内力矩：yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCd

23、AzCdAzdAzMAAAAAAi )()(21t21t21t222121t2222max21211max12221112121212 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲恣意截面恣意截面i上的内力弯矩和轴力对原点的平衡方程为：上的内力弯矩和轴力对原点的平衡方程为：即即求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中 为折算模量，与为折算模量，与E, Et和截面外形有关。和截面外形有关。Pt小于小于Pr，曾以为双模量实际更为完善，但研讨阐明，曾以为双模量实际更为完善，但研讨阐明Pt更接更接近实验结果。近实验结果。0PyMPyMii0)(21t PyyEIIEEr2r2221t2r)(PEE

24、lIElEIIEPIEIIEE21tr2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲3Shanley实际实际 Shanley于于1947年设计了年设计了Shanley模型来解释实模型来解释实验值更接验值更接近切线模量实际。近切线模量实际。 力学模型：力学模型：1模型有三部分组成：两根模型有三部分组成：两根l/2长的刚性杆长的刚性杆和中间衔接的弹塑性铰；和中间衔接的弹塑性铰； 2弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；3铰的铰的 -曲线是折线。曲线是折线。弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。 EtE EtE 2 轴心受

25、压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 铰的弹性模量为铰的弹性模量为E，切线模量为，切线模量为Et，铰的肢长为，铰的肢长为h，肢距为，肢距为h，每肢面积为，每肢面积为A/2； 当当P到达临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变到达临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为为1和和2，两肢变形如图，两肢变形如图 ；杆端转角：杆端转角：跨中挠度：跨中挠度：22221210hhh)(42210lld 02 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 假设弯曲凹面和凸面的变形模量为假设弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和和E2，那么因屈曲，那么因屈曲而产生而产生的内力的内力P1和和P2：铰处的内

26、弯矩：铰处的内弯矩：铰处的外弯矩：铰处的外弯矩： 由内外弯矩平衡得：由内外弯矩平衡得：2111AEP2222AEP4)(21lPdPMe)(422221121EEAhhPhPMi 0212211EElAhP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v 讨论讨论v 1当构件在弹性形状失稳时，即当构件在弹性形状失稳时，即E1=E2=E，那么：，那么：v 2当构件在弹塑性形状失稳时，按切线模量实际，当构件在弹塑性形状失稳时，按切线模量实际， E1=E2 v = Et，那么：，那么：v 显然，假设显然，假设E1=E2=Et，那么，那么P2必为受压，即必为受压，即2必为必为缩短，缩短，20v 因压

27、力增量因压力增量 v 亦即当亦即当20时，时， P0。假设要。假设要 P=0，只需，只需1=2，即，即d=0。阐明。阐明v 切线模量荷载切线模量荷载Pt是压杆坚持平直形状时的最大压力；是杆是压杆坚持平直形状时的最大压力；是杆件件v 开场屈曲时的最小压力，亦即在发生弯曲时压力必需添加。开场屈曲时的最小压力，亦即在发生弯曲时压力必需添加。EcrPlAhEPtEttcrPPEElAhEP)(2221121EEAPPP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲3当构件在弹塑性形状失稳时，假设当构件在弹塑性形状失稳时，假设12，亦即，亦即d 0，要要 P=0，那么必需有，那么必需有E11=E22，

28、且，且E1=Et，E2=E，那，那么：么： 其中：其中： 是是Shanley模型的折算模量。模型的折算模量。rErttcr2PPEEEEEElAhPttr2EEEEE 由比较可知EtErE，因此PtPrEt ，故，故PrPt ，Pr是压杆屈曲后的渐进线，实是压杆屈曲后的渐进线，实践上践上v 是达不到的，即是达不到的，即Pt PPr；v 3实践的实践的Et随随Pt的添加而减少不是常数，因此曲线下降。的添加而减少不是常数，因此曲线下降。rttttt21/212PlAhEEEEPEEEEPPtPPrPtd2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2.5 初始缺陷对轴心受压构件的影响初始缺陷对轴

