高考数学复习指导：函数概念与基本初等函数

1、. 海量资料 超值下载函数概念与基本初等函数内容要求ABC函数概念与基本初等函数函数的概念􀳫函数的基本性质􀳫指数与对数􀳫指数函数的图象与性质􀳫对数函数的图象与性质􀳫幂函数􀳫函数与方程􀳫函数模型及其应用􀳫函数是高中数学中极为重要的核心内容,自然也是高考考查的重中之重.函数从数量关系上反映了现实世界中变量间的相互依存、相互制约的变化规律.用集合、映射观点来解释函数概念比初中传统的函数定义深刻,紧紧地抓住了映射是一种特殊的对应、函数是一种特殊的映射这个本质来

2、研究函数,这是常量数学到变量数学的一个飞跃.因此,函数的复习应以理解、运用函数的概念、性质和函数的思想为主.当然,一些函数问题也涉及较多的运算,要求我们掌握一定的运算技能,但切忌淹没在繁琐的计算和技巧中,忽视对基本概念的理解和思想方法的领悟.纵观近年来的高考试题,高考考查的内容几乎覆盖了中学阶段的所有函数,如一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数,还有三角函数等,也涉及了函数的所有性质,且以考查三基、通性通法为主.在小题、解答题中每年都有函数试题,通常有 3至4道小题,1至2道解答题(2010年江苏卷有1道函数大题,2011年江苏卷有2道函数大题,2012年江苏卷有1道函数大题,201

3、3年江苏卷有1道函数大题,2014年江苏卷有1道函数大题,其他省的高考试题中函数所占的分值也比较大),考查的热点之一是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数的图象及其变换;在考查函数内容的同时也注重考查能否用函数的思想观察问题、解决问题,能否充分理解并运用函数模型.例如2008年江苏高考第13题求三角形面积的最大值问题,就可以归结为求函数的最大值;又因函数、方程、不等式、导数是相互关联的,应学会对具体问题进行分析,进而建立相应的函数、方程、不等式模型,最终解决问题,这是本章的又一个重要内容,也是高考命题的又一个热点.此外,函数具有极其丰富的内涵,高考中常以基本函数为载体,考查其他的重要的数

4、学思想方法,比如化归思想、数形结合思想、分类讨论思想和配方法、换元法等.注意把握考试说明要求,如对“幂函数”和“函数与方程”的要求是A级,这与“江苏省高中数学教学要求”是一致的.“幂函数”部分只须了解几个常见的幂函数的图象及性质;“函数与方程”部分重在理解和运用函数与方程的联系,体会函数思想对于探讨方程的根等问题的作用.此外,由于函数思想的重要性以及它与其他内容的多向联系,高考仍然会作多层次多角度的考查,且在填空题或解答题的后面部分,极可能出现接近或相当于C级要求的问题(如2010年江苏省高考第20题,2011年江苏省高考第19题,2012年江苏省高考第18题,2013年江苏省高考第20题,2

5、014年江苏省高考第19题).预计在未来高考中,函数仍然是考查的重点,必考大题,出现与导数结合的综合题可能是近年来高考命题的一个新趋向.1. 对本章的概念要特别重视理解和掌握.本章概念多,具有较高的抽象性和严密性,只有准确、深刻地理解它们,才能用于解决问题.要在结合具体函数、函数图象和实际应用的基础上进行概括,深入理解概念的本质和来龙去脉,并学会用适当的数学语言和形式加以准确表达.2. 抓住重点,学会比较.如掌握函数的单调性、奇偶性的判断方法和步骤;对于各种基本初等函数,通过比较,掌握它们的图象、性质等方面的异同,从而避免混淆,使知识融会贯通,形成网络.3. 以函数知识为依托,强化思想方法的训

6、练.如数形结合的思想方法是本章的一条主线,即利用函数图象的直观性研究函数的性质,帮助解决问题.4. 深刻理解函数思想的价值,加强与其他各章知识的联系,才能灵活地加以运用.函数的思想贯穿于中学代数的始终,代数式、方程、不等式、数列等,都可以从函数的观点加以理解,因此要加强函数、不等式、数列等各章之间的知识联系和函数思想方法的训练.第4课时映射、函数与定义域内容要求ABC函数与定义域􀳫1. 了解映射的概念,会判断一个对应是否为映射.对映射概念的学习要求很低,只需初步了解一般集合之间的对应,不必做深入的探讨,通常结合函数概念加以理解.2. 结合具体函数及其应用,从对应的观点来理解函

