1.7.1定积分的简单应用(李用)

1、1.7.1定积分的简单应用定积分的简单应用定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 badxxfA)( badxxfxfA)()(121.1.平面图形的面积平面图形的面积: :( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a其中其中F (x)=f(x)xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A2.微积分基本定理微积分基本定理:一、复习一、复习因为因为f(x)在在a,b内连续内连续 是是f(x)的一个原函数的一个原函数.又又F(x)是是f(x)的原函数，的原函数，F(x)= +C.在上式中令在上式中令x=a,则则由由 得到得到C=F(a)移项得移项得

2、令令 即得即得xaf(t)dtxaf(t)dtaaf(t)dt = 0 xaf(t)dt =F(x)-F a bax = b, f x dx = F b -F a .证明：证明：Ox yab y f (x) x a、x b与与 x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 当当f(x) 0时时积分baf (x)dx 在几何上表示 由由y f (x)、x a、x b与与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值轴所围成的曲边梯形面积的负值x yOab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sb

3、af (x)dx f (x)dxf (x)dx。 =s3.定积分定积分 的几何意义的几何意义:( )baf x dx类型一类型一. .求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab练习练习. . 求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的

4、所围成的 图形的面积。图形的面积。yx解：如图：由解：如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解积的求解类型类型2 2：由两条曲线：由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(a4时，时，P点向点向x轴负

5、方向运动轴负方向运动 故故t6时，点时，点P移动的路程移动的路程返回返回返回返回悟一法悟一法返回返回 例例2设有一长设有一长25 cm的弹簧，若加以的弹簧，若加以100 N的力，的力，则弹簧伸长则弹簧伸长30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到伸长到40 cm所做的功所做的功返回返回 通一类通一类 2在底面积为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积面积为为S)从点从点a处推到点处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力处，计算在移动过程中，气体压力所做的功所做的功返回返回返回返回 做变速直线运动的物体的速度为做变速直线运动的物体的速度为v(t)4t2，求，求t0到到t3时经过的路程时经过的路程返回返回 设物体运动的速度设物体运动的速度v v(t) (v(t)0) ，则此物体，则此物体在时间区间在时间区间a, b内运动的路程内运动的路程s为为( )basv t dt1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功、变力沿直线所作的功 物体在变力物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物的作