专题08立体几何与空间向量(文理合卷)

1、2021年高考数学压轴必刷题专题08立体几何与空间向量文理合卷霍料截题汇级1.【2021年新课标1理科12】三棱锥P-A8c的四个顶点在球.的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是%,48的中点,ZCEF=90a,那么球O的体积为A.8v&nB.4VnC.2V与【D.【解答】解：如图,由%=P3=PC,A48C是边长为2的正三角形,可知三棱锥P-48c为正三棱锥,那么顶点P在底面的射影.为底而三角形的中央,连接80并延长,交4c于G,那么4UL8G,又POL4C,POQBG=O9可得ACL平而P8G,那么P8_L4C,VE,F分别是%,幺8的中点,EFP8,又NCE

2、F=90,即EFLCE,：.PBLCE,得P8L平而%C,工正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体,那么正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为.=PA2PB2PC2=、另.遍4vTal半径为二丁,那么球O的体积为；71X=V6兀.应选：D.2.2021年浙江08】设三棱锥V-48C的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱胸上的点不含端点.记直线P8与直线AC所成角为a,直线P8与平面48c所成角为仇二而角P-4C-8的平面角为丫,那么A.PYaYB.papyC.pa,yVaD.aB,YB【解答】解：方法线段40上,作DEUC于日易得PE/VG,过P作“4?于F,过.作D

3、HZMC,交8G于那么a=N8PRB=/P8D,丫=/PED、门PFEGDHRD舛用cosa=JQ=而=pgU 两=cosB,可行Pp=tanpt可得0丫,方法由最大角定理可得3册2=解得48=6,球心为O,三角形48c的外心为O,显然.在OO的延长线与球的交点如图：Oc=*苧X6=2b,OOr=卜-(2麻=2.那么三棱锥.-48C高的最大值为：6.那么三棱锥D-ABC体积的最大值为：X芋X6,=18转.34应选：B.5.【2021年浙江08】己知四棱锥S-48C.的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段48上的点(不含端点).设SE与8c所成的角为01,SE与平面八8CD所成的角为.2,二面角

4、S-A8-C的平面角为03,那么()A.010203B.030261C.010302D.020361【解答】解：由题意可知S在底而488的射影为正方形A8CD的中央.过E作EF8C,交CD于F,过底而488的中央.作ONLEF交乐于N,连接SN,.n5N5N.QSO皿tan.产诋=西,tan%=而,S/VHSO,c50zsso又sine3=j,$访.2=窕,SESM.0302.应选：D.取48中点M,连接SM,OM.OE,那么N=OM,那么8i=/5EN,62=ZSEO.03=Z5MO.显然,6102.3均为锐角.D6.【2021年上海15】?九章算术?中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四

5、棱锥为阳马,设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以A4为底面矩形的一边,那么这样的阳AA.4B.8C.12D.16【解答】解：根据正六边形的性质,那么.1-44881,D1-44FFI满足题意,而G,fi,C,.,E,和D1一样,有2X4=8,当4MCQ为底而矩形,有4个满足题意,当4遇1为底而矩形,有4个满足题意,故有8+4+4=16应选：D.7.【2021年新课标2理科10】己知直三棱柱48C-481Q中,ZABC=120,48=2,8c=CQ=1,那么异面直线A81与8Q所成角的余弦值为A.一2B.C.【解答】 解： 【解法一】 如下图,设M、N、P分别

6、为A8,881和81cl的中点,那么481、8Q夹角为MN和NP夹角或其补角因异而直线所成角为0,勺,-I耳可知MN=ABi=宁,1MQ=A8C中,由余弦定理得AC2=AB2BC2-2AB9BC9cosZABC=4+l-2X2XlX-2=7.9.AC=V7：.MQ=-y：在MQP中,MP=JMQTPQ2=当：在PMN中,由余弦定理得cos/MNP=MNN尸2巴/_号+嗡-孝_vTo又异而直线所成角的范惘是0,卞481与BC1所成角的余弦值为三.【解法二】如下图,BCi=(无BD=Y22+1?一2X2X1Xcos60二、区CiD=U5,ND8cl=90,cosN8cgs=等.应选：C.8.【20

