高中数学2.2.1.1对 数(人教A版必修1)

1、第1课时 对 数1.1.理解对数的概念，了解常用对数和自然对数理解对数的概念，了解常用对数和自然对数. .2.2.能够进行对数式与指数式的互化能够进行对数式与指数式的互化. .3.3.掌握对数的三个重要结论掌握对数的三个重要结论. . 1.1.本课重点是对数的概念、对数式与指数式的互化本课重点是对数的概念、对数式与指数式的互化. .2.2.本课难点是对数概念的理解和本课难点是对数概念的理解和logloga a1=0,log1=0,loga aa=1, a=1, (a(a0 0且且a1)a1)等恒等式的应用等恒等式的应用. .alog NaN1.1.对数对数(1)(1)请根据下图的提示填写与对数

2、有关的概念请根据下图的提示填写与对数有关的概念_xaaNlog Nx_指数指数对数对数幂幂真数真数底数底数(2)(2)其中其中a a的取值范围是的取值范围是_._.2.2.常用对数与自然对数常用对数与自然对数(1)(1)请依据常用对数与自然对数的定义连线请依据常用对数与自然对数的定义连线(2)(2)其中无理数其中无理数e=2.718 28.e=2.718 28.a a0 0且且a1a13.3.重要结论重要结论(1)(1)负数和零负数和零_对数对数. .(2)log(2)loga a1=_(a1=_(a0,0,且且a1).a1).(3)log(3)loga aa=_(aa=_(a0,0,且且a1

3、).a1).没有没有0 01 11.1.已知已知10=310=31.011.01x x，如何用对数表示，如何用对数表示x?x?提示：提示：由于由于1.011.01x x= ,= ,所以所以x=logx=log1.01 1.01 . .2.log2.log(-2)(-2)3,log3,log1 13,log3,log2 20,log0,log5 5(-1)(-1)有意义吗？为什么？有意义吗？为什么？提示：提示：没有没有.log.loga aN N中中a a0,0,且且a1,Na1,N0.0.1031033.lg1=_,lne3.lg1=_,lne=_.=_.【解析【解析】10100 0=1,lg

4、1=0.=1,lg1=0.ee1 1=e,lne=1.=e,lne=1.答案：答案：0 10 14.34.3-3-3= = 写成对数式为写成对数式为_，loglog6 6216=3216=3写成指数式为写成指数式为_._.【解析【解析】3 3-3-3= = 写成对数式为写成对数式为loglog3 3 =-3,=-3,loglog6 6216=3216=3写成指数式为写成指数式为6 63 3=216.=216.答案：答案：loglog3 3 =-3 6=-3 63 3=216=2161271271271271.1.对数对数logloga aN N中规定中规定a a0 0且且a1a1的原因的原因a

5、 a不能取的值不能取的值原原 因因a a0 0 1212log2（）N N取某些值时，取某些值时，logloga aN N不存在，如根据指数的运不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数算性质可知，不存在实数x x使使(- )(- )x x=2=2成立，成立，所以所以 不存在，所以不存在，所以a a不能小于不能小于0. 0. a a不能取的值不能取的值原原 因因a=0a=0a=1 a=1 N0N0时，不存在实数时，不存在实数x x使使a ax x=N,=N,无法定义无法定义logloga aN N. .N=0N=0时，任意非零实数时，任意非零实数x,x,有有a ax x=N=N成立，成立，l

6、ogloga aN N不不确定确定. .N1,logN1,loga aN N不存在不存在. .N=1,logN=1,loga a1 1有无数个值，不能确定有无数个值，不能确定. .2.2.对数对数logloga aN N的意义的意义对数对数logloga aN N可看作一记号，它和可看作一记号，它和“+”+”、“-”-”、“”、“”等符号一样，表示一种运算，即已知底数为等符号一样，表示一种运算，即已知底数为a(aa(a0,0,且且a1)a1)幂幂为为N N，求幂指数，求幂指数x x的运算的运算. .它也表示为求关于它也表示为求关于x x的方程的方程a ax x=N(a=N(a0 0且且a1)a

