华中科技大学《量子力学》10讲-球方势阱

1、1量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院刘劲松刘劲松 第十讲第十讲无限深球方势阱无限深球方势阱三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子2目录目录一、一、中心力场的径向方程的回顾中心力场的径向方程的回顾二、二、无限深球方势阱无限深球方势阱三、三、三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子3一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾(1)。和本征值给定后能确定本征态为在能量本征方程标：的球对称性，采用球坐考虑到为中运动，则的粒子在中心势设质量为ErVErVrlrrrrlrrrrlrrrrprVrVrVpHHamiltonrV)()(22)()(2)(2)(2222222222

2、222222222224一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾(2),()(),(),(),(),(),()(),(,0,0,),()(),()(22222222222lmlmllmzlzzlYrRrrYfllHfrRrllHllHlfrRrErVrlrrr得到的共同本征函数。由此和也应是的本征函数，既是完全集），（且设要采用分离变量法，故能量本征方程5一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾(3)()()(0)() 1()(2)(0)() 1()(2)(2)()(22),()(),(222222222rVrrRrrrllrVErrRrllrVErRrrREr

3、VrlrrrYrRrllllllllmllm取决于径向波函数其中，或得到径向方程代入将 6二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(1)22222220020,( ),( )22( )( , )( )2(1)( )( )( )0,0,1,2,102( )( )( )0lmllmlllraV rralrV rErrrR r YR rl lrEV rrlrslrEV rr 对无限深球方势阱能量本征方程为其解为，其中满足径向方程，、 态（即的情况）( )( )llrrR r 7二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(2)002002000002221( )( )( )0(0)( )00,( )0,2/(

4、)( )0sincos(0)0( )sin( )0sin0(1)0,1,2,(rrrrnsrEV rrara V rkErkrckrckrrckrakakannnEE 、 态在边界条件下求解此方程势阱内（）令解为或， 取再由能量本征值为221),0,1,2,2rna( )( )llrrR r 8二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(3)002002222020021( )( )( )0(0)( )0(1),0,1,2,2(1)2( )sin,0( )1rrrrnrrnansrEV rranEEnanrrraaardr、 态在边界条件下本征值本征态可以可以证明9二、无限深球方势阱二、无限深球方势

5、阱(4)222002(1)( )( )( )0( ),2/1sin)( )( 1)()( )0()0,( )00,1,2,rllllllllllllln lrslral lR rR rkR rrrBesselR rj kr kEdxj krBesselj xxx dxxR aj kaxkaj xxn 、s与非 态（）势阱内（）径向方程为是球方程，其解（ ）（为球函数:在边界条件下,有若令从解出根，记为，,( )rlnj x表示的节点数。10( )lj x 的节点数x)(xjl)(0 xj)(1xj)(2xj)(3xj0, 0 x1 , 0 x2, 0 x3 , 0 x0, 1x1 , 1x11

6、二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(5)21111302222)()(2)()(),()()()()(,2/2,/), 2 , 1 , 00), 0)0)( akjakjaCdrrrRrRrkjCrRrkjrRrRxaEEEkaxkkaxkxjnnxjxkaxxjaRlnllnllnannlnlnlnllnlnlnllnllnlnlnlnlrrllnllrrrrrrrrrrrrrrrrr得到由又，表示为，故可将的节点数。（表示的根，（为记（12二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(6)xxxxxjxxxjxxdxdxxxjBesselnxaEExnxjkrxxjCkrjCrRllllrlnl

7、nlnrlllnllnlnrrrrrrcossin)(,sin)(sin)1() 1()(, 2 , 1 , 0,20)(),()()(210222 函数球，从而得到个根，得到从13二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(7)时已得到的结果。态（这是)0, 2 , 1 , 0,2) 1(2,.2 , 1 , 0,) 1(0)(sin)(sin)1() 1()(2222000 lsnanEEEkkaxnnxxxjxxxjxxdxdxxxjrrnrrnlllllrr14二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(8)11210111122222221101012222111121sinsincos( )(

8、 1)()( )( )0,.,.0,1,2,22,022122,3,.rrrrrlllllnrn lnnrrn ldxxxj xxj xx dxxxxj xxtgxxxxnxka kEExaEExnExaanExalx ,用类似的方法能得到时的1516二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(9)度简并能级个对应每个个有给定，但后，和当给定相对应的本征函数为与) 12() 12() 12(, 1, 1,)(cos)!()!(412) 1(),(),(),(sin)()(2),()(),()(),()(202*020211113222 llElllllmElnePmlmllYdrrrrddakjak

9、jaCYrkjCYrRrakxxaElmnlnlnrimmlmlmamml lnnlmnmlnlnllnllnlmlnllnlmlnlmnlnlnlnlnrrrrrrrrrrrrrrrrrr17二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(10)222*00(21)(21)(, ),(21)( , , )()( , ),sinrrrrrrrrrrn ln lmn lmzzn lmn ln lmkn lmn lln llmn l mEllH lllllmElrCj k r Ydd 每个对应个能级度简并是的共同本征函数，利用和 的本征值对应的量子数 和可以对进行分类，从而保证对应同一能级的个不同简并态之间

10、的正交性得到保证：20rrran lmn nllmmr dr 18二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(11)之间的正交性问题。的不同简并态同一能级集以后，解决了对应可见，运用力学量完全为此时正交归一性可表示重简并，能级，个对应为例，以kkammmmlmnlnrEdrrddlEElnrr0211*1102011111011111sin33) 12(1, 119三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(1)222222122( )/222(1)( )( )()( )021( )2( )2(1)( )0( )( ) ( ),( )( )( )llllllllV rrrl lR rR rER r