7、21年浙江09】如图,正四而体.-48C所有棱长均相等的三棱锥,P、Q、R分别为A8、BC、BQCR.上的点,AP=P8,=2,分别记二面角.-PRQ,.-PQ-R,.-QRP的平面角为a、B、QCRA丫,那么A.yapB.C.apyD.ByVa【解答】解法一：如下图,建立空间直角坐标系.设底而2M8C的中央为.不妨设0P=3.贝lO(0,0,0),P(0,-3,0),C(0,6,0),D(0,0,62),8(3PD=(0t3,6V2),PQ=(3,6,0),QR=(-3、3370),应)=(一、-3,6闲,可得2短,一D,取平面48c的法向量薪=(0,0,1).,z3V2同理可得：p=arc

8、cos-=.y=arccos匚立.解法二：如下图,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线：OELPR,OFLPQ.OGLQR,垂足分别为E,F,G,连接D&DF,DG.设OD=h.那么tana=器.同理可得：tang弟,tany=|.设平面P./?的法向量为工=(x,y,z),那么M箕叫;鬻流TT那么COS笛1/72A二泡mi一11TTF,取a=arccos(.vl5V15/.aYOGOF./.tanatanytanpa,dy为锐角.9.【2021年新课标1理科11】平面a过正方体48CD-481QD1的顶点A,a平而C8Di,aA平面A8C.m,an平面A88Mi=c,贝ljm、.所成角的正

9、弦值为【解答】解：如图：a平面C81D1.aA平面A8CD=m.aO平面A848i=,可知：n/CD19m8i5,；CBiS是正三角形.m、0所成角就是/81&=60.代那么m、0所成角的正弦值为：.应选：A.A.B.一2C.一31D.-3应选：8.B.ZA1DBaC.ZArCBWaD.N4CBa【解答】解：当AC=8C时,DB=a；当4ch8c时,如图,点4投影在AE上,10.【2021年新课标3理科10】在封闭的直三棱柱48C-4181cl内有一个体积为V的球,假设A81.8C,AB=6,8c=8,44=3,那么V的最大值是【解答】解：VABBG48=6,8c=8,：.AC=10.故三角形

10、48c的内切圆半径尸士守=2又由加1=3,故直三棱柱ABC-481cl的内切球半径为I,应选：B.是48的中点,沿直线C.将AC.折成4CD,所成二面角4-CD-8的平面角为a,那么A.4n9TTB.C.6n327rD.3【2021年浙江理科08】如图,48C,A.ZAfD8Waa=N40E,连结刖,易得N4)AZAf0邑即N/TDBa综上所述,ZA082a,应选：B.12.【2021年新课标1理科12如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,那么该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()【解答】解：几何体的直观图如图：48=4,BD=4,C到8.的中点的距离为：4,:.

11、BC=CD=!22+42=25.AC=卜二十(2/5)=6,4D=4、,显然AC最长.长为6.应选：B.13.【2021年新课标2理科11】直三棱柱A8C-481Q中,N8G4=90,M.N分别是48i,4cl的中点,8c=64=81,那么8M与4V所成角的余弦值为【解答】解：直三棱柱48C-481cl中,N8G4=90,M,N分别是4纵,4Q的中点,如图：BC的中点为O,连结ON,=0B,那么MN08是平行四边形,8M弓/W所成角就是N4V0.BC=CACCi,设8C=C4=CQ=2,.=3AO=v,f5,AN=6M8=J=J、.+2二=、用,5.在ZWVO中,由余弦定理可得：COS/ZWV

12、.二吟黑W&二菽枭二祟.应选：C.14 .【2021年上海理科16】如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,48是一条侧棱,Pii=l,2,8是上底而上其余的八个点,那么施上：3=1,2,8的不同值的个数为A.1102B.-5C.10AA.1B.2C.3D.4【解答】解：疝=行+丽,那么前血=AB(晶+葩)=|篇+能崩,9：AB1通,=|48|2=1,.月3疝(j=L2,8)的不同值的个数为1,应选：415 .【2021年北京理科07】在空间直角坐标系Oxyz中,4(2,0,0),B(2,2,0),C(02,0),D(1,1,但),假设Si,S2,S3分别表示三棱锥D-A8C在xOy,yO

