高等数学自学课件81

1、一一 预备知识预备知识二二 多元函数的概念多元函数的概念三三 多元函数的极限多元函数的极限四四 多元函数的连续性多元函数的连续性第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性1.邻域),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx0P 设设是是平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点距离小于距离小于 的点的点的全体，称为点的全体，称为点的的 邻域，记为邻域，记为， xoy),(000yxP ),(000yxP ),(yxP0P ),(0 PU),(0 PU的去心邻域的去心邻域点点 |00PPP0P一、预备知识一、预备知识2. 内点E1P

2、 .的内点的内点为为则称则称的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设.的内点属于的内点属于EPPEPU)(PEEE.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE例如，例如，即为开即为开集集41),(22yxyxEP 3. 边界注：0.3也可能不属于也可能不属于的边界点可能属于的边界点可能属于EEE0;2 的外点必定不属于的外点必定不属于EE10;的内点必属于的内点必属于EE的边界点的边界点为为），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的

3、点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为EEPEEEEEPP 4. 连通集5. 区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域开集开集且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于是连通的是连通的，则称，则称连结起来连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDDxyo开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域xyo例如，例如，.94| ),(22yxyx例如，例如，.4| ),(22 yxyx有界闭区域有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo6 有界点集、

4、无界点集无界点集无界点集为有界点集，否则称为为有界点集，否则称为则称则称即即，不超过不超过的距离的距离与与使任意的使任意的，如果存在正数如果存在正数的某一定点的某一定点对于点集对于点集 EEEAKKAEPAPKAP 例如，例如，4| ),(22 yxyx0| ),( yxyx7 n维空间.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为nRPPPPPU,|),(00 比如比如： 当当 时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两点间的距离点间的距离3, 2, 1 n 设设 为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称元数组

5、元数组的全体为的全体为维空间维空间，而每个而每个元数元数组组称为称为 维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数称为该点的第称为该点的第 个坐标个坐标.nnnnn),(21nxxx ),(21nxxx ixi二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数),(21nxxxfu 设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz （或记为 ) )(Pfz当当时时，元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.2nn多元函数中同样有定义域、值域、自多元函数中同样有定义域、值域、自

6、变量、因变量等概念变量、因变量等概念1 多元函数的定义解所求定义域为所求定义域为解所求定义域为所求定义域为. 122 yx0 yx例1 求求 的定义的定义域域)ln(),(yxyxf.0| ),(yxyxD.1| ),(22yxyxD例2 求求 的定义的定义域域)arcsin(),(22yxyxf 2 二元函数 的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(z

7、yxM，当当),(yx取遍取遍D上一切点时，得上一切点时，得到到一个空间点集一个空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形. 说明：二元函数的图形通常是一张曲面说明：二元函数的图形通常是一张曲面.如二元函数的图形是以如二元函数的图形是以原点为球心，半径为的上半个球面；原点为球心，半径为的上半个球面；222yxaza而表示以坐标原点为顶点的上而表示以坐标原点为顶点的上半个锥面半个锥面22yxz三、多元函数的极限聚点 设设E是平面上的一个点集是平面上的一个点集，P 是平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限的任何

8、一个邻域内总有无限多个点属于点集多个点属于点集E，则称则称P为E 的聚点的聚点.内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点边界点可能是聚点10| ),(22 yxyx例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点定义1 设函数),(yxfz 的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数e e，总存在正数 ，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的一切点，都有e e |),(|Ayxf成立，则称 A A 为函数),(yxfz 当0 xx，0yy时的极限， （或)0(),(r rAyxf这里|0PP r r）. 记为 Ayxfyyxx),(lim00说

9、明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似证证例例1 1 求证求证 01sin)(lim222200yxyxyx2222221sinyxyxyx0, 0e当22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx时时e01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立证证例例2 2 求证求证 0lim22200 yxyxyx0222 yxyx222yxyx y , 0 e e,e e 当当 时，时， 22

10、)0()0(0yx22yx 所以结论成所以结论成立立e 0222yxyx证证其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在例例3 3 证明证明 不存在不存在 24200limyxyxyx取取2kxy 24200limyxyxyx4242202limxkxkxxkxyx21kk（2） 令令),(yxP沿沿kxy 趋向于趋向于),(000yxP，若若极限值与极限值与k有关，则可断言极限不存在有关，则可断言极限不存在； 确定极限不存在的方法：1（ ）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),

11、(000yxP处极限不存在处极限不存在),(lim00yxfyx 设设n元元函函数数),()(yxfPf 的的定定义义域域为为点点集集),(,000yxPD是是 其其 聚聚 点点 且且DP 0， 如如 果果)()(lim00PfPfPP , ,则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续. . 1 1 定义定义上连续上连续在在就称函数就称函数的每一点都连续，那么的每一点都连续，那么在在如果函数如果函数DDyxf) yxf,(),(四、多元函数的连续性例例4 4 讨论函数讨论函数 ) 0 , 0 (),(, 0) 0 , 0 (),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在

12、在(0,0)处的连续性处的连续性解解01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 e e,e e 当当 时，时， 22)0()0(0yx故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 01sin)(lim222200 yxyxyxe e 01sin)(2222yxyx例例5 5 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 222203limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同

13、而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)(0,0)处不连续处不连续 设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在点在点0P处不连续，则称处不连续，则称0P是函数是函数)(Pf的的间断点间断点.2 间断点函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：（1）函数在此点处无定义）函数在此点处无定义；（2）函数在此点处有定义，但无极限）函数在此点处有定义，但无极限；（3）函数在此点处有定义，有极限，但极限函数在此点处有定义，有极限，但极限不等于函数值不等于函数值注意：（1）多元函数的间断点有可能是一点，）多元函数的间断点

14、有可能是一点，也可能形成一条曲线；也可能形成一条曲线；（2）多元初等函数在其定义区域内是）多元初等函数在其定义区域内是连续函数定义区域是指包含在定连续函数定义区域是指包含在定义域内的区域义域内的区域一般地，求时，一般地，求时，)(lim0PfPP如果是如果是)(Pf初等函数，且是的定义域的内点则初等函数，且是的定义域的内点则)(Pf0P在点处连续，在点处连续，)(Pf0P于是于是)()(lim00PfPfPP解解例例6 6 求求222002limyxyxyx函数的定义域函数的定义域2222),(yxyxyxf0),(22yxyxD显然显然D)0 , 1 (故故222002limyxyxyx21例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例8 8.)1(lim100 xyxxy 求求解解1)1(lim100 yx