宁夏中卫市2017届高三数学下学期第一次月考试卷理(含解析)

1、2016-2017 学年宁夏中卫高三（下）第一次月考数学试卷（理科）每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若集合 M=x N|xv6 , N=x|x2- 11x+18v0，贝yMin N 等于()3,4,5B. x|2vxv6C. x|3 b 0,椭圆 G 的方程为一+7=1，双曲线 a2b. 2G 的方程为 I1, C1与 C2的离心率之积为逅，则 C、G 的离心率分别为(J2人A., 3 B. , C.仝，2D.一2224总 11 .将函数二；_工-.的图象向左平移一=个单位，再向上平移 1 个单位,6 12若 g (X1) g (X2)=9

2、,且 X1, X2 - 2n, 2n,则 2x1- X2的最大值为C. D .- 0 时，若？X1, X2 a , a+2, f (X1)g (X2)恒成立，贝Ua 3,那么，这三个命题中所有的真命题是(A. P1, P2, P3B . P2, P3C. P1, P2、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上13 .设函数 f (x)1+1悶X#n，则 f ( 3) +f ( 4) =_3414.设实数 x, y 满足 J ylm 的最大值为_ .15._ 在数列 an中，已知 a2=4, a3=15,且数列an+n是等比数列，则 an=_ .16. 三棱

3、锥 S- ABC 中，/ SBA=/ SCA=90 , ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形，则以下 结论中：1异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90;2直线 SB 丄平面 ABC3面 SBCL 面 SAC；4点 C 到平面 SAB 的距离是丄一其中正确结论的序号是 _.三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.等差数列an中公差 d丰0, a1=3, a1、a4、a13成等比数列.(I)求 an；18.某公司开发一心产品有甲乙两种型号， 现发布对这两种型号的产品进行质量检测,们的检测数据中随机抽取8 次(数值越大产品质量越好)，记录

4、如下:甲：8.3 , 9.0 , 7.9 , 7.8 , 9.4 , 8.9 , 8.4 , 8.3乙：9.2 , 9.5 , 8.0 , 7.5 , 8.2 , 8.1 , 9.0 , 8.5(1) 先要从甲乙中选一种型号产品投入生产，从统计学的角度，你认为生产哪种型号的产 品合适？简单说明理由；(2) 若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 分的次数为E,求E的分布列及数学期望E(n)设an的前 n 项和为 Sn,求:从它519.如图，在三棱柱 ABC- ABC 中，AB 丄 AC, AC 丄 BB , AB=AB=AC=1 BB=*W .(I)求

5、证：AB 丄平面 ABC6(H)若 P是棱 BC的中点， 求二面角 P-AB- Ai的余弦值.F,抛物线上一点 A 的横坐标为 xi(Xi 0),过点M |FD|=2 , / AFD=60 .(1)求证： AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程;(2 )求厶 DFM 的面积.21.已知函数 f (x) = (x+a) ex，其中 a R(1)若曲线 y=f (x)在点 A (0, a)处的切线与直线 y=|2a - 1|x 平行，求 I 的方程；(2)若？a 1 , 2，函数 f (x)在(b- ea, 2) 上为增函数，求证：e2- 3 bvea+2.请考生在第(22)、(23)题中任选

6、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.选修 4-4 坐标系与参数方程22.已知曲线 C 的极坐标方程为p2-2 一卩 cos (0+)-2=0,以极点为平面直角坐标JIAy4系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线 I 过原点，且被曲线 C 截得的弦长最小，求直线 I 的直角坐标方程；(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x, y),求 x+y 的最大值.选修 4-5 不等式选讲23.已知函数 f (x) =|x+1| , g (x) =2|x|+a .(1 )当

7、a=- 1 时，解不等式 f (x) g (x);A作抛物线的切线交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q 交直线I :y=于点7(2)若存在 x R,使得 f (xo)*g (Xo),求实数 a 的取值范围.2016-2017 学年宁夏中卫一中高三（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若集合 M=x N|xV6 , N=x|x2- 11x+18V0，贝 U MA N 等于（）A. 3,4,5B. x|2Vxv6 C. x|3x5 D. 2,3,4,5【考点】1E:

