北师大版数学必修三课件：第1章§552估计总体的数字特征

1、5.25.2 估计总体的数字特征估计总体的数字特征1 1、会用频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的分布、会用频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的分布概率概率. .2 2、会用平均值和标准差估计总体的数字特征、会用平均值和标准差估计总体的数字特征. .3 3、会通过对总体的估计，进行决策、会通过对总体的估计，进行决策. .众数众数在样本数据的频率分布直方图中在样本数据的频率分布直方图中, ,就是最高矩形的中就是最高矩形的中点的横坐标点的横坐标. . 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：中位数中位数在样本数据的频率分布直方图中在样本数据的

2、频率分布直方图中, ,就是把频率分布就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与直方图划分左右两个面积相等的分界线与x x轴交点的横坐轴交点的横坐标标. .平均数平均数在样本数据的频率分布直方图中在样本数据的频率分布直方图中, ,等于频率分布图等于频率分布图中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. . 平均数易受一些极端情况的影响，而这些极端情况显平均数易受一些极端情况的影响，而这些极端情况显然是不能忽视的因此，只有平均数还难以概括样本数据然是不能忽视的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态的实际状态如：有两位射击运动员在一

3、次射击测试中各射靶如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶1010次，每次，每次命中的环数如下：次命中的环数如下：甲甲: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙乙: 9: 95 57 78 87 76 68 8 6 67 77 7 如果你是教练如果你是教练, ,你应当如何对这次射击作出评价你应当如何对这次射击作出评价? ?如果如果这是一次选拔性考核这是一次选拔性考核, ,你应当如何作出选择你应当如何作出选择? ?方差与标准差方差与标准差如果看两人本次射击的平均成绩如果看两人本次射击的平均成绩, ,由于由于两人射击的平均成绩是一样的两人射击的平均

4、成绩是一样的. .那么两个人的水平就没有那么两个人的水平就没有什么差异吗什么差异吗? ?7,7xx 甲乙环数环数频率频率456789100.10.20.3(甲甲)456789 100.10.20.30.4环数环数(乙乙)频率频率 直观上看直观上看, ,还是有差异的还是有差异的. . 如如: :甲成绩比较甲成绩比较分散分散, ,乙成乙成绩相对绩相对集中集中( (如图示如图示).).因此因此, ,我们还需要从另外的角度来考我们还需要从另外的角度来考察这两组数据察这两组数据. .例如例如: :在作统计图、表时提到过的极差在作统计图、表时提到过的极差. . 甲的环数极差甲的环数极差=10=104=64

5、=6， 乙的环数极差乙的环数极差=9=95=4.5=4. 它们在一定程度上表明了样本数据的它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度分散程度, ,与平均数与平均数一起一起, ,可以给我们许多关于样本数据的信息可以给我们许多关于样本数据的信息. .显然显然, ,极差对极极差对极端值非常敏感端值非常敏感, ,注意到这一点注意到这一点, ,我们可以得到一种我们可以得到一种“去掉一个去掉一个最高分最高分, ,去掉一个最低分去掉一个最低分”的统计策略的统计策略. . 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标标准差准差标准差是样本平均数的一种平均距离，一

6、般用标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s s表表示示所谓所谓“平均距离平均距离”，其含义可作如下理解：，其含义可作如下理解：(1,2, ).ixx in 假设样本数据是假设样本数据是表示这组数据的平均数表示这组数据的平均数. .12,.,nxxxxixx到 的距离是于是于是, ,样本数据样本数据12,.nxxxx到 的12.nxxxxxxSn 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算如下公式来计算标准差标准差222121()()()nsxxxxxxn是是“平均距离平均距离”2222121()()()nsxxxxxxn从

7、数学的角度考虑从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方人们有时用标准差的平方分散程度的工具分散程度的工具.2方差s来代替标准差作为测量样本数据来代替标准差作为测量样本数据探究探究: :一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示表示: :考虑一个容量为考虑一个容量为2 2的样本的样本: :设设12,xx 不妨令12,xx、其样本的标准差为其样本的标准差为21,2xx 21.2xxa 令用计算器可算出甲、乙两人成绩的标准差为用计算器可算出甲、乙两人成绩的标准差为: :由由 可以知道可以知道, ,ss 甲乙2,1.095,ss 甲乙甲的成绩离散程

8、度大甲的成绩离散程度大, ,乙的成绩离散程度小乙的成绩离散程度小. .由此可以估由此可以估计计, ,乙比甲的射击成绩稳定乙比甲的射击成绩稳定. .显然显然, ,标准差越大标准差越大, ,则则 越大越大, ,数据的离散程度越大数据的离散程度越大; ;标准差越标准差越小小, ,数据的离散程度越小数据的离散程度越小. .a1x2x122xxa参照课本参照课本P P3737页的数据表完成：页的数据表完成：排名排名运动员运动员平均积分平均积分积分标准差积分标准差1 1李丽珊李丽珊2 2简度简度3 3贺根贺根4 4威尔逊威尔逊5 5李科李科3.143.144.574.575.005.006.296.296

9、. 576. 571.731.732.772.772.512.513.193.193.333.33 李丽珊的平均积分和标准差都比其他选手小，也就表李丽珊的平均积分和标准差都比其他选手小，也就表明，在前明，在前7 7场的比赛过程中，她的成绩最优秀且最稳定场的比赛过程中，她的成绩最优秀且最稳定. . 于是我们假设之后的比赛中，他们都发挥正常，夺冠于是我们假设之后的比赛中，他们都发挥正常，夺冠希望最大就是李丽珊希望最大就是李丽珊. . 甲乙两人同时生产内径为甲乙两人同时生产内径为25.40mm25.40mm的一种零件的一种零件. .为了对为了对两人的生产质量进行评比两人的生产质量进行评比, ,从他们

10、生产的零件中各抽出从他们生产的零件中各抽出2020件件, ,量得其内径尺寸如下量得其内径尺寸如下( (单位单位:mm):mm)甲甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25

11、.39 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39乙乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.4825.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 25.31, 25.32, 25.32, 25

12、.32, 25.48 从生产的零件内径的尺寸看从生产的零件内径的尺寸看, ,谁生产的质量较高谁生产的质量较高? ?解解: :用计算器计算可得用计算器计算可得: : , ,因此甲生产的零件内径比乙生产的稳定程度因此甲生产的零件内径比乙生产的稳定程度高得多，于是可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高得多，于是可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些高一些. . 从样本平均数看从样本平均数看, ,甲生产的零件内径比乙生产的更接近甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准内径标准(25.40mm),(25.40mm),但是差异很小但是差异很小; ;从样本标准差看从样本标准差看, ,由于由于ss甲乙25.4005,25.4008,0.038,0.074,xxSS-=甲乙甲乙 “