13、z,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,那么()A.Si=S2=S3B.S2=5I且S2WS3C.S3=S1且53Hs2D,S3=S2且S3WS1【解答】解：设A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,6那么各个而上的射影分别为41,8,C.O,在xOy坐标平面上的正投影A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),.(1,1,0),Si=X2X2=2.在yOz坐标平面上的正投影A(0,0,0),8,(0,2,0),C(0,2,0),D(0,1,V2),S2=.1x2X在zOx坐标平面上的正投影XT(2,0,0),8(2,0,0),C(090,0),D,(0,1

14、,y),S3=1X2X附=贝lS3=S2且S3Hsi,应选：D.16.【2021年浙江理科10】在空间中,过点A作平面R的垂线,垂足为8,记8=加A.设a,B是两个不同的平面,对空间任意一点P,Ql=fyfaP,Q2=/d/pP,恒有PQI=PQ2,那么A.平面a与平面B垂直B.平面a与平面B所成的锐二而角为45C.平面a与平而0平行D.平面a与平面B所成的锐二而角为60【解答】解：设Pl=/dP,那么根据题意,得点P1是过点P作平而a垂线的垂足VQi=/p/dP=fyPi,点Q1是过点Pl作平面B垂线的垂足同理,假设P2=/pP,得点P2是过点P作平面B垂线的垂足因此Q2=/a/j3P表示点

15、Q2是过点P2作平而a垂线的垂足对任意的点P,恒有PQ1=PQ2,.点 5 与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且NP1Q1P2是二面角a-/-B的平面角 NP1Q1P2是直角,平面a与平面.垂直应选:A.17.【2021年新课标1理科11】三棱锥S-48c的所有顶点都在球.的外表上,48C是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,那么此三棱锥的体积为D.一12【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O,过48c三点的小圆的圆心为01,那么OO1L平而48c.延长CO1交球于点D,那么平面4BC.高SD=200i=,48C是边长为1的正三角形,界取竽=目应选：C.B

16、18.【2021年浙江理科10】矩形A8C.,48=1,BC行翻折,在翻折过程中A.存在某个位置,使得直线AC与直线8.垂直B.存在某个位置,使得直线A8与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AO与直线8c垂直D.对任意位置,三对直线“4C与8D,“8与CD,【解答】解：如图.AEBD.CL8.,依题意,48二AvZ将ABD沿矩形的对角线8D所在的直线进“4.与8C均不垂直=1,86=,AE=CF=BE=EF=FD=4假设存在某个位置,使得直线4c与直线8.垂直,那么8DL4E,8DL平而AEC,从而MEC,这与矛盾,排除4C.与y有关,与x,z无关B.与x有关,与y,z无关D.与z有关,与

17、x,y无关假设存在某个位置,使得直线A8与直线 8 垂直,那么CDL平而演C,平面A8cL平面88取8C中点M,连接ME,那么MEJ_8D,.,.N4EM就是二面角A-3D-C的平面角,此角显然存在,即当A在底面上的射影位于8c的中点时,直线48与直线CD垂直,故8正确：C,假设存在某个位置,使得直线4D与直线8c垂直,那么8UL平面ACD,从而平面4CDJ_平面8CD,即A在底面88上的射影应位于线段 8 上,这是不可能的,排除CD,由上所述,可排除.应选：B.19.【2021年新课标1理科10】设三棱柱的侧棱垂直于底而,所有棱长都为,顶点都在一个球而上,那么该球的表而积为A.na2B.一J

18、TCTC.一不始D.Suer33【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上下底而中央连线的中点就是球心,那么其外接球的半径为R=犷+嬴而产=后7,球的表而积为5=4,罟=?兀代,应选：B.20.【2021年北京理科08】如图,正方体A8CD-481C1D1的棱长为2,动点人在棱481上,动点P,Q分别在棱A.,CD上,假设EF=1.AiE=x,OQ=y,DP=zx,y,z大于零,那么四面体PEFQ的体积A.与x,y,z都有关【解答】解：从图中可以分析出,EFQ的而枳永远不变,为面4181CD而积的广而当P点变化时,它到而人181co的距离是变化的,因此会导致四而体体枳的变化.