7、数的概念和构成函数的要素(定义域、值域、对应法则),并体会函数是描述现实世界数量关系和变化规律的数学模型.3. 关于求函数的定义域,根据课程标准的要求,只需针对一些简单函数,应避免“人为地编制一些求定义域和值域的偏题”.1. 设A, B是非空集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个映射.2. 设A, B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.由定义可见,函数是一种特殊的映射.3. 函数

8、用来描述变量之间的依赖关系,一个函数由对应法则、定义域、值域三个要素构成.4. 已知下列三个函数:(1)y=;(2)y= (n为正整数);(3)y=logf(x)g(x).写出各个函数有意义时f(x), g(x)满足的条件:(1)g(x)0;(2)f(x)0;(3)f(x)>0, f(x)1且g(x)>0. 1. 设集合A=a, b,集合B=1, 2, 3,下列对应: f:a1, b3; h:a1, b1; g:a1, b2, 3; k:a1.其中是映射的有.(填序号)2. 已知函数f(x)=若f(a)=,则a=±.3. (1) 已知函数f(x)的定义域为0,

9、1,则函数f(x2)的定义域为-1, 1,函数f(-2)的定义域为4, 9. (2) 已知函数f(x+1)的定义域为2, 3,则函数f(2x-1)的定义域为,函数f的定义域为.4. 直线x=a与函数y=f(x)(x0)的图象的公共点的个数为0或1.1. 判断一个对应是否映射或函数例1下列从A到B的对应中, 哪些是映射?哪些是函数?(1) A=某班的同学, B=体重, f:每位同学该同学的体重;(2) A=1, 2, 3, 4, B=2, 4, 6, 8, f:n2n;(3) A=R, B=非负实数, f:xx4;(4) A是平面上所有点的集合,B=(x, y)x, yR,f:点点的坐

10、标(x, y).点拨判断一个对应是否映射、是否函数,应根据映射和函数的定义进行判断.解(1)(2)(3)(4)是映射,(2)(3)是函数.反思应理解函数是一种特殊的映射,区别只在于前者是数集之间的对应,后者是一般集合之间的对应.拓展下列四组函数中,表示相同函数的一组是.  f(x)=|x|, g(x)=; f(x)=, g(x)=()2; f(x)=, g(x)=x+1; f(x)=·, g(x)=.2. 求函数定义域的方法例2求下列函数的定义域:(1) f(x)=;(2) f(x)=+(3-2x)0.点拨求函数的定义域就是求使函数有意义的自变量的取值范围,只要列出相应的不

11、等式(组),求出不等式(组)的解集即可.解(1) 要使函数有意义,只要即解得-3<x<0或2<x<3.故函数的定义域是(-3, 0)(2, 3).(2) 要使函数有意义,只要即解得<x2且x1且x. 原函数的定义域为.反思求具体函数的定义域,只需使函数解析式有意义,如分式的分母不等于零,偶次方根的被开方数非负,零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等.拓展已知函数f(x)的定义域为-1, 1,且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在,求实数m的取值范围.(答案:-1m1)例3已知函数f(x)的定义域为0, 1,求函数y= f(x

12、2)+f的定义域.解由解得-1x-. 函数的定义域为.反思已知函数f(x)的定义域为a, b,求函数y=fg(x)的定义域问题,其解题方法是由ag(x)b解出x的范围,即为函数y=fg(x)的定义域.3. 由函数定义域求参数的范围例4已知函数f(x)=的定义域是R,求实数a的取值范围.解由题意知当a=1时,10成立;当a=-1时,f(x)无意义;当a2-1>0时,有(a-1)2-4(a2-1)0,解得1<a9.综上,实数a的取值范围是1, 9.反思解题时应注意对二次项系数是否为零进行讨论.1. 理解映射和对应、函数的关系.函数是数集之间的映射,而映射则是一种特殊的对应.用对应的观点

13、有助于深刻理解函数的概念及表示.2. 求函数定义域是研究函数的基础和前提,常易疏漏.函数在不同定义域上有不同的性质,要引起足够的重视.求函数定义域,应根据函数的特征,如分母不为0,偶数次方根的被开方式非负,对数的真数大于0等,列出不等式(组),然后解不等式(组);如遇到实际问题要注意问题的实际意义;由函数定义域求参数的范围,总有部分学生会出错,这类问题的求解常用逆向思维,要注意训练.1. (根据必修1P42练习第2题改编)下列对应法则f中,构成从集合A到集合B的映射的序号是. A=0, 2, B=0, 1, f:xy=; A=-2, 0, 2, B=4, f:xy=x2; A=R, B=y|y

