2020届高三数学文科下学期模拟试题(含解析)

1、1高三数学下学期冲刺试题（三）文（含解析）.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1.已知A.第一i 为虚数单位，复数1i的共扼复数在复平面内对应的点位于（）D.第四象象限1B.2i第二象限C.第三象限限【答案】B【解析】1i1i 2i 113, 13【详/ zi，故z-i,2i1 2i1 2i 15555.10,3 0 z在第二象限，故选：B552.若sincos cossinm，且 为第三象限的角，则cos的值为（）A. 1 m2B.1 m2C. m21D., m21【答案】C【解析】由条件得， sin （a3)-a = sin( 3)=sinp=m, sin3=m又

2、卩第三象限角， cos3= . 1 2sin=、1m2.0.63.设a= 0.6,1.5b= 0.6,c= 1.50.6，则a,b,c的大小关系是（）A.avbvcB.avcvbC.bvavcD.bvcva【答案】C【解析】试题分析：直接判断 a, b 的大小，然后求出结果.2解：由题意可知1a=0.60.6b=0.61.5, c=1.50.61,可知：c a b.故选： C考点：不等式比较大小.【此处有视频，请去附件查看】4. 以下命题为真命题的个数为（ ）1 1若命题 P 的否命题是真命题，则命题 P 的逆命题是真命题2 2若a b 5，则a 2或b 33 3若P q为真命题，p为真命题，

3、则pq是真命题4 4若x 1,4,x22x m 0,则m的取值范围是m 24【答案】 C【解析】【分析】由逆否命题同真同假可知正确, 根据复合命题真值表可知错误, 把不等式有解问题转 化为函数的最值问题可判正确 .【详解】根据命题P的否命题与命题P的逆命题互为逆否命题，同真同假，故正确；2命题的逆否命题为：若a=2 且b= 3,贝U a+b= 5，显然正确，故原命题正确，故正确；3若P q为真命题，P为真命题，则 p 为假命题，q 为真命题，p q是假命题，故错误；4x 1,4,x22x m 0,则x22x m的最大值大于零即可, 易知y x22x m在1,4上单调递增，所以ymax422 4

4、 m 0，即m24，故正确.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断其中的判断是本题难点，转化为其逆否命题是关键，A. 1B. 2C. 3D. 43属于基础题.45“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角4三角形中较小的锐角 满足cos，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率5是（）【答案】D【解析】【分析】5，由已知条件求出小正方形和大正方形的面积，利用几何概型公式即可得到答案4【详解】设大正方形边长为5,由cos知直角三角形中较小的直角边长为3，较长的直5角边长为4，所

5、以小正方形的边长为1且面积S 1,大正方形的面积为 25,则此点落在阴影故选：D.【点睛】处理这类与平面区域面积有关的几何概型问题，关键是准确地把握题意，数形结合,画出所有试验结果构成的平面区域Q和事件 A 所构成的平面区域，求出两个图形的面积再求概率即可x16.若圆 C：x2+y2-4x-4y - 10= 0 上至少有三个不同的点到直线I : x - y+c = 0 的距离为 ,X2A.2425B.1625C.-925D.丄25设大正部分的概率是P阴影S小正方形s大正方形1255则 c 的取值范围是（）61117.为了计算S 1111L2341201912020,设计如图所示的程序框图，则在

6、空白框D.2)【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于迈， 再根据点到直线距离公式列不等式解得结果【详解】因为圆C : x2y24x 4y 10l：x y m 0的距离为2 2，所以圆心到直线距离不大于3迈迈2迈迈，即PmJ2【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r关系.(2)代数法：联立方程之后利用A判断.A. 2 .2 2.2B.( 2.2,2 2)C. - 2, 2D. (- 2,0,所以(x 2)2(y 2)218，因为圆C上至少有三个不同点到直线A.i i1B. i i 2C. i i 37i i 4【答案】B【解析】【分析】8【点睛】本题主

7、要考查程序框图的应用， 根据循环条件，进行分类，找到规律是解决本题的 关键，属于基础题.8.在封闭的正三棱柱 ABC-ABQ 内有一个体积为 V 的球.若 AB=6 AA=4，则 V 的最大值是( )A.16 nB.32_nC.12nD.43n3【答案】D【解析】【分析】先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解【详解】正三角形ABC的边长为 6,其内切圆的半径为r、.3 2，所以在封闭的正三棱1111S 1L234201911111L3520192得到结论.【详1111S 1 L234201911111L3520192111即N1L -352019120201 L1N

