2018届中考数学复习专题四几何变换压轴题试题含答案

1、专题四几何变换压轴题类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题.例1如图，在菱形ABCM,AB=2,/BAD=60°,过点D作DHAB于点E,D。BC于点F.1一如图1,连接AC分另1J交DE,DF于点MN,求证：MNk-AC;3（2）如图2,将/EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE,DF'分别与直线AB,BC相交于点GP.连接GP当4DGP的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向.图I图2【分析】（1）连接

2、BD,由/BAD=60°,得到ABD为等边三角形，进而证明点E是AB的中点，再根据相似三角形的性质解答；（2）分/EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题.1.（2017潍坊）边长为6的等边ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，DE/AB,EC=2g3.如图1,WADEC沿射线EC方向平移，得到D'E'C',边D'E'与AC的交点为M,边C'D'与/ACC的角平分线交于点N.当CC多大时，四边形MCND为菱形？并说明理由.（2）如图2,将DEC绕点C旋转/a（0°<a<360°

3、;）,得到!）'E'C,连接AD,BE'.边D'E'的中点为P.在旋转过程中，AD和BE有怎样的数量关系？并说明理由;连接AP,当AP最大时，求AD的彳1.（结果保留根号）2. （2016成都）如图1,4ABC中，/ABC=45°,AHLBC于点H,点D在AH上，且D+CH连接BD.（1）求证：BD=AC;（2）将BHD绕点H旋转，得到HF（点B,D分别与点E,F对应），连接AE.如图2,当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC=4,tanC=3,求AE的长；如图3,当4EHF是由4BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与A

4、E相交于点G,连接GH试探究线段GHWEF之间满足的等量关系，并说明理由.AA冏类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合.翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题.例2。（2016-苏州）如图，在4ABC中，AB=10,/B=60°，点D,E分别在AB,BC上，且BD=BE=4,WABDE沿DE所在直线折叠得到B'DE（点B'在四边形ADEQJ）,连接AB,则AB的长为.【分析】作DF!B'E于点F,称的性质得到B'DE也是等边三角形，从而BD=

5、BE,得到4BDE是等边三角形，由对GD=B'F,然后利用勾股定理求解.:变式训练43. （2017安徽）在三角形纸片ABC中，/A=90°,ZC=30°,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1）,剪去CDE后得到双层BDE神图2）,再沿着过4BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为40或型Y3cm.3图1图24.如图，在矩形ABCDK点E在边FG/CD交AE于点G连接DG.（1）求证：四边形DEF的菱形；CE.（2）若CD=8,CF=4,求京勺值

6、.CD上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题.与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题.例3&(2016青岛)如图，在矩形ABCM,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DCT向匀速运动，速度为1cm/s;当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并

7、延长，交BC于点E,过点Q作QF/AC交BD于点F.设运动时间为t(s)(0vt<6),解答下列问题：(1)当t为何值时，AOP是等腰三角形；2(2)设五边形OECQF勺面积为S(cm),试确定S与t的函数关系式.【分析】(1)根据勾股定理求出AC的值，然后分类讨论：当AP=PO时，求出t的值；当AP=AO时，求出t的值；(2)过点E作EHLAC于点H,过点Q作QM_AC于点M过点D作DNLAC于点N,交QF于点G分别用t表示出EHDNDG再利用面积的和差计算即可.变式训练包5.(2017常德)如图，RtABC中，ZBAC=90°,D在BC上，连接AD,彳BF±AD分

8、别交AD于E,AC于F.(1)如图1,若BD=BA求证：AB9ADBE(2)如图2,若BD=4DC取AB的中点G连接CG交AD于点M.求证：G阵2MCAGf=AF-AC.图参考答案【例1】(1)如图，连接BD,设BD交AC于点O,.在菱形ABCDKZDAB=60°,AD=AB,.ABD为等边三角形.DELAB, 点E为AB的中点. .AE/CDAMAE_1 CMCD-2.同理CN1AN=2. .MN是线段AC的三等分点，MN=3aC.(2)AB/CD/BAD=60°,./ADC=120° ./ADE=/CDR30°,，/ED已60°.当/EQF

9、顺时针旋转时，由旋转的性质知，ZEDG=/FDR/GDP=ZEDF=60°. .DE=DF=&DDE(G=ZDFR=90°,.DE摩ADFR .DG=DP,.DGP是等边三角形.S/DGP=又DG>0,解得DG=23.，cos/EDG=-=1-=,1-ZEDG=60.DG232，当顺时针旋转60°时，DGP的面积是3寸3.,dgp的面积是3y3.同理，当逆时针旋转60°时，4DGP的面积也是34综上所述，当/EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°【变式训练】1 .解：(1)当CC=m时，四边形MCND为菱形.理由：由平移