14、>0, f:xy=; A=R, B=R, f:xy=2x+1.2. (根据必修1P43习题2.1(3)第8题改编)(1) 若B=-1, 3, 5,试找出一个集合A,使得f:x3x+1是集合A到集合B的映射.(2) 若A=-1, 3, 5,试找出一个集合B,使得f:x3x+1是集合A到集合B的映射.(答案:如-2, 10, 16,答案不唯一,可以再在集合B中增加一些元素)3. 求下列函数的定义域:(1) (根据必修1P93复习题第1(4)题改编)f(x)=+;答案:2, 4)(4, +)(2) (根据必修1P93复习题第12(1)题改编)f(x)=log2(7-3x);(3) (根据必修1

15、P93复习题第12(2)题改编)f(x)=;(答案:(-, -3)(4) (根据必修1P93复习题第12(1)题改编)f(x)=log2(4-3x-x2).(答案:(-4, 1)第5课时函数的解析式内容要求ABC函数的解析式􀳫1. 了解函数的三种表示方法,其中解析式是函数的一种最重要的表示方法;会求简单函数的解析式.2. 这部分内容单独考查的可能性不大,常通过具体问题找出变量之间的函数关系,再求出函数的定义域和值域,进而研究函数的性质.1. 对于函数,我们有三种表示法,分别是解析法、图象法、列表法.2. 已知fg(x)的表达式,求f(x)的解析式常用配凑法、换元法.3. 已知

16、函数的模型(如指数函数、二次函数等)求解析式的一般方法是待定系数法,即先设出函数解析式,然后根据题设条件求待定系数.1. 已知函数f(x)=2x2+3x.(1)f(2)=14, f(-2)=2;(2)若f(x)=2,则x=-2, .2. 设f(x)=,则f(x)+f=0.3. 已知f(x)=x2-4x,则f(x+2)=x2-4.4. 已知f(x+2)=2x+3,则f(x)=2x-1.5. 已知f(x)=则使f(x)-1成立的x的取值范围是-4x2.1. 函数解析式的常见求法例1在下列条件下,分别求函数f(x)的解析式:(1) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1

17、)=2x+17;(2) 已知f=x3+;(3) 已知f=lgx;(4) 已知等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数x, y都成立,且f(0)=1.点拨求函数f(x)的解析式常用换元法、待定系数法、配方法、赋值法,视已知条件的特点而定.解(1) 设f(x)=ax+b(a0),代入3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17得ax+5a+b=2x+17.比较对应项系数得a=2, b=7, f(x)=2x+7.(2) 由f=-3, 得f(x)=x3-3x(x-2或x2).(3) 令t=1+,则x=, f(t)=lg, f(x)=lg(x>1).(4) 令x=0,则已知等式化为f

18、(-y)=f(0)-y(0-y+1),即f(-y)=y2-y+1.令x=-y,则f(x)=x2+x+1.反思第(1)题中已知函数是一次函数,可以用待定系数法,一般地,若已知函数的特征,则常用用待定系数法;第(2)(3)题用的是换元法、配凑法;第(4)题用的是赋值法.提醒求函数的解析式要注意自变量的范围,如本例的第(3)题.拓展1. 若二次函数f(x)满足f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x)的解析式.(答案:f(x)=x2-1)2. 已知f=,则f(x)的解析式为f(x)=(x-1).2. 利用对称性求函数的解析式例2已知函数y=7x2-x与y=g(x)的图象关于点(3,

19、-2)对称,求g(x)的解析式.点拨可利用点的对称求函数的解析式.解设函数g(x)图象上任一点M(x, y),点M(x, y)关于点(3, -2)的对称点为P(x1, y1).由题意可得 解得代入y1=7-x1, 得-4-y=7(6-x)2-(6-x), y=-7x2+83x-250.因此g(x)的解析式为g(x)=-7x2+83x-250.反思求与已知函数y=f(x)的图象关于点(a, b)对称的图象相应的函数解析式g(x)时,可由对称点的坐标之间的关系,得g(x)=2b-f(2a-x).关于直线对称也可利用对称点的坐标之间的关系.拓展已知函数y=4x+2x的图象与函数y=g(x)关于直线x

20、=-3对称,求g(x)的解析式.(答案:g(x)=4-6-x-2x-12)3. 求实际问题中函数的解析式例3等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a, BC=a, BAD=45°,作直线MNAD于点M,交折线ABCD于点N.记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.(例3)解作BHAD,H为垂足,作CGAD, G为垂足.依题意,则有AH=, AG=a. 当点M位于点H的左侧时,NAB,由于AM=x, BAD=45°, MN=x, y=SAMN=x2. 当点M位于点H, G之间时,由于AM=x, MN=, BN=x-, y=S直角梯形AMNB=