11、rrR rr R rErl lrR rR rf r u rR ru rf r 三维各向同性谐振子:具有中心对称性，径向方程为采用自然单位，令，有如何加以求解？可令将关于的方程转换为的方程，而则从0rr 考察和时的渐近行为中获得。20三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(2)2/3)(, 0| )(|lim, 0| )(|lim| )(|000)(0,)0(),(132032002000srrrrrddrdrrrrrrrrsrr若要求的概率，应该有能代表粒子出现在如果要求积分的小球，为球心、半径为是以设体积元。的概率应该为的奇点，粒子出现在是则若波函数函数渐近行为的要求、波函数统计诠释对

12、波( )( ) ( )lR rf r u r21三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(3)时的渐近行为、径向波函数在02r202222(1)lim( )0,22(1)( )( )( )( )02(1)0( )( )( )0,0( ),(1)0,(1)0( )(1)3/ 2,rllllllsllllr V rl lR rR rEV rR rrrl lrR rR rR rrrrR rrssl lsl slrR rrrll 若则径向方程在时，有在的领域内，设代入上式，得，时，或，但要求若(1)1( )0,( )llllR rrrR rr，的解要舍去时22三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性

13、谐振子(4)2221222/( )/ 2,( )2( )2(1)( )0( )( )( ) ( ),( )( )( )00,( )( )( )0( )llllllllrlllV rrR rr R rErl lrR rR rR rf r u rR ru rf rrrrR rrrR rr R rR re 对三维各向同性谐振子，采用自然单位，径向方程为为求解，设将关于的方程转换为的方程，而则从考察和时的渐近行为中获得。时时，有222,llllllRrR RRr Rr R 这是3r 、径向波函数在时的渐近行为23三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(5)41、三维谐振子径向方程的解（）2212

14、2/2/212222( )2( )2(1)( )00,( );( )( )( ) ( )( ),( )2(1) ( )2(23) ( )0,(3/2)/2,3/2,()llllrlllrlR rr R rErl lrR rrR rr rR reR rf r u rr eu ru rrlru rElu rrlEld uduudd 时 有时，有可设得到令有0( )( , , )( , , )u rFF 合流超几何函数.24三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(6)22122/2/223( )2( )2(1)( )0( )( ) ( )( )( , , )(1)(1)(2)( , , )1(

15、1)2(1)(2)3!( , , )( , , )llllrlrlR rr R rErl lrR rR rf r u rr eu rr eFFFeF 可以证明，时，无穷级数不能作为波函数，必须将其中断为多0( , , )( , , )( , , )nnFFF 项式当或负整数时，可将化为多项式，即。但依然有42、三维谐振子径向方程的解（ ）25三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(7)2122/2223/2/2( )2( )2(1)( )0( )( , , ),(1)(1)(2)( , , )1(1)2(1)(2)3!( , , ),( ),0,1,2,( , , )llllrlllnr

16、rR rr R rErl lrR rR rr eFrFFeR reen nF 若令多/2/2( )0(3/2)/2(23/2)rlnlrnrR renlEEEnl 项式则， 必须有43、三维谐振子径向方程的解（ ）26三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(8), 2 , 1 , 0N)2/3(,2),2/32( ，自然单位，有并加上能量的若令NEElnNlnENrr态征值与径向方程的本征、三维谐振子的能量本522 2/21 223/22/222220( )( ),( )(, , )2(221)!( )!(21)!()(,3/2,)( )1rrrlrlrlnrn lrlrrn lR rr

17、 eu ru rFnlnRrnlr eFn lrRrr dr 且，归一化后可以证明27三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(9)221 223/22/2222*2000(3/ 2)( , ,)( )( ,)2(221)!( )!(21)!()(,3/ 2,)sin( , ,)( , ,)rrrrrrrrNn lmn llmlnrn lrlrran l mn lmn nllmEENrRr YlnRrnlreFn lrddrrr dr 与相对应的本征函数为2,1,1,mrNnl ml lll 6、三维谐振子的能量本征值与能量本征态28三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(10)(3

18、/2)20,1,2,(1)(2)2,(, )(, )( , , )( )( , )1(1)(2)201,133rrNrrrrn lmn llmNNNEENNnlNnlNn ln lrRr YfNNNfNf ，能级是均匀分布的，相邻能级的差都是；由于，对同一个有的不同组合与其对应，但每给定一组一个能量本征态能级是简并的。可以证明，简并度为即时能级不简并；时，能级是266,NNf重简并的；时，能级是 重简并的7、三维谐振子的能级简并度29三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(11)7(1)、三维谐振子在直角坐标系下的解 , 2 , 1 , 0,),()()(),(,212)(2)(2)(5 . 05 . 0)(,22222222222222zyxnnnnnnzyxzyxnnnzyxzyxHHHzyxHHHHrVrVpHzyxrrVzyxzyx函数的积，即函数应该为其各自本征们的共同本征）为力学量完全集，它选（线性谐振子对三维谐振子30三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(12)7(2)、三维谐振子在直角坐标系下的解2/2(1(, 2 , 1 , 0)2/3()2/1()2/1()2/1(, 2 , 1 , 0,),()()(),(,),(),(),(,）简并度为能级也是简并的相应的能