2016-2017届河南省八市重点高中高三（上）10月质检数学试卷（理科）（解析版）

1、2016-2017学年河南省八市重点高中高三（上）10月质检数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=x|x24x+30，B=x|2x30，则AB=（）A（，13，+）B1，3CD2（5分）i为虚数单位，则=（）AiB1CiD13（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba4（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（）A120B720C1440D50405（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则

2、AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）ABCD6（5分）如果函数y=2cos（3x+）的图象关于点成中心对称，那么|的最小值为（）ABCD7（5分）已知数列an满足=（nN*），则 a10=（）Ae30BeCeDe408（5分）已知关于x的函数f（x）=x22，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）ABCD9（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投

3、篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.1510（5分）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a0，b0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）ABC2D11（5分）若Sn=sin，则在S1，S2，S2017中，正数的个数是（）A143B286C1731D200012（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f

4、（x）+f（1x）=1，且当0x1x21时，有f（x1）f（x2），则=（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量与的夹角为120°，且，则=14（5分）的展开式中常数项为（用数字作答）15（5分）已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2017，=6，则S2017=16（5分）多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值18（12分）如图

5、，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF=CEF=90°，AD=（）求证：AE平面DCF；（）当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60°？19（12分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（）求此人到达当日空气质量优良的概率；（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20（12分）已知椭圆的两个焦点分别为

6、，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值21（12分）已知函数f（x）=alnx，g（x）=exex+1（）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（）若g（x）f（x）恒成立，求实数a的取值范围四、选修4-1：几何证明选讲22（10分）已知O1和O2相交于A，B两点，过A点作O1的切线交O2于点E，连接EB并延长交O1于点C，直线CA交O2于点D（）当点D与点A不重合时（如图

7、），证明ED2=EBEC；（）当点D与点A重合时（如图），若BC=2，BE=6，求O2的直径长五、选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|六、选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+5x，其中实数a0（）当a=3时，求不等式f（x）4x+6的解集；（）若不等式f（x）0的解集为x|x2，求a的值2016-2017学年河南省八市重点高中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

8、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016秋沙坪坝区校级期中）设集合A=x|x24x+30，B=x|2x30，则AB=（）A（，13，+）B1，3CD【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合A=x|x24x+30=x|x1或x3，B=x|2x30=x|x，AB=x|x或x3=（，3，+）故选：D【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义和不等式性质的合理运用2（5分）（2016秋河南月考）i为虚数单位，则=（）AiB1CiD1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案【解答】解：，则=i2007=（

9、i4）501i3=i故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）（2014辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba【分析】利用指数式的运算性质得到0a1，由对数的运算性质得到b0，c1，则答案可求【解答】解：0a=20=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故选：C【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题4（5分）（2016秋河南月考）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，

10、那么输出的p是（）A120B720C1440D5040【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得：第一次执行循环体后，p=1，满足继续循环的条件kN（k5），则k=2再次执行循环体后，p=2，满足继续循环的条件kN（k5），则k=3，执行循环体后，p=6，满足继续循环的条件kN（k5），则k=4，执行循环体后，p=24，满足继续循环的条件kN（k5），则k=5，执行循环体后，p=120，不满足继续循环的条件kN（k5），故输出结果为：120，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数

11、不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题5（5分）（2008福建）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）ABCD【分析】由题意连接A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中，sinAC1A1=故选D【点评】本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系6（5分）（2016秋河南月考）如果函数y=2cos（3x+）的图象关于点成中

12、心对称，那么|的最小值为（）ABCD【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|的最小值【解答】解：函数y=2cos（3x+）的图象关于点成中心对称，3+=k+，kZ，即=k，kZ，故么|的最小值为，故选：D【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题7（5分）（2016秋路南区校级期中）已知数列an满足=（nN*），则 a10=（）Ae30BeCeDe40【分析】利用作差法求出lnan=，n2，进行求解即可【解答】解：=（nN*），=（nN*），lnan=，n2，an=e，a10=e，故选B【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，利用作差法是解决本题的关键8（5分）（2016秋河南月