21、3;=ax-. 当点M位于点G的右侧时,由于AM=x, MN=MD=2a-x, y=S梯形ABCD-SMDN=·(2a+a)-(2a-x)2=-(4a2-4ax+x2)=-x2+2ax-.综上, y=反思建立实际问题的函数解析式,首先要选定变量,然后找等量关系.对于定义域各部分解析式不同的情况要进行分段,还要注意函数的实际意义.(例3拓展)拓展如图,有一块半径为R的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是O的直径,且上底CD的端点在圆周上,写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式,并求出它的定义域.解AB=2R,点C, D在O的半圆周上.设腰长AD=BC=x,作DEA

22、B,垂足为E,连接BD,那么ADB是直角,由此可得RtADERtABD, AD2=AE·AB,即AE=, CD=AB-2AE=2R-, y=2R+2x+,即y=-+2x+4R.再由解得0<x<R. y=-+2x+4R,定义域为(0, R).4. 抽象函数解析式问题例4已知函数f(x)对于x>0有意义,且满足:f(2)=1; f(xy)=f(x)+f(y); x>yf(x)>f(y).(1) 证明f(1)=0;(2) 证明f=f(x)-f(y);(3) 求f(4)的值;(4) 如果f(x)+f(x-3)2,求x的取值范围.点拨对于抽象函数可以利用赋值法,化

23、抽象为具体.本题应充分利用f(xy)=f(x)+f(y),并结合x>yf(x)>f(y)考虑函数的单调性.解(1) 令x=y=1,由得f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0.(2) x=·y,由得f(x)=f+f(y), f=f(x)-f(y).(3) 令x=y=2, 由得f(4)=f(2)+f(2)=2.(4) 由f(4)=2及题意得f(x)+f(x-3)f(4), fx(x-3)f(4), 解得3<x4.反思对于抽象函数求值问题,一般利用赋值法.对于有关抽象函数的不等式,可考虑函数的单调性和奇偶性,去掉函数符号,转化为具体的代数不等式解.另可注意到,对数函

24、数f(x)=log2x是满足条件的一个具体函数,不妨结合它加以理解.拓展已知函数f(x)=若f(a)=,则a=-1或.1. 求函数解析式常用换元法、配凑法、待定系数法、赋值法,要能根据不同特征选择合适的方法.其中换元法和配凑法基于对函数定义中对应思想的理解,待定系数法适用于已知或能确定函数解析式结构特征的情形,赋值法一般适用于由抽象函数方程给出的条件.2. 求实际问题中函数的解析式,要注意理解实际问题的意义,将其中的数量关系转化为函数关系,必要时要借助数学的其他知识,如平面几何、方程、三角等;此外,要注意自变量及参数的意义及取值范围.1. (根据必修1P29习题2.1(1)第5题改编)已知函数

25、f(x)=ax+b,且f(3)=0, f(5)=2,则f(0)=-3, ff(1)=-5.2. (根据必修1P32习题2.1(2)第10题改编)已知f(1)=1, f(2)=0,则满足这两个条件的一个函数解析式为f(x)=-x+2.3. (根据必修1P24练习第5题改编)(1)已知f(x)=,则f(n+1)-f(n)=-;(2)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)=x2-x+1.4. (根据必修1P29习题2.1(1)第8题改编)已知函数f(x), g(x)分别由下表给出:x123 f(x)213x123g(x)131则fg(2)的值为3,不等式fg(x

26、)<3的解集为1, 3. 第6课时函数的值域与最值内容要求ABC函数的值域􀳫函数的最值􀳫1. 理解函数值域的概念,掌握求函数值域的常见方法.2. 理解函数最大值和最小值的概念及其几何意义,掌握求值域与最值问题的互相转化方法;能运用求值域的常用方法解决实际问题.3. 本节内容在高考解答题中单独命题的可能性不大,常通过具体问题找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域和值域,进而研究函数的性质;当然也可以在填空题中直接考查求值域的问题.1. 一次函数y=kx+b(k0)的值域为R.2. 二次函数y=ax2+bx+c (a0),当a>0时,值域

27、为;当a<0时,值域为.3. 反比例函数y= (k0)的值域为(-, 0)(0, +). 4. 指数函数y=ax (a>0, a1)的值域为(0, +),对数函数y=logax (a>0, a1)的值域为(-, +). 1. 已知函数y=x2-2x+2, x-3, 2,则该函数的最大值为17,最小值为1.2. 函数y=的值域为0, 2. 3. 函数y=2x-1的值域是(-1, +).  4. 函数y=|x-3|-|x+1|的值域是-4, 4. 5. 已知函数y=x2-2x+3在区间0, m上的最大值为3,最小值为2,则m的取值