29、心受压构件的影响初始缺陷初始缺陷 几何缺陷：初弯曲、初偏心几何缺陷：初弯曲、初偏心 力学缺陷：剩余应力力学缺陷：剩余应力1初弯曲的影响初弯曲的影响 假设初弯曲外形为正弦半波，跨中假设初弯曲外形为正弦半波，跨中最大初挠度为最大初挠度为v0，即：，即：内弯矩：内弯矩：外弯矩：外弯矩： yEIMi )sin(0lzvyPMelzvysin002 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 由两端铰接杆的失稳变形可知，添加由两端铰接杆的失稳变形可知，添加的变形也为正弦半波曲线：的变形也为正弦半波曲线：由内外弯矩平衡得：由内外弯矩平衡得： 即即 ，那么，那么跨中总挠度跨中总挠度 0sin)(01 lz

30、vvPyEIlzlysin 22 0sin)( 01122lzvvPvlEI001EPvvPPPPPvvE01E0E00011PPvPPPvvvvvlzvysin12 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲施工验收规范规定柱施工验收规范规定柱的的最大初始挠度为最大初始挠度为l /1000v 讨论讨论v 1 v与与v0成正比，与成正比，与P是非线性关系，当是非线性关系，当P =0时，时， v =v00；v 2当当P PE时，时，v ，即以欧拉临界力为渐进线，最，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠大挠v 度与度与v0无关；无关；v 3一样压力下，初弯曲一样压力下，初弯曲v0越大，越大，v 杆的挠

31、度越大。杆的挠度越大。lzPvqsin01v2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲4跨中挠度跨中挠度v可了解为逐级开展过程共轭梁法可了解为逐级开展过程共轭梁法 跨中挠度：跨中挠度： v1引起的附加弯矩产生的挠度：引起的附加弯矩产生的挠度： 以此类推得总挠度关系：以此类推得总挠度关系： 括号内为无穷等比级数，当括号内为无穷等比级数，当P/PE1时级数收敛；得到与时级数收敛；得到与前述一样的结果，前述一样的结果， 称为挠度或弯矩放大系数。称为挠度或弯矩放大系数。0E2201 vPPEIlPvv02E1E2212 vPPvPPEIlvPv0E02EE0 11vPPvPPPPvv表达了一阶弯

32、矩和二阶表达了一阶弯矩和二阶弯矩的差别，即构件本弯矩的差别，即构件本身的二阶效应，即：身的二阶效应，即： P- P-效应。效应。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲5上式仅在凹侧应力上式仅在凹侧应力 max fy 有效，极限条件是有效，极限条件是 称边缘纤维屈服准那么。称边缘纤维屈服准那么。 上式即上式即 或或 令令 初始偏心率，得：初始偏心率，得： 解得解得 上式由上式由Perry在在1886年首先提出，故称为年首先提出，故称为Perry公式，公式， 初弯曲杆能接受的最大荷载初弯曲杆能接受的最大荷载P = A。 yfWMAPyE01fWPPPvAPyE011fWPPAvAPWAv

33、0yE11fEy2EyEy2)1 (2)1 (fff2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2初偏心的影响初偏心的影响 图示杆件两端荷载存在初偏心距图示杆件两端荷载存在初偏心距e0，杆件在弹性阶，杆件在弹性阶段任务，段任务，其内、外弯矩的平衡方程为：其内、外弯矩的平衡方程为：上式的通解为上式的通解为 由边境条件由边境条件 y(0)=0 和和 y(l)=0 得到得到B=e0和和 ，即：，即：跨中挠度跨中挠度0cossinekzBkzAy0)(0 eyPyEI0sincos1eklklA0) 1cossinsincos1(ekzkzklkly00) 12cos2sinsincos1(ekl