13、考）已知关于x的函数f（x）=x22，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）ABCD【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式=4b4a20，即ba2区域的面积S=18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S=，根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，以及利用积分求区域面积，属于中档题9（5分）（2009福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采

14、用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A0.35B0.25C0.20D0.15【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可

15、以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113共7组随机数，所求概率为=0.35故选A【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用10（5分）（2017春许昌月考）已知斜率为3的直线l与双曲线C：=1（a0，b0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（）ABC2D【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点

16、P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则代入双曲线方程，相减可得，点P（6，2）是AB的中点，x1+x2=12，y1+y2=4，直线l的斜率为3，=3，a2=b2，c2=2a2，e=故选A【点评】本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率11（5分）（2016秋河南月考）若Sn=sin，则在S1，S2，S2017中，正数的个数是（）A143B286C1731D2000【分析】由于sin0，0，0，sin=0，sin=0，sin=0，sin=0，可得到S10，S120，S13=0，而S14=0，

17、从而可得到周期性的规律，从而得到答案【解答】解：由于sin0，0，0，sin=0，sin=0，sin=0，sin=0，可得到S10，S120，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，S1，S2，S2017中，正数的个数是2017144×2+2=1731故选：C【点评】本题考查了三角函数的诱导公式周期性、数列求和，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题12（5分）（2016秋河南月考）定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1x）=1，且当0x1x21时，有f（x1）f（x2），则=（）ABCD【分析】依题意，可得f（）=f（）=，再由

18、当0x1x21时，有f（x1）f（x2），可得f（）=f（）=f（）=f（1）=，从而可得答案【解答】定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1x）=1，f（1）+f（0）=1，f（1）=1；f（）+f（1）=1，f（）=；f（）=f（1），f（）=f（）=；，且当0x1x21时，有f（x1）f（x2），f（）f（）f（），又f（）=f（）=f（162）=f（）=f（）=f（）=f（）=f（1）=f（）=故选：C【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法，考查运算能力，属于难题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）（2016秋河南月考）已知向量

19、与的夹角为120°，且，则=10【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值【解答】解：；又；=故答案为：10【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及数量积的计算公式14（5分）（2016秋河南月考）的展开式中常数项为1820（用数字作答）【分析】通项公式Tr+1=，令16=0，解得r即可得出【解答】解：通项公式Tr+1=，令16=0，解得r=12的展开式中常数项=1820故答案为：1820【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）（2016秋河南月考）已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2017，=6，则S2017=2017【分

20、析】Sn是等差数列an的前n项和，数列是等差数列，设公差为d，=2017，利用=6，可得6d=6，解得d即可得出【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，数列是等差数列，设公差为d=2017，=6，6d=6，解得d=1，=2017+（20171）×1=1，解得S2017=2017故答案为：2017【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）（2016秋河南月考）多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC该几何体可以看成是两个底面均为PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的

21、组合体，进而可得答案【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥PABC该几何体可以看成是两个底面均为PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）（2010安徽）ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b

22、，c，cosA=（）求；（）若cb=1，求a的值【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据ABC面积公式得bc=156；直接求数量积由余弦定理a2=b2+c22bccosA，代入已知条件cb=1，及bc=156求a的值【解答】解：由cosA=，得sinA=又sinA=30，bc=156（）=bccosA=156×=144（）a2=b2+c22bccosA=（

23、cb）2+2bc（1cosA）=1+2156（1）=25，a=5【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力18（12分）（2008浙江）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF=CEF=90°，AD=（）求证：AE平面DCF；（）当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60°？【分析】（）过点E作EGCF并CF于G，连接DG，证明AE平行平面DCF内的直线DG，即可证明AE平面DCF；（）过点B作BHEF交FE的延长线于H，连接AH，说明AHB为二面角AEFC的平面角，通过二面角AEFC的大小

24、为60°，求出AB即可【解答】（）证明：过点E作EGCF并CF于G，连接DG，可得四边形BCGE为矩形又ABCD为矩形，所以ADEG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF（）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连接AH由平面ABCD平面BEFG，ABBC，得AB平面BEFC，从而AHEF，所以AHB为二面角AEFC的平面角在RtEFG中，因为EG=AD=又因为CEEF，所以CF=4，从而BE=CG=3于是BH=BEsinBEH=因为AB=BHtanAHB，所以当AB=时，二面角AEFG的大小为60°【考点】空间