28、范围是1, 2. 6. 已知下列命题:y=的值域是(0, +);y=的值域是0, 1;y=+x的值域是-3, +);y=x+的值域为2, +).其中是真命题的有.(填序号)1. 函数值域的求法例1求下列函数的值域:(1) y=, x-5, -3;(2) y=, x3, 5;(3) y=, x;(4) y=x-;(5) y=2x-3+;(6) y=+.点拨第(2)题中的分式比较复杂,可以通过分解转化为类似第(1)题的较简单的问题求解;第(3)题可先拆项,去掉平方后再运用基本不等式求解;第(4)题与第(5)题含有根号,应设法去掉根号,如第(5)题中,可将用t代替,则有t0, x=;第(6

29、)题可考虑平方后转化为求二次函数的值域.解(1) 当x-5, -3时,x+1-4, -2,函数y=在x-5, -3上单调递减,所以它的值域为.(2) 方法一:利用初等函数的图象和性质(化简画图截取结论).(例1) y=2-, x3, 5.将y=-的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,即得y=2-的图象.由图象得函数在3, 5上是增函数,求得ymax=, ymin=.故函数的值域为.方法二:先用定义法或导数法证y=在x3, 5上是增函数.y'=,故y'>0,于是y=在(-, -1)和(-1, +)上分别为增函数.由此求得ymax=, ymin=,故函数的值域.(3)

30、y=x+=x-+. x>, x->0, x-+2=,当且仅当x-=时,即x=时等号成立. y+, 原函数的值域为.(4) 设=t(t0),则y=t2-t=-(t0),所以y-,即所求函数的值域为(5) 设=t(t0)则x=,所以y=-(t-1)2+4(t0),所以y4,所以函数的值域为(-, 4.(6) 由得3x5, 函数的定义域为3, 5.又 y2=2+2=2+2,当x=4时,=4;当x=3或5时,=2. 2y24. y>0, y2, 所给函数的值域为, 2.反思(1) 高考复习,一定要重视基础知识.例如,第(1)题看起来很简单,但它是第(2)题的基础,因为第(2)题中的复

31、杂函数可以分解为基本函数,体现了数学中化繁为简、化整为零的基本思想;另外,导数工具是强有力的通用方法,因为求函数值域本质上是求函数的最大最小值,后者常可用导数求解.如在本题中,运用导数法可以免去分式的变形技巧,详见导数应用部分.(2) 应用换元法要注意新元的取值范围和换元以后的可操作性.第(5)题中换元法之所以可行,本质是基于(5)的两式中,前者与后者有近似平方的关系:y=-(13-4x)+-3.拓展1. 对于求形如y=ax+b+的值域问题,常用换元法.2. 已知a为实数,函数f(x)=a+,令t=+,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t).(答案:t的取值范围是, 2, m(t)

32、=at2+t-a, t, 2)2. 求函数的最值例2已知函数f(x)=, x1, +).(1) 当a=时,求函数的最小值;(2) 如果对任意x1, +), f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.点拨当a=时,f(x)=x+2,可以利用函数单调性求最值;对任意x1, +), f(x)>0恒成立可以转化为函数的最小值大于零.解(1) 当a=时,f(x)=x+2.可以证明f(x)在区间1, +)上为增函数,所以f(x)在区间1, +)上的最小值为f(1)=.(2) 在区间1, +)上,f(x)>0恒成立等价于x2+2x+a>0恒成立.设y=x2+2x+a, x1, +).当

33、x=1时,y有最小值3+a,由3+a>0得a>-3.所以实数a的取值范围a>-3.反思第(1)题实际上是形如f(x)=x+(a>0)的函数单调性的问题,以下结论可利用单调性定义或导数法证明:函数f(x)=x+ (a>0)在(-, -和, +)上是增函数, 在-, 0)上和(0, 上是减函数.第(2)题是采用等价转化思想,将问题转化为一元二次不等式恒成立问题.提醒对于第(1)题,有同学由f(x)=x+22+2=+2,得f(x)的最小值为+2,错在x=,即x=<1,故f(x)+2的等号不成立.3. 函数值域和最值的应用例3已知函数y=的定义域为R.(1) 求实数