19、应选：D.21.【2021年新课标3理科16】学生到工厂劳动实践,利用3.打印技术制作模型.如图,该模型为长方体A8CD-481QD1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中央,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原料密度为.的上病.不考虑打印损耗,制作该模【解答】解：该模型为长方体48CD-481C15,挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中央,E,F,G,H,分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,A4i=4cm,该模型体枳为：向6必一EFGH=6X6X4-X(4X6-4X1X3X2)X3=144-12=132

20、(cm3),3D打印所用原料密度为0.9g/cm不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为：132X0.9=118.8(g).故答案为:118.8.22 .【2021年新课标2理科16】圆锥的顶点为S,母线S4S8所成角的余弦值为S4与圆锥底而所8成角为45.,假设aSAB的面积为5VE,那么该圆锥的侧面积为.【解答】解：圆锥的顶点为S,母线SA,S8所成角的余弦值为可得sinN4s8=1一穹=孚.SAB的而枳为5VlJ,可得?52sinN4s8=5丫后,即:S/42K答=5vF,即SA=4例.SA与圆锥底面所成角为45,可得圆锥的底而半径为： 乂4祈=2卢 那么该圆锥的侧面积：7X4ji3x

21、4偈=40071.故答案为：402TT.23.2021年新课标1理科16如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中央为O.D、E、1为圆.上的点,D8C,EGA,EAB分别是以8C,GA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以8C,C4,48为折痕折起D8C,EGA,8,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当A8c的边长变化时,所得三棱锥体积单位：cm3的最大值为.【解答】解法一：由题意,连接O.,交8c于点G,由题意得ODL8C,06=380即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,那么8c=2岳,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-0G2=V25-10 x+

22、x-%-=J,AaG.不,正确,错误.fJT设W与b所成夹角为BHO,-,ABr-b_|一.也变血130,0|_吃QiCOSp-=-ZZ=一2ICOSvI,当去3与夹角为60.时,即许会|sin01=y2cosa=y/2cos,?0J2*iVcos20+sin20=11/.cosp=亍|cos01=5.vpeo,m.,邛二会此时从B与3的夹角为60.,正确,错误.故答案为：.25.【2021年浙江理科14】如图,在48C中,48=8C=2,448c=120.假设平面48c外的点P和线段47上的点D,满足PD=D4PB=BA,那么四面体P8CD的体积的最大值是【解答】解：如图,M是4c的中点.当

23、AD=tV4M=v5时,如图,此时高为P至ljBD的距离,也就是A到BD的距离,即图中AE.V2DM=-n由可得2=亍,；.h=r1=1I(8T)N+II3-Q-+1仁1$(2第一氏八 F,-=7=,tE(0,v、?3T)-+L3T)-+1DM=L有,由等而积,可得9To=：3D月工工；t1=：J(t-6),+1,J(V3-t)z+lu=i-I(2-t)1,9i3,te(何,2曲)32府-黑161综上所述,死(0.2存)6J(-1令巾=+1&1,2),那么/=苒上誓,=1时,另解：由于PD=D4PB=BA.那么对于每一个确定的AD,都有PD8绕DB在空间中旋转,那么P/XLAC时体积最大,那么

24、只需考察所有P.,4c时的最大,111-设PD=DA=.yljV=nScr=5he-sin300(2,36)2,oo2二次函数求最值可知h=、仔时体积最大为二2故答案为：P也就是A到BD的距离,即图中AH.此时高为P到BD的距离,26.【2021年浙江理科13】如图,三棱锥中,AB=AC=BD=CD=3.AD=BC=2,点、M,N分别是AD.8c的中点,那么异而直线4N,CM所成的角的余弦值是.【解答】解：连结取A/D的中点为：E.连结ME,那么ME4V,异而直线4V,CM所成的角就是/EMC,:AN=2瓦,：.ME=EN.MC=2y/2.又；ENLNC,：.EC=十归=、氏sEM2MC2-E