8、S,得到4202011LN S,42020111S-L242020由则每次循环，i 增加 2 个数，即故选：B.解12020N,S相邻两个数的关系即可i i 2 .9柱 ABC- ABiC 内的球的半径最大值为.3，所以其体积为V4r34 3，故选 D.3【点睛】本题主要考查组合体中球的体积的求解球的体积和表面积的求解关键是求出球半径9.将函数f x、3sin2x cos2x的图象向左平移 t t 0 个单位后，得到函数g x的图所以当2t62t时实数t有最小值，喇 故选 B.2 210.已知椭圆C :% 1 a b 0的左右焦点分别为F1, F2,O为坐标原点，A 为椭圆a b上一点，F1A

9、F2?，连接AF2交交交交轴于皿点，若3OM OF2，则该椭圆的离心率为()1A.-3B.3C.58D.迈4【答案】D【解析】【分析】AF1OM1设AF=m AF2=n. 如图所示，RtAFF2SRtOMF,可得.可得m+n= 2a,AF2OF23m+n2= 4c2,n= 3m化简解出即可得出.象，若g xgx，则实数t的最小值为(12)A5r 7c 5A.B.C.242412【答案】B【解析】D.712x 2sin 2x6，则g x2sin 2x 2t从而2sin 2x 2t62sin 2 x 2t12 62sin 2x 2t，又t 0，由题意10【详解】设AF=m AF2=n.如图所示，由

10、题意可得：Rt AFFasRt OMFAF,OM 1AF2OF23.贝 Un+n= 2a,m+n2= 4c2,n= 3m化为：m,n2= 9吊=6b2.3c1求出a，c，代入公式e；a2只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a,c的齐次式,a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.2b2.2,26b= 4c.5 a2化为：c、.1Oa4（或离心率的取值范围）,然后等式（不等式）两边分别除以常见有两种方法:1111.已知函数f x(X 1)2,log2X ,X, 0若方程 f （x） = a 有四个不同的解X1, X2, X3

11、, X4,12当 X3= 1 时，函数值 y=- 1.即函数取值范围是(-1, 1.故选：B. 1 : / /V “1彳OjiIIL2 X:41-【点睛】本题考查分段函数的运用， 主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方 法是解题的关键，属于中档题.且 XiVX2VX3VX4，贝yx3x1x2丄的取值范围为(X3X4A.(-1,+8)1)【答案】B【解析】【分析】由方程f ( X )= a ,X3X11X222X3C. (-m, 1)D. - 1,得到 X1, X2关于 X = - 1 对称，且 X3X4= 1 ；化简1一，利用数形结合进行求解即可.X3【详解】作函数 f ( X )

12、的图象如图所示，T方程 f (X)= a 有四个不同的解X1, X2, X3, X4,且 XiVX2VX3VX4,/x1,X2关于X=-1 对称，即 X1+X2=-2,0VX3V1VX4,则 |log2X3| = |log2X4| ,即一 log2X3= log2X4，贝Vlog2X3+log2X4= 0,即卩 log2X3X4= 0,则 X3X4= 1 ；当|log2X| = 1 得X=2 或1，贝U1VX42;1Wx3 1 ；22故X3X1X2-X3X42X3丄，1,X31；X321则函数 y =- 2x3+-,X33V1 上为减函数，则故当X3=1取得 y 取最大值 y= 1,2X3X4

13、B. (- 1, 113二填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）x y 2 012.已知实数 x, y 满足不等式x 4y 3 0，则函数 z= 2x+3y 的最大值为 _3x 2y 9 0【答案】11【解析】【分析】x y 2 0本题首先可以通过不等式组x 4y 3 0画出在平面直角坐标系中所表示的区域，然后02x平行的直线系，最后根据图像得出结果。33x 2y 9 0【点睛】本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组画出其在平面直角坐标系中表示的区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，锻炼了学生的绘图能力，是简单题。13.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一

14、高度为 25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC 15，沿山坡前进50m到达B处，又测得DBC 45，根据以上数据得cos_3x 2y 9将目标函数z 2x 3y转化为与直线l : y【详解】不等式表示区域如图中阴影部分所示,，Jr目标函数为y2x，是与直线l : y332当直线l : y x向上平移时，z 在增大,3x y 2 0由得A 13，从而Zmax2-x平行的直线系，3且过点A时达到最大值，11 O14【答案】,31【解析】DBC 45,DAC 15,二BDA 300,在ABD中,由正弦定理有ABBDsinADBCDsinBADBDsinDBCs