34、m的取值范围;(2) 当m变化时,若y的最小值为f(m),求f(m)的值域.点拨由y=的定义域是R,可知当xR时,mx2-6mx+m+80恒成立,从而可求m的取值范围.解(1) 依题意知当xR时,mx2-6mx+m+80恒成立.当m=0时,xR;当m0时,即解得0<m1.综上,0m1.(2) 当m=0时, y=2;当0<m1时,y=, 当x=3时,ymin=, f(m)=(0<m1), f(m)0, 2).综上,f(m)的值域为0, 2.反思对于当xR时,ax2+bx+c0恒成立,一定要分a=0与a>0两种情况来讨论.拓展当x0, 2时,函数f(x)=ax2+4(a-1

35、)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是, +. 例4围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.(例4)设利用的旧墙长为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1) 将y表示为x的函数;(2) 试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求最少总费用.点拨先求矩形各边长,再根据各面墙的造价求出总费用y.解(1) 设矩形的另一边长为am.由题意知ax=360,得a=,所以y=45x+1

36、80(x-2)+180×2×=225x+-360(x>0).(2) x>0, 225x+2=10800, y=225x+-36010440,当且仅当225x=,即x=24m时,修建围墙的总费用最少 ,最少费用10440元.反思在求解实际问题的过程中,要特别注意函数的定义域.1. 本课时介绍了求函数值域、最值的常用方法,有配方法、换元法、导数法、单调性法等,以单调性法和导数法最为基本和重要,应视具体问题的特点采用不同的方法.此外还有不等式法、数形结合法(在线性规划问题中比较突出);对于三角函数,还可以利用三角函数的有界性,详见三角部分.2. 求最值和值域常为等价的

37、问题,可以相互转化.对于一般的连续函数,函数的值域就是介于最小值与最大值之间的所有实数构成的数集;而函数的最值也可以通过求值域中数的最大值或最小值获得(即求出函数值的取值范围).如2008年江苏高考题:x, y, zR*, x-2y+3z=0, 的最小值为.可由x-2y+3z=0得y=,代入得=3,当且仅当x=3z时取“=”.其中利用了基本不等式a2+b22ab. 1. (根据必修1P23例3改编)已知f(x)=(x-2)2+5.(1)当x-1, 0, 1, 2, 3, 4时,f(x)的值域为14, 9, 6, 5; (2)当x-1, 4时,f(x)的值域为5, 14;&#

38、160;(3)当x3, 4时,f(x)的值域为6, 9. 2. (根据必修1P93复习题第5题改编)已知函数f(x)=2x+1,它的值域为-1, 8,则它的定义域为-1, .3. (根据必修1P34例1改编)函数y=-(x2, 3)的最小值为-,函数y=x-(x2, 3)的最小值为.4. (根据必修1P33习题2.1(2)第13题改编)已知函数y=x2, xa, b,它的值域为0, 16,则|a-b|的最大值为8.5. (根据必修1P29习题2.1(1)第6题改编)当a(2, +)时,直线y=a与抛物线y=x2-2x+3有2个交点. 第7课时函数的奇偶性内容要求A

39、BC函数的奇偶性􀳫函数的奇偶性应用􀳫1. 了解函数奇偶性的含义,会判断一些简单函数的奇偶性.2. 能利用函数奇偶性解决一些其他问题.3. 与后面将复习的函数的单调性相比,函数奇偶性并非函数的主要性质,不要作深入的探讨.除了在填空题部分以外,解答题中不可能单独命题,一般与函数的图象和函数的其他性质相关联进行命题.1. 研究函数的奇偶性,主要是为了探讨函数图象的对称性.因此,奇偶性的定义来自于对称点的坐标特征.用代数语言可表述为:设函数y=f(x), xD,对任意xD都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;对任意xD都有 f(-x)=-f(x),则f(x)

40、是奇函数.由定义知,D关于原点对称. 2. 函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.3. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.4. 一次函数y=kx+b(k0)为奇函数的充要条件是b=0,二次函数y=ax2+bx+c(a0)为偶函数的充要条件是b=0.5. 任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和的形式,其中g(x)=, h(x)=.1. 判断下列函数的奇偶性:(1) f(x)=3x2, xR;(2) f(x)=3x2, x(-2, 2;(3) f(x)=2x-, xR.(答案:(1)偶函数;(2)非

41、奇非偶函数;(3)奇函数)2. 若函数f(x)=loga(x+)是奇函数,则实数a=.3. 奇函数f(x)的定义域是R,当x>0时,f(x)=-x2+2x+2,则函数f(x)在R上的表达式为f(x)=.4. 设f(x)是(-, +)上的奇函数,f(x+2)=-f(x).当0x1时,f(x)=x,则f(-0.5)=-0.5, f(3)=-1, f(7.5)=-0.5.5. 函数y=log2的图象关于原点对称.1. 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:(1) f(x)=3x2+x;(2) f(x)=+;(3) f(x)=.点拨判断函数的奇偶性,首先确定函数的定义域,判断定义域是否关于原