8、交集及其运算.【分析】 求出关于 N 的不等式，从而求出M, N 的交集即可.【解答】 解：IM=x N|xV6,N=x|x2-11x+18v0=x|2vxv9, MA N=3, 4, 5,故选：A.2.（- 8的展开式中常数为（）A.2B.C.D.-8 2 2【考点】 DB 二项式系数的性质.【分析】 利用二项式展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项.【解答】解：（x- J ）8展开式中，通项公式为：ZXTw=：?X8-r? (- . )r?x-r= (- 一)？:?X8-2r令 8 - 2r=0，解得 r=4 ;所以展开式中常数项为第故选：B.P 到其焦点 F 的距离为 2,O 为坐标原

9、点，则厶 OFP 的面积为（A B1C D2【考点】K8:抛物线的简单性质.5 项，为3.若抛物线 y2=4x 上一点8【分析】利用抛物线的定义，求出P 的坐标，然后求出三角形的面积.【解答】解：由抛物线定义，|PF|=xP+1=2,所以 XP=1, |yp|=2 , 所以， PFO 的面积 S=_ ? |yp|=1.去故选：B圆心（0, 0）到直线 y=x+m 的距离 d= ,V2x2+y2=1 交于AB 两点，且 |AB|=,一 一 :J .-,电即 1+,4.在区间0 ,n上随机地取一个数x,则事件“sinxw【考【分【解B.C.D.323CF:几何概型.根据几解： 0 x n ,由 s

10、nx 得 0 x或一wxn,26 65兀H1JF H- 0则事件“ snxw”发生的概率 P=_:2Jl-0 t JTTT-故选：D.5.已知直线A. 土 1y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，且|AB|= ，则实数 一C2C. 土：D. 亠2 2J9:直线与圆的位置关系.求出圆的圆心（0, 0）,半径 r=1 和圆心（0, 0）到直线 y=x+m 的距离，根据直线y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于AB 两点，且|AB|=.二，利用勾股定理能求出实数m.【解答】 解：圆 x2+y2=1 的圆心（0, 0）,半径 r=1 ,【考【分B.直线y=x+m和圆由勾股定理9解得 m

11、= 1 二故选：C.6.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的 y 值相等，则这样的 x 值的个数是（）（开始/输兀/!y-2x-31/ 输 A. 1B. 2C. 3D. 4【考点】E6:选择结构.【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分 x5 三种情况分别讨论， 满足输入的 x 值与输出的 y 值相等的情 况，即可得到答案.【解答】解：当 x 5 时，由 =x 得：x= 1,不满足条件，X故这样的 x 值有 3 个.故选 C.7有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求2 盆黄菊花

12、必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是（）A. 12B. 24C. 36D. 4810【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【分析】由题设中的条件知，可以先把黄1 与黄 2 必须相邻，可先将两者绑定，又白 1 与白2 不相邻，可把黄 1 与黄 2 看作是一盆菊花，与白 1 白 2 之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空， 再由插空法将白 1 白 2 菊花插入三个空， 由分析过程知， 此题应分 为二步完成，由计数原理计算出结果即可.【解答】解：由题意，第一步将黄 1 与黄 2 绑定，两者的站法有 2 种，第二步将此两菊花看 作一个整体，与除白 1，白 2 之

13、外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1,白 2 两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为 2XAB2=2X 2X6=24.故选 B.&设 f (x) +g (x)= 2tdt , x R,若函数 f (x )为奇函数，贝 y g (x)的解析式可 以为( )A .3xA. xB. cosx C . 1+x D. xe【考点】36 :函数解析式的求解及常用方法.【分析】f (x) +g (x) =2x+1，函数 Jf (x)为奇函数，-f (x) +g (- x) =- 2x+1.+得 g (- x) +g (x) =2,对选项 A,

14、 B, C, D 逐一验证，【解答】 解：I2tdt= (x+1)2-x2=2x+1，即 f (x) +g (x) =2x+1 ，：函数 f ( x) 3C _为奇函数，- f (x) +g (- x) = - 2x+1 .+得 g (- x) +g (x) =2,对选项 A, B, C, D 逐一验证，只有 C 项符合题意，故选：C,9.在 ABC 中，AB C 所对的边分别为 a、b、c,若 bcosA+acosB=c , a=b=2,则厶 ABC的周长为( )A. 7.5 B. 7C. 6D. 5【考点】HP 正弦定理.【分析】由已知利用余弦定理可求c 的值，进而可得周长的值.【解答】