7、1)的解的过程的解的过程. .3.3.负数和零没有对数的原因负数和零没有对数的原因由于当由于当a a0 0且且a1a1时时, , 对任意实数对任意实数x x总有总有a ax x0,0,因而因而a ax x=N=N中中N N总总是正数是正数. .根据根据a ax x=N=Nx=logx=loga aN(aN(a0,0,且且a1)a1)可知，在可知，在logloga aN N=x=x中中必须必须N N0,0,也就是说负数和零没有对数也就是说负数和零没有对数. . 指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化【技法点拨【技法点拨】1.1.指数式与对数式互化的方法指数式与对数式互化的方法(1)(1)解答此

8、类问题的关键是要搞清解答此类问题的关键是要搞清a,x,Na,x,N在指数式和对数式中的在指数式和对数式中的位置位置. .(2)(2)若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式的形式. .2.2.指数式与对数式互化在函数求值问题中的应用指数式与对数式互化在函数求值问题中的应用利用指数式与对数式的关系，可以将对数运算转化为指数运算利用指数式与对数式的关系，可以将对数运算转化为指数运算. .例如，例如，(1)(1)利用指数运算性质

9、讨论对数运算性质；利用指数运算性质讨论对数运算性质； (2)(2)给出指给出指数式数式( (对数式对数式) )的条件求对数的条件求对数( (幂幂) )的值等问题的值等问题. .【典例训练【典例训练】1.1.若若f(10f(10 x x)=x,)=x,则则f(2)=_.f(2)=_.2.2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)(1)0 0=1;(2)10=1;(2)10-1.699-1.699=a;=a;(3) =-2;(4) =b.(3) =-2;(4) =b.110log 10012log 0.45【解析【解析】1.1.设设t=10t=1

10、0 x x，则，则t t0,x=lgt0,x=lgt. .由由f(10f(10 x x)=x)=x得得,f(t,f(t)=lgt,f(2)=lg2.)=lgt,f(2)=lg2.答案：答案：lg2lg22.(1)log2.(1)log1=0;(2)lga=-1.699;1=0;(2)lga=-1.699;(3)( )(3)( )-2-2=100;(4)( )=100;(4)( )b b=0.45.=0.45.11012【归纳【归纳】解答本题解答本题1 1的关键点及解答题的关键点及解答题2 2时要注意的问题时要注意的问题. .提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1的关键是求函数解析式，通常采

11、用换元法求的关键是求函数解析式，通常采用换元法求出具体的函数解析式，然后代入自变量的值求出函数值出具体的函数解析式，然后代入自变量的值求出函数值. .(2)(2)解答题解答题2 2时，时，分清楚分清楚a a、x x、N N在指数式与对数式中的位在指数式与对数式中的位置置. .要注意以要注意以1010为底的对数式的书写形式为底的对数式的书写形式. .【变式训练【变式训练】已知已知logloga a2=m,log2=m,loga a3=n3=n，求，求a a2m+n2m+n的值的值. .【解析【解析】由由logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,得得a am m=2,a=

12、2,an n=3,=3,aa2m+n2m+n=a=a2m2ma an n=(a=(am m) )2 2a an n=2=22 23=12,3=12,即即a a2m+n2m+n=12.=12. 对数求值问题对数求值问题1.log1.loga a1=01=0和和logloga aa a=1(a=1(a0 0，且，且a1)a1)的应用的应用(1)(1)正向应用正向应用计算真数为计算真数为1 1的对数值和真数与底数相等的对数值的对数值和真数与底数相等的对数值. .(2)(2)逆向应用逆向应用类似于利用指数函数单调性比较两个数的大小类似于利用指数函数单调性比较两个数的大小, ,如如 2 20 0=1=1

13、，在今后对数大小比较的学习中要用到在今后对数大小比较的学习中要用到logloga a1=01=0和和logloga aa a=1.=1.1222. =n(a2. =n(a0,0,且且a1)a1)的应用的应用(1)(1)证明：设证明：设 =x,=x,则则a an n=a=ax x, ,由指数函数的单调性知由指数函数的单调性知n=x,n=x,所以所以 =n.=n.(2)(2)应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的幂的形式，那么对数的值就是幂指数幂的形式，那么对数的值就是幂指数. .nalog analog analog a【典例训练【典