25、C22+8-37cosz_EMC-m、-T7r-、k-,Q2EM-MC2xx12x2v,28故答案为：27.【2021年浙江理科17】如图,某人在垂直于水平地面A8C的墙面前的点4处进行射击练习.点4到墙面的距离为48,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角.的大小.假设48=15m,AC=25m,N8cM=30,那么tanO的最大值是.仰角0为直线AP与平面ABC所成角【解答】解：V48=15m,AC=25m,NA8c=90,8c=20m,ppf过P作PPBG交8c于,连接4P：那么tanO=$,设8P=x,PIOCPf=20-x,由N8CM=

26、30,得PP=CPftan300=等(20-x),在直角A8P中,AP1=d225十%.320-x/.tan0=.t3225+x2令)/=厘工,那么函数在x0,20单调递减,4225+-20月4V7Ax=0时,取得最大值为一=-459假设P在C8的延长线上,PPf=CPftan300=或(20+x),在直角AABP中,AP1=d225+炉,g20+xAtanO=,-t3vf225+x2令片 4群贝Uy=o可得x=学时,函数取得最大值任,A28.2021年上海理科13在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=l(x2l)和(x-3)2+/=1(x23),两条直线y=1和y=-1围成的封闭图

27、形记为D,如图中阴影局部,记.绕y轴旋转一周而成的几何体为过(0,y)(|y|/a2-c2-1.1.【2021年新课标3文科12】设48,C,.是同一个半径为4的球的球而上四点,8c为等边三角形且而积为9百,那么三棱锥D-A8C体积的最大值为A.12丫5B.18V5C.24V5D.54V5【解答】解：A48C为等边三角形且面积为9、区可得?XHE2=9,解得八8=6,球心为O,三角形48c的外心为O,显然.在OO的延长线与球的交点如图：0,C=1xVx6=200=*_2何：=2,那么三棱锥DT8c高的最大值为：6,那么三棱锥D-ABC体积的最大值为：:X?X6,=18v.34应选：8.D2.【

28、2021年新课标3文科10】在正方体48CD-481QD1中,E为棱 8 的中点,那么A.AiElDCiB.AiElBDC.AiE_L8clD.AiEYAC【解答】解：法一：连81C,由题意得8QJ_8iC,4181L平面818CC1,且8Qu平面818CC1,V/AIBICIBIC=8I,平而4C8i,TAlEu平面4EC81,：.AiELBCi.应选：C.法二：以.为原点,04为x轴,DC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,那么4(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),Ci(0.2,2),A(20,0),C(0,2

29、,0),=(-2,1,-2),位=(0,2,2),丽=(-2,-2,0),屿=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),；AnE DC2=-2,A、E BD=2,AiE-BC1=otA1E-AC=6,A/AiFXBCi.应选：C.3.【2021年新课标1文科11】平面a过正方体48C0-481C1D1的顶点4a平面CBiDi,aA平面A8C.=m,an平面A881AL那么m、.所成角的正弦值为AB.C.D.一2233【解答】解：如图：a平面CBiDi,alT平面A8CD=m,aA平面A848i=m可知：n/CDi,mBDi,:CBiDi是正三角形.m.0所成角就是/CDi8i=60.那么m、n

30、所成角的正弦值为：.应选：A.4.【2021年新课标3文科11】在封闭的直三棱柱48C-4181cl内有一个体积为V的球,假设48J_8C,48=6,8c=8,A4i=3,那么V的最大值是()9TI327rA.4nB.一C.6nD.23【解答】解：工8L8C,48=6,8c=8,：.AC=10.故三角形48c的内切圆半径-6号-1.=2,又由A4i=3,故直三棱柱ABC-481G的内切球半径为：,此时V的最大值TT-(-)3=,应选：B.5.【2021年新课标1文科11】圆柱被一个平面截去一局部后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图.假设该几何体的外表积为16+20n,那么r=()【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,C.4D.8A.16+8irB.8+8nC.16+16nD.8+16n【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是：4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.,长方体的体积=4X2X2=16,半个圆柱的体积=1X22XnX4=8ir所以这个几何体的体积是16+8K：应选：48.【2021年北京文科08如图,在正方体488-A181GD1中,P为对角线的三等分