15、解：TbcosA+acosB=c2, a=b=2,112 2 2 2 2 2由余弦定理可得：bx 1 = 厂一 +ax；=c2，整理可得：2C2=2C3,2bc2ac解得：c=1,则厶 ABC 的周长为 a+b+c=2+2+仁 5.故选：D.222 210.已知 a b 0,椭圆 C 的方程为 鼻+丫_=1，双曲线 C2的方程为 L一=1, G 与 C2的2k22k2a ba b离心率之积为逅，则 C、C2的离心率分别为（）2A.丄，3 B.返，亜C.鱼，2 D.丄，22244 J【考点】KC 双曲线的简单性质；K4:椭圆的简单性质.【分析】 求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可

16、求解离心率.2 2【解答】解：a b0,椭圆 C 的方程为 青+冷=1, G 的离心率为:abz22双曲线C的方程为一=1,C的离心率为:a2XC 与 C2 的离心率之积为,2厂一 m - -K则 C 的离心率则 C2的离心率:故选：B.(x)的图象.若 g(xjg (X2) =9,且 X1, x? - 2n, 2n,则 2x1- X2的最大值为(一个单位，再向上平移 1 个单位，得到 g()2=111.将函数t；.I - .！ ； .的图象向左平移12A.4971B.D.13A. pi, p2, p3B. p2,p3C. pi, p2【考点】2K:命题的真假判断与应用.【分析】给出 f (x

17、) f (- x)的表达式，结合基本不等式，可判断 pi,在同一坐标系中作出函数 f (x) =2X- 5, g ( x) =4x- x2的图象，数形结合，可判断 p2, p3【解答】 解：T函数 f ( x) =2- 5, g (x) =4x - x2, f (x) f (- x) = (2X- 5) ( 2-x- 5) =26 - 5 (2X+2-x) 26 - iO =i6,故 pi:若 x R,贝Uf (x) f (- x)的最大值为 i6,为真命题;【考点】3H:函数的最值及其几何意义；30:函数的图象.【分析】由已知可得 g=9,且Xi,X2Xi,X2-2n ,2n,可得答案.It

18、兀【解答】解：函数:，-.的图象向左平移 一 r 个单位,612的图象,再向上平移 i 个单位，得到 g (x) =mL.+i 的图象.若 g(Xi)g(X2)=9,且 Xi,X2-2n ,2n,则 g(xi)=g(X2)=3,TT TT则.川=一=即23it 由 Xi, X2 - 2n, 2n，得：Xi, X2 ，丄dLi、/13 n:2：3 兀时门怖曰 4 古 4?兀当 xi=一，X2=-一时，2xi- X2取最大值一,lin n,兀故选：A12.已知函数 f (x) =2X- 5, g (x) =4x - x2,给下列三个命题:Pi:若 x R,则(X) f (- x)的最大值为 i6;

19、P2：不等式 f (x) g (X)的解集为集合x| - 1 0 时，若？xi, X2 a , a+2,那么，这三个命题中所有的真命题是(f (xi) g (X2)恒成立，贝Ua 3,D. pi14在同一坐标系中作出函数f (x) =2x- 5, g (x) =4x-x2的图象如下图所示:由图可得：P2：不等式 f(x)vg (x)的解集为集合x| - 1vxv3的真子集，为真命题;P3：当 a0 时，若？xi, X2 a , a+2 , f (xi) g (X2)恒成立，贝Ua 3，为真命题；故选：A二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上l+lo

20、13.设函数 f (x)= ，贝Uf (3) +f ( 4) = 3+log49 .x4【考点】3T：函数的值.【分析】 先求出 f ( 3)=f ( 32) =f (9) =1+log49, f(4) =1+log44=2，由此能求出 f (3)+f (4)的值.l+lo【解答】解：函数 f (x)=,f(x2). xim 的最大值为615【考点】7C:简单线性规划；96：平行向量与共线向量.【分析】根据向量平行的坐标公式得到2x - y+m=O,作出不等式组对应的平面区域，禾 U 用的几何意义，即可求出 m 的最大值.【解答】解:；=(2x - y, m), g = (- 1, 1).T

21、T右 / ;., 2x - y+m=Q即 y=2x+m,作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线 y=2x+m,由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 C 时，y=2x+m 的截距最大，此时 z 最大.y=10-2x(x-1/解得* ，代入 2x - y+m=0 得 m=6.X二即 m 的最大值为 6.故答案为：615.在数列an中，已知 a2=4, a3=15,且数列an+n是等比数列，则 an= 2?3n 1- n;.【考点】88:等比数列的通项公式.【分析】由于数列an+n是等比数列，可得(a2+2)2=(a1+l) (a+3),解得 a.即可得 到公比 q=,=.-：再利用等比数列的通