14、例训练】1.(1)1.(1)若若 =1,=1,则则x=_;x=_;(2)(2)若若loglogx x8= 8= ，则，则x=_.x=_.2.2.求下列对数的值：求下列对数的值：(1)log(1)log2 24 47 7; (2) ; (2) ;(3) ; (4) .(3) ; (4) .312xlog9235lg 1003log (81 3)2log(8 2)【解析【解析】1.(1)1.(1)由由 得得, , =3, =3,所以所以x=-13.x=-13.312xlog1912x9(2)(2)解题流程解题流程答案：答案：(1)-13 (2)(1)-13 (2)2322.(1)log2.(1)l

15、og2 24 47 7=log=log2 2(2(22 2) )7 7=log=log2 22 21414=14;=14;(2) = = ;(2) = = ;(3)log(3)log3 3(81 )=log(81 )=log3 3(3(34 4 )= ; )= ;(4) =7.(4) =7.5lg 10025lg102531239239log 3237222log8 2log(22)log2（）（）【互动探究【互动探究】若把题若把题1(1)1(1)中的对数式改为中的对数式改为 =0,=0,如何求如何求x x？【解题指南【解题指南】先把对数式化为指数式，再用先把对数式化为指数式，再用3 30 0

16、=1=1求出求出x.x.【解析【解析】由由 =0=0得，得，3 30 0= ,= ,所以所以 =1,=1,所以所以x=-4.x=-4.312xlog9312xlog912x912x9【思考【思考】(1)log(1)loga a1=01=0和和logloga aa a=1(a=1(a0 0，且，且a1)a1)化为指数式是什化为指数式是什么？么？(2)(2)当未知数当未知数x x在对数式的底数或真数位置时，求解在对数式的底数或真数位置时，求解x x的值应注的值应注意什么？意什么？提示：提示：(1)log(1)loga a1=01=0a a0 0=1,log=1,loga aa=1a=1a a1 1

17、=a(a=a(a0,0,且且a1).a1).(2)(2)当未知数当未知数x x在对数式的底数或真数位置时，求解出在对数式的底数或真数位置时，求解出x x后应注后应注意根据对数的底数或真数的取值范围检验意根据对数的底数或真数的取值范围检验. .【变式训练【变式训练】若若5 5lgxlgx=25,=25,则则x=_.x=_.【解析【解析】由由5 5lgxlgx=25=25得得,5,5lgxlgx=5=52 2, ,所以所以lgxlgx=2,=2,所以所以x=100.x=100.答案：答案：100100 对数恒等式对数恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0) 的应用的应用【技法点拨【技法

18、点拨】对数恒等式及其应用对数恒等式及其应用(1)(1)对于对数恒等式对于对数恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)要注意格要注意格式：式：它们是同底的；它们是同底的；指数中含有对数形式；指数中含有对数形式；其值为对其值为对数的真数数的真数. . (2)(2)若指数式中含有对数值，解题时可使用对数恒等式若指数式中含有对数值，解题时可使用对数恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)来化简求值来化简求值. .alog NaNalog NaNalog NaN【典例训练【典例训练】1.1.计算：计算：(1) =_;(1) =_;(2) =_.(2) =_.2.2.计算：计算：3

19、1log 42951 log 253221 log 54 log 3log 53lg313210( ).2【解析【解析】1.(1) 1.(1) (2) =5(2) =52=10.2=10.答案：答案：(1)4 (2)10(1)4 (2)102. 2. = =3=35-165-163+33+33 3+5+5-1 -1 = =33311log 4log 4log 4229(9 )34;551 log 2log 255 5 3221 log 54 log 3log 53lg3132102 （ ）322log 5log 3log 54lg3 313 322(10)2 （）29.5【想一想【想一想】用用

20、 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)化简求值的关键是化简求值的关键是什么？另外计算第什么？另外计算第2 2题常会出现什么问题？题常会出现什么问题？提示：提示：(1)(1)用用 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)化简求值的关键是凑化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数要一致，为此要灵准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数要一致，为此要灵活应用幂的运算性质活应用幂的运算性质. .(2)(2)计算第计算第2 2题常会出现幂的运算性质应用不当或用错的情况题常会出现幂的运算性质应用不当或用错的情况, ,如：如：10103lg33lg3=1 000=1 000lg3l