15、inBCDcossin(BCD)考点:解三角形的实际应用试题分析： sin BCD 3 1.，代入，计算得出BD 25(62),在BCD中，由正弦定理有,代入,计算得出sin BCD -.3 1,所以14.已知VABC是边长为 2 的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE 3EF,uur则AFuuu ,，亠BC的值为【答案】【解析】【分析】利用平面向量基本定理表示出uuurAF1uuuAB22UJUAC，再利用数量积的运算即可解决问题。3【详解】 点D,E分别是边ABBC的中点，且DE 3EFuuur所以：AFuurADuuurDF1 uuuAB24uur

16、-DE31 uuuAB24 1uurAC3 21 uuuAB22 uuirAC3uuuv uuv1uuu所以AF BC=?ABluuvJUV12 uuurAC3umrACuuuAB1 uuu2 AB21 uuu AB6uuurAC2 uuur2AC,3又VABC是边长为 2 的等边三角形，则uuuABuuuACcos3uuv uuv 1所以A岸鵲=uJB21 uuu uuuAB AC62 UJJ2AC3【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理及向量运算知识,还考查了数量积的定义，考查1516计算能力，属于基础题。15.在ABC中，A3，BC3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是则B3,02

17、3，C 2,0，D取点E，使得BEC120，则E点坐标为0- A , A,B, E,C四点共圆，可得圆的方程为3X2设点A坐标为Hcos 于0,ADmax2、3 cos一2-3 sin4 2 3，故AD的最大值是,34 2 - 3 sin1，故答案为、，故6点睛：本题考查了解析法的应用、圆的参数方程及其应用、三角函数求值、辅助角公式，考查了推理能力与计算能力，解题的关键在于求出点A所在的圆的方程，属于难题题；此题利用解A所在的圆的方程，根据参数法的思想可设出点A的坐标，根据两点间距离公式将2AD表示成关于 的三角函数，将题意如图所示，以BC所在直线为x轴，线段17【答案】,3 1BC的垂直平分

18、线为y轴建立直角坐标系,转化为常见的三角函数求最值问题三解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.16.在ABC中，角A B C的对边分别为a、be，且2 3si n2 si nA .3 0.2（1）求角A的大小；（2）已知ABC外接圆半径R、,3,且AC ,3,求ABC的周长【答案】（1）A（2）3+3 33I【解析】【分析】（1）由2 3sin2f sinA0,利用降幕公式可得si nA J3cosA 0，从而得tan A 3 ,结合范围0 A，可求A的值；结合AC .3 b，由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c2.3C 60,解得c的值,可求周长【详解】(1)Q 2、3sin2.31 c

19、OsA2即si nA、3cosAsinA02si nA、30又0 A0,tanAA -183(2)Q 2Ra 2Rsi nA2、.3si n 3si nA3Q AC .3b,由余弦定理可得a2b2c22bccosA,93 c23c,- c2 3c 6 0, Tc 0,所以得c 2、.3, 周长 a+b+c=3+3“3【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题有力工具，其常见用法有以下三种：（1 ）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.17.某餐厅通

20、过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数X（万人）13981012原材料y（袋）3223182428（1 ）根据所给 5 组数据，求出y关于x的线性回归方程y bX召；400t 20,0 t 36 t N（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）关系为C380t,t36 t N投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700 元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有 15 万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材 料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：禾U润L销

21、售收入 原材料费用）.正弦定理是解三角形的19参考公式：nn_AXix yiyXiy nxybn-n1，自孑飯自孑飯221xixxinxi 1i 1参考数据：555xyi1343,x2558,y23237.i 1i 1i 1【答案】y 2.5X 1.（2）餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520 元.【解析】试题分析：（1）根据公式求出 b，再将样本中心代入求出a,进而得到回归方程；（2）分析】20C400 20,0t36,t N,利润为赚的钱减去花出去的钱，根据分段函数的表达式,380t,t 36,t N解析:(1)求证：平面PAD平面PBD；(2)若三棱锥B

22、PCD的体积为空2，求PC的长.3【答案】(1)见证明；(2)PC 2-、3【解析】分段列出利润表达式,分别讨论利润的最值，最终取分段函数中较大的利润值(1)由所给数据可得:x13 9 8 10 1210.4,32 23 182825,5_?i 1xiyi5xy b522i 1xi5x13435 10.4252.5,558 510.42b?x 25 2.5 10.41,则y关于x的线性回归方程为y?2.5? 1.(2)由(1)中求出的线性回归方程知, 当x 15时,36.5，即预计需要原材料36.5袋,因为C400t 20,0 t 36,t380t,t 36,t NN，所以当36时,利润L70