10、的性质得CD/C'D',DE/DE'.ABC为等边三角形，/B=/ACB=60°,./ACC=180°-60°=120°.CN是/ACC的角平分线，NCC=60°.1. AB/DEDE/DE',.AB/DE',.D'E'C'=/B=60°,.D'E'C=/NCC,DE'/CN.四边形MCND为平行四边形./MEC'=/MCE=60°,ZNCC=/NCC=60°,.MCE和ANCC为等边三角形，故MC=CE,NC=CC.又

11、E，C=2弧CC=m，CE=CC=®.MC=CN.,四边形MCND为菱形.(2)AD=BE'.理由：当aW180°时，由旋转的性质得/ACD=/BCE.由(1)知AC=BC,CD=CE,.ACD9BCtE,，AD=BE'.当a=180°时，AD=AC+CD,BE=BC+CE,即AD=BE'.综上可知，AD=BE'.AP<AGFCP,当A,C,P三点共线时AP最大，如图所连接CP,在AACP中，由三角形三边关系得,示.BD'此时，AP=AC+CP.在CE中，由P为D'E'中点,APIDE',PD=

12、3,.CP=3,AP=6+3=9.在RtAAPtD中，由勾股定理得AD=RaP+PD2="92+(木)2=2P.BH.2.解：(1)在RtAHB中，ZABC45°,.A+ ./BHD=/AHC=90°,DH=CH.BH国AAHCBD=AC.(2)在R4AHC中，tanC=3,.第3.CH设CH=x,贝UBH=AH=3x, .BC=BH+CH=4x=4,，x=1,.AH=3,CH=1.由旋转的性质知，/EH曰/BHD=/AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,，/EHA=/FHCEH=段1,.EHMFHCAHHC/EAH=/C,tan/EAH=t

13、anC=3.如图，过点H作HP!AE于点P,则HP=3AP,AE=2AP.在AHP中，AF2+HF=AR即AF2+(3AP)2=9.3'10310由知，AEH和FHC都为等腰三角形，设AH交CG于点Q,/GAH=/HCG一一一AQGQ .AGACH(QCQHQAQCQ,o/AGQ=/CHQ=90.GQHQ /AQC=/GQHAQ。GQH.又.旋转角为30°,EHA=/FHC=120°,，/QAG=30°,EFACAQGHGHGQsin30=2.【例2】如图，作DF!B'E于点F,B'G±AD于点G,CGD白/B=60°,

14、BABE=4,.BDE是边长为4的等边三角形.将4BDE沿DE所在的直线折叠得到B'DE.B'DE也是边长为4的等边三角形，.GD=B'F=2.B，又4,B'G=B，D2GD=23.AB=10,AG=10-6=4,.AB'=#G+B，G2=2，7.故答案为2巾.【变式训练】3. 40或803f4. (1)证明：由折叠的性质知，DG=FGED=EF,/AED=/AEF.FG/CD，/FGE=/AED，/FGE=/AEF.FG=FE,.1.DG=GF=EF=DE, 四边形DEF的菱形.(2)解：设DE=x,根据折叠的性质，EF=DE=x,EC=8-x,在Rt

15、EFC中，FC?+EC2=EF2,即42+(8x)2=x2.解得x=5,CE=8-x=3.CE3,-.DE5.【例3】(1).在矩形ABCD43,AB=6cm,BC=8cm,.AC=10cm.当APPO时，如图，过点P作PMLAO1一5 .AM=2AO=2. ./PMA=/ADC=90°,/PAM=/CAD .APMhMCDAPUAMM，AP=t=25.ACAD8当APAO时,t=5. 0vt<6,，t=或t=5均符合题意,8 当t=25或t=5时，AOP是等腰三角形.8(2)如图，过点E作EHLAC于点H,过点Q作QM_AC于点M过点D作DNLAC于点N,交QF于点G, .四

16、边形ABC虚矩形，AD/BG /PAO/ECO.3t石. 点O是对角线AC的中点,A0=CO.y.ZAOP=ZCOE.AO国ACOE.CE=AP=t. .CEHhACAtBEH=CE,.1.EH=tABCAADC=,AD-DC='DN-ACAD-CD24DN=AC5. .QM/DN.CQMbACDNQMCQ口.QM6-t=即=.DNCD246"524-4t.QM=-,524DG=-5244t54t5FQ/AC.DFQADOC.FQDQDG.5t.OCTDcTDN''FQ=丁S=Sboec+SOCD-Sadfq111=2OC-EH+2。©D*DGFQ=3'+t+12,即S与t的函数关系式为S=-3t2+|t+12.【变式训练】5.证明：(1)在RtABE和RtDBE中,BA=BD,BE=BE,.AB*ADBE.(2)