高数有理分式积分法分解

1、第四节1 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 有理函数 rational function 真分式 proper fraction假分式 improper fraction一、一、 有理函数的积分有理函数的积分3)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简单分式: 形如kkqxpxNxMaxA)(;)(2

2、)04,N(2qpk的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)定理定理. 任何一个真分式4机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )( )P xQ x( ),( )P x Q x( 无公因子)都可分解成若干个简单分式之和,并且(1) 若Q(x)=0有k重实根a (即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子), 则分解时必含有以下的分式:()kxa122()()()kkAAAxaxaxa其中12,kA AA为待定系数.(2) 若Q(x)=0有一对k重共轭复根,和(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有2()kxp xq11222222()()()kkkB xCB xC

3、B xCxp xqxp xqxp xq其中11,kkBB CC为待定系数.2()()xp xqxx5机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述的结论,一个真分式( )( )P xQ x都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:(1)Axa(2)(2,3,4)()kAkxa22(3)(40)AxBpqxp xq22(4)(40,2,3,4)()kAxBpqkxp xq于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.6机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：(1)Adxxaln |AxaC(2)()kAdxxa1()(2,3,4

4、,)1kAxaCkk 2(3)AxBdxxp xq2222()()22()()24ApBdxAd xp xqppxp xqxq22222ln()arctan244ABAPxpxp xqCqpqp7机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：2(4)()kAxBdxxp xq2222()()22()()()24kkApBdxAd xp xqppxp xqxq21()2(1)kAxp xqk 2ptx24paq22()2()kApdtBtakI上一节例91222211212()21arctankkntnIInatanatICaa四种类型的不定积分都为初等函数8机动 目录 上页 下页

5、返回 结束 有理函数的不定积分：有理函数的不定积分：有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和结论结论: 有理函数的不定积分为初等函数.例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :9;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法106532xxx)3)(2(3xxx2

6、xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法11)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx例例2. 求12.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3)

7、目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求13.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?d)32(222xxxx提示提示: 变形方法同例3, 并利用上一节课件例9 . 例例4. 求14机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:令得1,1,1.ABC 原式21111(1)1dxxxx11ln11xCxx223(1) (1)1(1)1xABCxxxxx23d .(1) (1)xxxx例例5. 求求15xxxd)4)(1

8、(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例6. 求求16.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.

9、 求求17常规 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(见P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁按常规方法解:181d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式

10、. 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明: 此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos

11、(xdxcBxdxcA二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例20设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例8. 求求21.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxd

12、ttd12222xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求求23.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求24. )0(d)cossi

13、n(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求求25xbxacossin) 0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动 目录 上页 下页 返回 结束 baarctan例例11. 求求26.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解

14、: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分27,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d),(x

15、baxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp例例12. 求28.21d3xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求29.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 求30.d1

16、1xxxx解解: 令,1xxt则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结311. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 思考与练习思考与练习32如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业33P218 1-24第五节 目录 上页 下页 返回 结束 34备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则,1tx ttxd1d2, 故161t)11 (2ttttd126ttttd)111(224551t331ttCt