42、点对称,如果不关于原点对称就无奇偶性,如果关于原点对称再根据定义判断.第(2)题较特殊,可结合函数图象的对称性加以理解.解(1) 函数的定义域为R, f(1)=4, f(-1)=2, f(-1)f(1),且f(-1)-f(1), f(x)为非奇非偶函数.(2) 函数的定义域为-1, 1,且f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3) 令得故f(x)的定义域为-1, 0)(0, 1,关于原点对称.又f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.反思判断函数的奇偶性,有时需要对函数解析式进行化简.拓展若函数f(x)=ln(1+x)+ln(a-x)为

43、偶函数,则a=1.2. 函数的奇偶性应用例2已知f(x)=是奇函数,求实数p的值.点拨根据f(x)为奇函数,可得f(-x)=-f(x)对定义域中任意x均成立,再用待定系数法求p的值.解 f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x),=-,得-3x+p=-3x-p,解得p=0.反思已知函数的奇偶性求参数的取值,一般是根据函数的奇偶性定义:f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x),与x无关得出方程(组),然后解方程(组).拓展已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1, 2a,则a=, b=0.例3已知f(x)=x.(1) 求函数f(x)的定义域,并判断函数的奇偶性;(2)

44、求证:f(x)>0.点拨确定奇(偶)函数中参数的值,一般用奇(偶)函数的定义,然后用待定系数法,也可用赋值法(特殊值法).先确定函数的定义域,再根据定义判断.仔细观察,似曾相识.此题根据必修1P55习题2.2(2)第8题改编而来.解(1) 函数的定义域为(-, 0)(0, +).f(-x)=-x=-x+=-x·=f(x), 函数f(x)为偶函数.(2) 若x>0,则f(x)>0.又 函数为偶函数, 若x<0, f(x)>0.反思(1)若函数f(x)为偶函数,则有f(x)=f(|x|);(2)本题可认为f(x)由两个奇函数f1(x)=x与f2(x)=+的乘

45、积构成.拓展已知f(x)=x 为偶函数,则a的值为.3. 函数的奇偶性与周期性例4已知f(x)是定义在(-, +)上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称.当x0, 1时,f(x)=2x-1.(1) 求证:f(x)是周期函数;(2) 当x1, 2时,求f(x)的解析式;(3) 计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2013)的值.点拨对于第(1)问, 只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)为周期函数;对于第(2)问,由f(x)在0, 1上的解析式及f(x)的图象关于直线x=1对称,求得f(x)在1, 2上的解析式;对于第(3)问,由周期性求和.解(1) 因为函数f(x)为奇函数

46、,则f(-x)=-f(x).因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(4+x)=-f(2+x)=-(-f(x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x1, 2时,2-x0, 1.又f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1, x1, 2.(3) f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,又f(x)是以4为周期的函数, f(0)+f(1)+f(2013)=f(0)+f(1)=1.反思(1) 周期性的证明只需证f(x+T)=f(x).(2) 求解析式时,

47、把定义域转化到已知解析式的定义域上.(3) 利用周期性求和是常见方法之一.1. 判断函数的奇偶性,首先要求函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,如果不关于原点对称就无奇偶性,如果关于原点对称再根据定义判断.另外要善于运用数形结合思想,借助函数的图象理解函数的奇偶性,并用于解决有关问题.2. 利用函数的奇偶性求函数中参数的值或参数的取值范围,一般是利用函数奇偶性定义,再运用特殊值法和待定系数法等方法.3. 注意一些函数的奇偶性不明显,不能想当然直接作出判断,有时要先将函数解析式化简再判断.1. (根据必修1P39例6改编)函数f(x)=(x+2)2的奇偶性为既不是奇函数又不是偶函数;当a=0

48、时,f(x)=(x+a)2为偶函数.2. (根据必修1P40练习第4题改编)对于定义在R上的函数f(x),下列命题中正确命题的序号为 .  若f(-3)=-f(3),则f(x)为奇函数; 若f(-3)-f(3),则f(x)不是奇函数; 若f(0)0,则f(x)不是奇函数.3. (根据必修1P44习题2.1(3)第9题改编)函数f(x)=mx2+(2m-1)x+1为偶函数,则实数m=.4. (根据必修1P44习题2.1(3)第10题改编)函数y=f(x)在R上为奇函数.(1)若当x<0时,f(x)=2,则当x>0时,f(x)=-2;(2)若当x>0时,f(x)=x+1

