专题09导数与不等式的解题技巧

1、专题导数与不等式的解题技巧一.知识点基本初等函数的导数公式()常用函数的导数()=(为常数);()=;()=;=()=.()初等函数的导数公式()=;()()丄；()()=;()=;()=;()=;()=.导数的运算法则()()书()()书】书】()=.复合函数的导数()对于两个函数=()和=(),如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数( (函数=()和=()的复合函数为=().()复合函数=()的导数和函数=(),=()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.二.题型分析(一)函数单调性与不等式例.【一轮复习】已知函数()=+ ,(-,)，则满足( (一) )+(

2、-)的的取值范围是()().(,).(,).(,).(,)【答案】【分【分析】在区间(-，)上，由(-)=-()，且()可知函数()是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围.样阳问.胸|3恒成立，则、的取值范围是（ ）【解忻】mi数f(乳)=x?-snx, x ( - h l)j则f (-x) = -f 0, :A (x)在区间(-1,1)上单调递増FVf (a2- 1) f ( a - 1) 0,- f (a - 1)/.f (1 - a) Cf (a- 1)?F-1 1 - a 1_/- -1 - 1 1?求得lVz2f1 a a2 1故选；B*【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的

3、问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行 合理的转化，属于中档题.XE 0,-1”L 2丿，不等式祇raF跖”f（町恒成立，则下列不等式错误的是（丁【答案】【分析】构造函数淇用-厲逮恥胡,对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项【解读】 构造函数 巩工)=fO)他汰，则g(x) = cosxfXjc)-ainx f(x).宝血J() ccoax * f(x)误的是.故选：.【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数 的不等式，根

4、据不等式的结构,相应的函数.如已知是对，可构造龙，可得攵（二）函数最值与不等式例.【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数rm = I疋-女-列+d（oE町，对于任意心,= coax f（x）-可f即畑，即矶初在，即鵲 V哪），即伽74；）；,，又心曙）,即心叫弔）上为增函数，则JT呻即筍沁“，故错.构造构造出练习.对任意. 1.MT【答案】【分析】由题意知fM-M -3即等价转化为fg*%浒-3，通过研究函数导数从而得到最 值，依次验证选项即可.（四）不等式中存在任意问题例【安徽省皖南八校届高三第二次（月 ）联考数学】已知函数2-疋，以刁=也（一47）+ 2对于；，使得,则实数的取值

5、范围是【答案】【解读】1 （临，立2 E 0”1，使得/gJg,可得勺）顽，利用心，駅兀）的单调性、最值即可求得【详解对于已（网，孔左山，使得心二能，4u =- 1 - -ty = lru因为工-2是增函数，由复合函数增减性可知2 +j4f（x） - In（-） =- 1 -）Z-龙-2在0,1上是增函数，所以当- - 时，；令c = 4-x e（0p2），则y =- F - f + 4） *2,若mAO时，-2m + 2y加】+2,趴力炳in2加+ 2所以只需一，解得i.若mVO时，4册+ 2yU-2m + 2,飒+-m 0二！（工）個加成立.= /(-练习.已知函数f（R =冷，函数g（）

6、 =（mAO）,若对任意的心-习，总存在七E-N 2使得;：-r，则实数的取值范围是（）【答案】【解读】由题意，可得； 在I - I的值域包含于函数-的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解【详解】由题意，函数的导数为.，当时，.，则函数；为单调递增；当时，.，则函数为单调递减，即当 时，函数取得极小值，且为最小值I，又由，可得函数；在I - -l的值域 ：，由函数左一心在u递增，可得 的值域由对于任意的，总存在.，使得，（-3/ti.乞-1可得-tc2）c-3m|，即为（也斗2，解得m ()即 沦：逼歎心：4故答案为：/(x) =jr-(n +-?任意.，恒成立，则的取值范围是.【答案】r +1【解读】存在心丘耳内，使得对任意的-0,fgV肌牝)恒成立，即f(X)min暂亦，由f在甌出上递增，可得3 圖,利用导数可判断刈在上的单调性，可得由/(卩叭 必0両，可求得的范围；【详解】4 的定义域为他+叫役%呦当.时，:厂产为增函数，兀工)皿二心W9+1)与所以；若存在，使得对任意的恒成立,f(疋)iwfu此?g(x) = x + ex- xex-ex= x(l-ex)当二訂时詁 _ii，为减函数,入;.-W：“.、口 e - 2ee - (u + 1) -e +1? ?H2-2e(-7-3)故答案为：I 【点睛】对