34、klklklv2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲 化简后得化简后得讨论讨论1 1v0v0是是P P的非线性函数，当的非线性函数，当P =0P =0时，时， v0=0 v0=0，但一开场加载杆件即发生，但一开场加载杆件即发生 弯曲；弯曲；2 2v0v0在加载初期增长较慢，后随在加载初期增长较慢，后随P P的加大而增长加快，当的加大而增长加快，当 PPE PPE时，时，vv，以欧拉临界力为渐进线；，以欧拉临界力为渐进线；3 3偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；假设偏心很小，偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；假设偏心很小， 那么那么v0v0在在PPEPPE前都很小。前都很小。 与初

35、弯曲的影响无本质区别。与初弯曲的影响无本质区别。0E0) 12(secePPve0=0.3e0=0.12 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲4根据边缘纤维屈服准那么，构件中点截面边缘纤维的压根据边缘纤维屈服准那么，构件中点截面边缘纤维的压应应 力最大值：力最大值： 即即 ，此时为初偏心杆的相关公式。，此时为初偏心杆的相关公式。 yE0002sec1fPPWAeAPWevPAPWMAP12secEy0yPPMMPP正割公式正割公式4E2EE224522112secPPPPPPE2EE111PPPPPPEEE1234. 012secPPPPPP1)1 ()234. 01 (EyE0yPP

36、MPPMPP2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲3剩余应力的影响剩余应力的影响1剩余应力对杆件平均的应力剩余应力对杆件平均的应力-应变曲线的影响应变曲线的影响剩余应力的存在降低了比例极限；剩余应力的存在降低了比例极限； fy ( fp, y ) fp ( p ) fp = fy - rc 有效比例极限有效比例极限对于中长柱，当屈曲应力超越有对于中长柱，当屈曲应力超越有效比例极限时，剩余应力将降低效比例极限时，剩余应力将降低构件的抗弯刚度，从而降低其屈构件的抗弯刚度，从而降低其屈曲荷载。曲荷载。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲2轴压构件临界应力轴压构件临界应力 cr与

37、与的关系柱子曲线的关系柱子曲线理想弹塑性理想弹塑性非理想弹塑性（有缺陷影响）非理想弹塑性（有缺陷影响）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）psyfpfcrpsyfpfcr 长细比一样时，初始缺陷越大，长细比一样时，初始缺陷越大， 临界承载力越低。临界承载力越低。2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲3思索剩余应力的轴心压杆的屈曲荷载思索剩余应力的轴心压杆的屈曲荷载 剩余应力有一定的分布方式，思索超越屈服点后，弹性剩余应力有一定的分

38、布方式，思索超越屈服点后，弹性 中心继续接受荷载，屈服部分退出任务。中心继续接受荷载，屈服部分退出任务。 临界荷载临界荷载 临界应力临界应力 其中其中Ie / I 为临界荷载或临界应力为临界荷载或临界应力降低系数，取决于剩余应力的分布、截降低系数，取决于剩余应力的分布、截面外形和弯曲方向。面外形和弯曲方向。以轧制以轧制H型钢为例型钢为例IIlEIlEIPe222e2crIIEe22crkbbhbthtbIIe22exex2/2/333e33eyey12/212/2kbbtbtbII2 轴心受压构件的弯曲屈曲轴心受压构件的弯曲屈曲v k值的求法值的求法 短柱实验短柱实验v 当进入弹塑性后，屈服部分退出任务，抵抗应变全靠当进入弹塑性后，屈服部分退出任务，抵抗应变全靠弹性弹性v 区截面面积区截面面积Ae承当。当轴心压力增量为承当。当轴心压力增量为P时，时，v 平均应力增量：平均应力增量： =P /Av 应变增量：应变增量： =P /(AeE)v与截面平均应力对应的切线模量：与截面平均应力对应的切线模量：v由前述由前述H型钢，型钢，v 所以可以经过短柱实验测出切线模量，从而得到剩余所以可以经过短柱实验测出切线模量，从而得到剩余应力应力v影响系数影响系数k。EAAEAPAPddEeet)/(/P全部由弹性全部由弹性