25、点、线、面位置关系，空间向量与立体几何【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用【点评】本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力19（12分）（2013北京）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小

26、于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（）求此人到达当日空气质量优良的概率；（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案【解答】解：设Ai表示事件“此

27、人于5月i日到达该地”（i=1，2，13）依据题意P（Ai）=，AiAj=（ij）（）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=（3分）（）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=（6分）X的分布列为X012P（8分）X的数学期望为E（X）=（11分）（）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 （13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力20（12分）（2012日照二模）已知椭圆的两个焦点分别为，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相

28、互垂直（）求椭圆C的方程；（）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值【分析】（）依题意，a2b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；（II）当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论【解答】解：（）依题意，a2b2=2，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，b=|OM|=1，（3分）椭圆的方程为

29、（4分）（II）当直线l的斜率不存在时，由解得设，则为定值（5分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x1）将y=k（x1）代入整理化简，得（3k2+1）x26k2x+3k23=0（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，（7分）又y1=k（x11），y2=k（x21），所以=（13分）综上得k1+k2为常数2.（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理是关键21（12分）（2016河南模拟）已知函数f（x）=alnx，g（x）=exex+1（）若

30、a=2，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（）若g（x）f（x）恒成立，求实数a的取值范围【分析】解：（）代入a=2，根据导数的概念和点斜式求出切线方程即可；（）构造函数m（x）=+lnx，求导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最大值，把零点问题转化为两函数的交点问题求解；（）由（）知函数的最大值为f（1）=a1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用导函数判断函数的单调性，利用极值得出函数的最值【解答】解：（）a=2，f（1）=21=1，f'（x）=，f'（1）=0，切线方程为y=1；（）令m（x）=+ln

31、x，m'（x）=+，当x在（0，1）时，m'（x）0，m（x）递增，当x在（1，+）是，m'（x）0，m（x）第减，故m（x）的最大值为m（1）=1，f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，a=1；（）由（）知函数的最大值为f（1）=a1，g（x）=exex+1g'（x）=exe，当x在（0，1）时，g'（x）0，g（x）递减，当x在（1，+）时，g'（x）0，g（x）递增，函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）f（x）恒成立，1a1，a2【点评】考查了导函数的概念，恒成立问题的转化，零点问题的转化，常用方法的应用四、选修

32、4-1：几何证明选讲22（10分）（2014石家庄一模）已知O1和O2相交于A，B两点，过A点作O1的切线交O2于点E，连接EB并延长交O1于点C，直线CA交O2于点D（）当点D与点A不重合时（如图），证明ED2=EBEC；（）当点D与点A重合时（如图），若BC=2，BE=6，求O2的直径长【分析】（）连接AB，在EA的延长线上取点F，证明ABC=DAE，DAE=ADE，可得EA=ED，利用EA2=EBEC，即可证明结论；（）证明AC与AE分别为O1和O2的直径，由切割线定理知：EA2=BECE，即可得出结论【解答】（）证明：连接AB，在EA的延长线上取点FAE是O1的切线，切点为A，FAC=

33、ABC，（1分）FAC=DAE，ABC=DAE，ABC是O2内接四边形ABED的外角，ABC=ADE，（2分）DAE=ADE（3分）EA=ED，EA2=EBEC，ED2=EBEC（5分）（）解：当点D与点A重合时，直线CA与O2只有一个公共点，直线CA与O2相切（6分）如图所示，由弦切角定理知：PAC=ABC，MAE=ABE，PAC=MAE，ABC=ABE=90°AC与AE分别为O1和O2的直径（8分）由切割线定理知：EA2=BECE，而CB=2，BE=6，CE=8EA2=6×8=48，AE=故O2的直径为（10分）【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题五、选修4-4：坐标系与参数方程23（2016秋河南月考）已知直线l过点P（2，0），斜率