22、项公式即可得出.16+1 1 + 1【解答】解：数列an+n是等比数列，边 J +厂门(4+2)2=(ai+1)X(15+3),解得 ai=1.a9+2公比 q=/ an+n=2x3nnT-an=2?3- n,故答案为：2?3n1-n.16.三棱锥 S- ABC 中，/ SBA=/ SCA=90 , ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形，则以下 结论中：1异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90;2直线 SB 丄平面 ABC3面 SBCL 面 SAC；4点 C 到平面 SAB 的距离是一.：.其中正确结论的序号是.【考点】LM 异面直线及其所成的角；LW 直线与平面垂直的判定；LY:平

23、面与平面垂直的判定；MK 点、线、面间的距离计算.【分析】由题目中的条件可以证得，三棱锥的一个侧棱SB 丄平面 ABC 面 SBCLAC 由此易判断得都是正确的【解答】解：由题意三棱锥 S-ABC 中，/ SBA=/ SCA=90，知 SB 丄 BA, SCLCA又厶 ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形可得 ACLBC,又 BCASB=B 故有 ACL 面 SBC 故有 SB 丄AC,故正确，由此可以得到 SB 丄平面 ABC 故正确，再有 AC?面 SAC 得面 SBCL 面 SAC 故正确，17 ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形， 点 C 到平面 SAB 的距离即点 C

24、到斜边 AB 的中点的距 离，即丄:,故正确.故答案为18三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.等差数列an中公差 d丰0, ai=3, ai、色、ai3成等比数列.(I)求 an；【考点】8E：数列的求和；88:等比数列的通项公式；8G:等比数列的性质.可得出.【解答】解: (I )：ai、a4、ai3成等比数列. .: -.-,( 3+3d)2=3 ( 3+i2d),化为 d2- 2d=0, d 工 0,丄(一L)_3_2n+3订-.盼i8.某公司开发一心产品有甲乙两种型号，现发布对这两种型号的产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽

25、取8 次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3 , 9.0 , 7.9 , 7.8 , 9.4 , 8.9 , 8.4 , 8.3乙：9.2 , 9.5 , 8.0 , 7.5 , 8.2 , 8.1 , 9.0 , 8.5(n)设an的前 n 项和为 Sn,求:【分析】(I) ai、a4、ai3成等比数列.可得.-.2=3 (3+i2d),解出即可.(II )由(I )可得：Sn=! = n (n+2),2.,利用等差数列的通项公式可得(3+3d)丄 JI4ill 1厂S =2 (石.利用裂项求和”即)+n+2)+ +nl19(1)先要从甲乙中选一种型号产品投入生产，从统计学的角度，

26、你认为生产哪种型号的产20品合适？简单说明理由;(2)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 分的次数为E,求E的分布列及数学期望EE的分布列为:【考点】CH 离散型随机变量的期望与方差； CG离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)计算平均数-，方差二、.,根据平均数与方差的意义即可得出结论;(2)由题意知乙不低于8.5 分的频率为概率，得出E的可能取值,则EB (3,戸，计算对应的概率值，写出E的分布列，计算数学期望值.【解答】 解：(1)计算平均数二于=.X(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3) =8.5 ,8/ -=

27、 . X(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5,g12 2 2 2 -d=X(8.3-8.5)+(9.0-8.5)+(7.9-8.5)+(7.8-8.5)屮 8方差5 I2222=X(9.2-8.5)+(9.5-8.5)+(8.0-8.5)+(7.5-8.5)2 2 2 2+ (8.2 - 8.5 ) + (8.1 - 8.5 ) + ( 9.0 - 8.5 ) + (8.5 - 8.5 ) =0.405 ,甲和乙的质量数值的平均数相同， 但甲的方差较小,说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适；(2)依题意，乙不低于 8.5 分的频率为，随机变量E的可能取值

28、为 0, 1 , 2, 3,则EB (3,二)，二 P(E=0)P(E=1)=P( E=2)=P( E=3)=1-2少O 3-00=31),-1),i 6E0i23P13318888数学期望为 EE =。一+1=；（或 E。=3 =；）.19. 如图，在三棱柱 ABC- ABC 中，AB 丄 AC, AC 丄 BB , AB=AB=AC=1 BB= .【考点】MT 二面角的平面角及求法；LW 直线与平面垂直的判定.【分析】（I）由已知得 AC 丄平面 ABBAi,从而 AC!A B,由勾股定理得明 AiB 丄平面 ABCAiB 丄AB,从而能证（n）以 B 为原点，以 BC BA BB 所在直