49、,则当x<0时,f(x)=x-1.(提示:可结合图象加以理解)5. (根据必修1P55习题2.2(2)第8题改编)若f(x)=+a是奇函数,则a=.第8课时函数的单调性内容要求ABC函数的单调性􀳫函数的单调性应用􀳫1. 理解函数的单调性概念及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性;会利用函数的单调性定义证明单调函数,会求常见函数的单调区间.2. 理解函数最大(小)值的概念及其几何意义,会用单调性方法求函数的最大(小)值.3. 会利用函数单调性解决其他问题.4. 研究函数的性质时,单调性是极其重要的一个方面,它反映了函数的变化情况.因此,函数单调性成为高

50、考中的热点内容,并常与函数的导数结合起来命题(详见“导数的应用”部分).1. 设函数f(x)的定义域为D,若对于定义域D内的任意两个值x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上是单调增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是单调减函数.2. 若f(x)=kx+b(k0)在R上是单调增函数,则k的取值范围k>0.3. 已知f(x)=ax2+bx+c(a0),当a<0时,f(x)的单调增区间为,f(x)的单调减区间为-, +;当a>0时,结论正好相反. (第1题)1.

51、 如图,该函数的单调增区间是,单调减区间是和(-, -1). 2. 给定下列函数:f(x)=2x-1;f(x)=-2x-1;f(x)=;f(x)=-;f(x)=(x-1)2;f(x)=-x2-2x.其中满足“对任意x1, x2(0, +),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的有.(填序号)3. 设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的单调减函数,则有a<.4. 函数f(x)=ax, g(x)=-在(-, 0)上都是单调减函数,则h(x)=ax2+bx在(0, +)上是单调减函数.(填“单调增”或“单调减”)5. (1)函数y=2x2+8x+3在区间-2,

52、 +)上为单调增函数;(2)若函数y=2x2-mx+3,当x-2, +)时是单调增函数,则m的取值范围是(-,-8. 6. 函数y=-x2+2x+3的单调减区间为1, +),函数y=的单调减区间是1, 3. 1. 判断函数的单调性例1证明:函数f(x)=x+在(-1, 0)上是单调减函数.点拨证明函数的单调性一般是利用函数的单调性定义或用导数法.证任取x1, x2(-1, 0),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2)+=(x1-x2)-=(x1-x2)=. x1<x2, x1-x2<0. x1, x2(-1, 0), x1<x

53、2, 0<x1x2<1, x1x2-1<0, f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2). 函数f(x)=x+在区间(-1, 0)上是单调减函数.反思利用定义法证明函数的单调性的一般方法:(1)规范解题格式(取值作差变形(因式分解,通分,有理化,配方等)定号结论);(2)变形后一般会出现(x1-x2)这个因式,且结构形式为乘积或商.拓展本题的一个推广:y=x+(a>0)的单调增区间是(-, -, , +),单调减区间是-, 0), (0, . 2. 已知函数的单调性求参数的值或范围例2已知f(x)=(a>0)在(2, +)

54、上单调递增,求实数a的取值范围.点拨求参数的范围问题转化为不等式恒成立问题.解解法一:设2<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+a·=(x1-x2)<0恒成立,即当2<x1<x2时,x1x2>a恒成立.又x1x2>4,则0<a4.解法二:依题意得f'(x)=1->0在x(2, +)上恒成立.由f'(x)=1->0,解得f(x)的单调增区间是(-, -), (, +), 2, 0<a4.反思已知函数的单调性求参数的值或范围,常有两种方法处理:(1)利用函数的单调性定义;(2)利用导数

55、,若函数在区间内是单调增函数,则导函数非负,若函数在区间内是单调减函数,则导函数非正.拓展已知f(x)=是(-, +)上的减函数,那么a的取值范围是, .3. 函数的单调性和奇偶性的综合应用例3函数f(x)是(-1, 1)上的单调减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.点拨本题利用函数的奇偶性和单调性去掉函数符号f,得到关于a的不等式,然后解a的不等式.解由f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,得f(a2-a-1)>-f(4a-5)=f(5-4a).由函数f(x)在(-1, 1)上是减函数,得解得1<a<. 实数a的取值范围为1<a<.拓展已知f(x)是定义在-2, 2上的偶函数,f(x)在0, 2上是单调减函数,且满足f(1-m)<f(m),求m的取值范围.解由f(x)是定义在-2, 2上的偶函数,有f(x)=f(|x|),可得f(|1-m|)<f(|m|).对f(x)在0, 2上单调递减,故有解得-1m<.例4已知f(x)是定义在x|xR且