23、0t400t 20300t 20,当t35时，Lmax300 352010480；当t 36时，利润L 700 36.5 380t，当t36时,Lmax700 36.5 380 3611870.综上所述，餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870 元.18.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABIICD,BCAB，PD PA CD BC1AB,PB PC.221(1 )取AD的中点O,BC的中点F，连接PO , OF,PF,由题意可证BC平面POF, 则有BC PO， 又由等腰三角形得PO AD， 贝U PO平面ABCD， 得到PO BD, 再由勾股数

24、得AD BD，可得BD平面PAD，从而得到结论(2)转换底面，即可写出三棱锥B PCD的体积公式，解得 a,即可求PC的长.【详解】(1)取AD的中点O,BC的中点F，连接PO,OF,PF.由已知得，四边形ABCD是梯形，AB PCD,AB BC. /OF PAB ,.OF BC,又PB PC，二PF BC，且PF OF F,二BC平面POF, BC PO，由已知得PA PD,PO AD，又AD与BC相交， PO平面ABCD,POBD，又TBD2AD2AB2,ADBDBD平面PAD且BD平面PBD平面PAD平面PBD(2 )设BCa，则PO2a,2VBPCDVP1BCDPOs1SBCD2a12

25、aa33322123解得a2,又PC2PO2OC2,且OC2OF2FC2=1 +32=10,2PC22+10=12,从而PC 2、3.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查了空间点线面的关系，考查三棱锥的体积，属于中档题.2 219.已知F1( 1,0),F2(1,0)是椭圆C : 2y1(a b 0)的左、右焦点，椭圆C过点a bc 152, .3(1)求椭圆 C 的方程；222(2)过点F2的直线l(不过坐标原点)与椭圆C交于A, B 两点，且点A在x轴上方，点23LULUB在x轴下方，若 BF2uuur2F2A，求直线l的斜率.【答案】(1)22x y_51(2)【解析】【分析】b2(

26、1)由条件知53b21,从而解得1,a2，b2，即可得到椭圆C的方程;(2)设A xi, yi,B X2, y2，则yi0,y20，设直线l的方程为x椭圆C的方程消去x，得5m2610my250，由韦达定理及my 1，代入UUJV2F2A可建立关于未知量的方程，解之即可2a【详解】(1)由条件知4b21,因此椭圆C的方程为(2)解法一：设 A设直线I的方程为X53b2解得1,2ab26,5,X1,y1my代入椭圆C的方程消去x，Bx?,y2，则y1y20，o得5m 610my250，由韦达定理得y1y225m 6，y2252，5m 6uuiuuuu由BF22F2A知y22y12y1，带入上式得

27、力黑，2y12255m2所以25m2210m_2565 m2结合图形知m2， 故直线I的斜率为解法二：设A x1,y1，B X2,y2，则y10，y20，22425设直线I的方程为x my 1,uuiuuuuv由BF22F2A知y22yi0,解得m ,2，结合图形知mQ，故直线I的斜率为上2.2【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法,查转化能力与计算能力，属于中档题a 2x20.设函数f x x alnx2(a 0).x(i )求函数f x的单调区间；(n )记函数f x的最小值为g a，证明：g a 1.【答案】(I ) f(x)(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增；

28、(II )详见解析【解析】【分析】代入上式得5m 5.6m26 25m 5 6m260,代入椭圆C的方程消去x，得5m226 y 10my 250,因此yi5m 5.6m265m26y25m 5.6m265 m26考查韦达定理的应用，考226(I )对函数f x求导，解导函数所对应不等式即可求出结果；1(II )由(I)先得到g a，要证g a 1,即证明a alna 1，即证明a1 11 Ina ,a a1 1构造函数h a Ina21，用导数的方法求函数h a的最小值即可.a a【详解】(i)显然f x的定义域为0,.2小x 2 x a3xa2x21 -x2x a 2x4xx222xx22

29、3x427若x 0, a,x a0,此时f x0,f若x a,x a0，此时f x0,f综上所述：f x在0, a上单调递减，在a,(n)由(i)知：f xf a aal namin1即：g a a alna a要证g a 1,即证明a1 alna 1, 即证明- x220,x 0,x在a,x上单调递增.11Inaaa在0, a上单调递减;上单调递增;令h alna21，则只需证明1aa112a2a 2ah a2飞3aaaa.当a0,2a 20,此时ha当a2,a 20,此时hahah 2ln21 1 1ln2min2 4- halna11210 gaaa【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，的单调性，最值等，属于常考题型1.14h a Ina12a1a，且在0,2在2,上单调递减;上单调递增,通常需