29、线为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系,利用向Ik T量法能求出二面角 P- AB- A 的余弦值.【解答】（I）证明：在三棱柱 ABC- AiBiC 中，AB 丄 AC, ACLBB ,又 ABnBB=B，b AC 丄平面 ABBA ,又 AiB?平面 ABBAi, ACLAiB ,/ AB=AB=AC= i BB= 1 ,匚1广(上J# 丄1L, A BlAB,又 ACnAB=A 二 AB 丄平面 ABC(n)解：以 AiCi,AiBi,BA 所在直线为 x,y, z 轴建立如图 Ai- xyz 直角坐标系,（I）求证：AB 丄平面 ABCP- AB- Ai的余弦值.22A (0

30、 , 0 , 0) , P (二,-,0) , B ( 0 , 0,- 一 bTj=(0 , i , o), i ：；=(-一 -,.,23设平面 PAB 的法向量 =(x, y, z),则? .=0,即 y=0,?：= (x, y, z) ?(-；,-y,1) =0,即77X - z=0,取 z=1, x= 2,=( 2, 0, 1),设平面 ABAB 的法向量 n=( 1, 0 , 0),cosV=|二|=_=T.InHIml V5 520.已知抛物线 C: x2=2py (p0)的焦点 F ,抛物线上一点 A 的横坐标为 Xi(Xi0),过点A 作抛物线的切线交 x 轴于点 D,交 y

31、轴于点 Q 交直线 I : y=g 于点 M |FD|=2 , / AFD=60 .(1)求证： AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)求厶 DFM 勺面积.【考点】K8:抛物线的简单性质；K7:抛物线的标准方程.【分析】(1 )利用导数求出切线方程，得出 Q D 的坐标，计算|AF| , |FQ|即可得出|AF|=|FQ| , 根据三角形性质得出|OF|=1 ,从而得出抛物线方程；(2)根据直线斜率可得 DF 丄 AD,由/ DFM=30 求出 DM 于是 SDF.卩|2 2【解答】 解：(1)设 A ( X1, y1),贝U切线 I 的方程为沪X- 一，且 yf ,P 2p2p

32、 D , 0), Q (0, - y1), |AF|=；.+y1, |FQ|=|FA| AFQ 为等腰三角形，且 D 为 AQ 的中点,|FQ|= !-+y1,面角 P- AB- Ai的余弦值为.24 DF 丄AQ|FD|=2，/ AFD=60 ,41 / QFD=60 , OF= . FD=1, p=2,抛物线方程为x2=4y.(2)F(0,1),kAD=,2丄2kDF=： | =-2 kDF?kAt= 1 , DF 丄 AD,/DFM=90-ZQFD=30,DM=.V3 3DF=2,0尸=一工巴=AtFJG%Q/ex,其中 a R21.已知函数 f (x) = (x+a)(1)若曲线 y=

33、f (x)在点 A(0, a)处的切线与直线y=|2a - 1|x 平行，求 I 的方程;(2)若？a 1 , 2，函数 f(x)在(b- ea, 2) 上为增函数，求证：e2- 3ea- a- 1 且bvea+2，令 g (a) =ea- a2526-1，再由导数证明 g (a)的最小值为 e2- 3 得答案.【解答】 解：(1) f( x) =ex+ (x+a) ex= (x+a+1)e,则在 A ( 0, a)处的切线的斜率为：f( 0) =a+1,T切线与直线平行，故 a+1=|2a - 1|，解得：a=0 或 a=2，若 a=0,则 A (0, 0), f( 0) =1,切线方程是：

34、y - 0=1x(x - 0),即 y=x;若 a=2,则 A (0, 2), f ( 0) =3,切线方程是：y - 2=2x(x - 0),即 y=2x+2;(2)证明：当？a 1 , 2时，函数 f (乂)在(b- ea, 2)为增函数, 则在此范围内，f( x) = (x+a+1)e0 恒成立，/ex0，贝Ux+a+1 0,/ a 1,2, b-ea+a+10 且 b-eav2,故 bea- a - 1 且 bvea+2,令 g (a) =ea- a- 1,贝 U g( a) =ea- 1,当 a 1 , 2时，g( a) 0, g (a )在1 , 2递增,2 2-g (a)ma)=g (2) =e 2 1=e 3,若要 bea- a- 1 在1 , 2内恒成立，只需 b e2- 3 即可，综上：e2- 3 bvea+2.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