21、g3, , alog NaNalog NaN224 log 3log 342(2 ).【易错误区【易错误区】忽视对数的真数的取值范围忽视对数的真数的取值范围【典例】对于【典例】对于a a0,0,且且a1a1，下列说法正确的是，下列说法正确的是( )( )(1)(1)若若M=NM=N，则，则logloga aM=logM=loga aN N; ;(2)(2)若若logloga aM=logM=loga aN N, ,则则M=NM=N；(3)(3)若若logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2, ,则则M=NM=N；(4)(4)若若M=NM=N，则，则logloga aM M

22、2 2=log=loga aN N2 2. .(A)(1)(3) (B)(2)(4)(A)(1)(3) (B)(2)(4)(C)(2) (D)(1)(2)(3)(4)(C)(2) (D)(1)(2)(3)(4)【解题指导【解题指导】【解析【解析】选选C.(1)C.(1)错误错误. .当当M=N0M=N0时，时，logloga aM M与与logloga aN N均无意义，均无意义，因此因此logloga aM=logM=loga aN N不成立不成立;(2);(2)正确正确. .设设logloga aM=logM=loga aN N=x,=x,则有则有M=aM=ax x,N,N=a=ax x,

23、 ,故故M=NM=N；(3)(3)错误错误. .当当logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2时，有时，有M0M0，N0N0且且M M2 2=N=N2 2，即，即|M|=|N|M|=|N|，但未必有，但未必有M=NM=N；(4)(4)错误错误. .若若M=N=0M=N=0, ,则则logloga aM M2 2与与logloga aN N2 2均无意义，因此均无意义，因此logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2不成立，所以只有不成立，所以只有(2)(2)正确正确. .【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，

24、对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：( (注：此处的注：此处的见解析过程见解析过程) )常常见见错错误误选选B B 在判断第在判断第(4)(4)个说法时，常会忽视个说法时，常会忽视处处M=N=0M=N=0, ,即即真数等于零时对数无意义的情况，而导致判断说真数等于零时对数无意义的情况，而导致判断说法法(4)(4)正确正确. .实质是对对数的定义理解不准确，对实质是对对数的定义理解不准确，对数与指数的关系掌握不好造成的数与指数的关系掌握不好造成的. . 解解题题启启示示(1)(1)判断一个说法错误时常用举反例的方法，而举反例的判断一个说法错误时常用举反例的方法，而举反例的关键

25、是问题要考虑全面关键是问题要考虑全面. .(2)(2)学会利用指数式与对数式的关系理解对数的概念，尤学会利用指数式与对数式的关系理解对数的概念，尤其要注意对数的底数和真数的取值范围其要注意对数的底数和真数的取值范围. . 【即时训练【即时训练】有下列说法：有下列说法：(1)(1)只有正数有对数；只有正数有对数；(2)(2)任何一个指数式都可以化成对数式；任何一个指数式都可以化成对数式；(3)(3)以以5 5为底为底2525的对数等于的对数等于2 2；(4) (4) 成立；成立；(5)(5)由由loglogx x16=216=2得得x x2 2=16,=16,所以所以x=x=4.4.其中正确的个

26、数为其中正确的个数为( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)33log535 【解析【解析】选选B.(1)B.(1)正确正确. .由由a a0,0,且且a1a1知知,a,ax x0(xR)0(xR)，即即N N0,0,结合结合a ax x=N=Nx=logx=loga aN N知，负数和零没有对数，只有知，负数和零没有对数，只有正数有对数；正数有对数；(2)(2)错误错误. .举反例，例如举反例，例如(-3)(-3)2 2=9,(-3)=9,(-3)3 3=27=27等等指数式都无法化成对数式；指数式都无法化成对数式；(3)(3)错误错误. .以以5 5为底为底2525的对数，的对数，即即loglog5 525=2;(4)25=2;(4)错误错误. . 不成立，因为不成立，因为loglog3 3(-5)(-5)没没有意义；有意义；(5)(5)错误错误. .由由loglogx x16=216=2得得x x2 2=16=16，又，又x x0,x1,0,x1,所以所以x=4.x=4. 3log535 1.1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )( )(A)10(A)100 0=1=1与与lg1=0lg1