家家学网络名师小班辅导教案初中数学等腰三角形教师版

1、三角形、等边三角 形、直角三角形的性质和判定1.1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.2.等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.3.3.等腰三角形的性质：(1)(1) 两腰相等.(2)(2) 两底角相等.(3)(3) 三线合一”即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(4)(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴. 线段的垂直平分线：第十四讲等腰三角形中考要求板块A A 级要求考试要求B B 级要求C C 级要求了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三

2、角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有等腰三角形三种图形；理解等腰关冋题等腰三角形性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.4.4.等腰三角形的判定：(1)(1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.5.5.等边三角形的性质： 三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60.6.6.等边三角形的判定：(1)(1) 三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)(3)

3、 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.7.7.等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等. 等腰直角三角形的判定：(1)(1) 顶角为90的等腰三角形.(2)(2) 底角为45的等腰三角形.G、难点J重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用板块一、等腰三角形的认识【例 1】下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有 一个内角是60。，那么这个等腰三角

4、形一定是等边三角形则以下结论正确的是（）（）A A.只有命题正确B B.只有命题正确C C .命题、都正确D D .命题、都不正确【解析】C C.【例 2】如图，在ABC中，AD BC于D.请你再添加一个条件，就可以确定ABC是等腰三角形.你添加的条件是_.【解析】BD DC或AD平分BAC或B C.【例 3】（20062006 年扬州中考）如图，在 ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件： EBO DOC:BEO CDO 、BE CD:OB OC .（1 1） 上述四个条件中，哪两个条件可判定 ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；（2 2） 选择第

5、小题中的一种情形，证明 ABC是等腰三角形.【解析】（1 1），四种情况可判定ABC是等腰三角形.（2 2）下面以两个条件证明ABC是等腰三角形.IEBO DOC，BE CD，BEO CDO， EOB DOC，OB OC，OBC OCB.EBC DCB， ABC是等腰三角形.【例 4】如图，点O是等边ABC内一点，AOB 110。，BOC.将 BOC绕点C按顺时针方向旋转19060得厶 ADC，连接OD，则 COD是等边三角形；当 为多少度时， AOD是等腰三角形？【解析】分三种情况讨论：要使AO AD，需AOD ADO./ AOD 190，ADO60，19060.125.2要使OA OD，需

6、OAD ADO./OAD 180 （ AOD ADO） 50，6050.1103要使OD AD，需OAD AOD.50. 190140.综上所述：当 的度数为125或110或140时，ABC是等腰三角形.【例 5】（20072007 福建晋江中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）（）DC平分BDE;BC长为（2 2）a;厶BCD是等腰三角形；厶CED的周长等于BC的长.A A.1 1 个;B B. 2 2 个;C C. 3 3 个;D D. 4 4 个【解析】由图可知厶ABD也ZfeBD,AD=DE=a,DBE=45.又IC=ABC=45,

7、DC =、2a,BC=2AC=. 2 a 2a=（ .22）a=CED的周长.又VCDE也DE, DC E 45, DBE BDC 22.5.BC C D,ABCD是等腰三角形.故正确.【例 6】如图，AB AC,BD,CD分别平分ABC,ACB.问：图中有几个等腰三角形？过D点作EF/BC,如图，交AB于E,交AC于F,图中又增加了几个等腰三角 形？如图，若将题中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角 形？线段EF与BE、CF有什么关系？如图，BD平分ABC,CD平分外角ACG.DE/BC交AB于E，交AC于F.线 段EF与BE、CF有什么关系？如图，BD、CD为外角CB

8、M、BCN的平分线，DE/BC交AB延长线于E，交AC延长线于F，线段EF与BE、CF有什么关系？【解析】图中有两个等腰三角形：ABC、BCD图中又增加了三个等腰三角形：AEF、BED、CFD图中有两个等腰三角形：BED、CFD,由于ED BE,DF CF,EF ED FD BE CF，故EF BE CF图所示中仍有两个等腰三角形BED、CDF从而DE BE,CF DF，又EF ED DF BE CF，故EF BE CF如图所示与类似，EF BE CF板块二、等腰三角形的性质【例 7】（20082008 乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）（）A A.9cmB

9、 .12cmC .15cmD .12cm或15cm【解析】C【例 8】已知等腰三角形的周长为24cm，一腰长是底边长的2倍，则腰长是（）A A.4.8cmB B.9.6cmC C.2.4cmD D.1.2cm【解析】B B【例 9】（20082008 沈阳）若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（） A A.50B .80C.65或50D.50或80【解析】D【巩固】（20072007 重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）（）A A.20B B.120C C.20或120D D.36【解析】当等腰三角形的顶角为钝角时，内

10、角的度数之比为1:4:4，此时顶角为20；当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4，此时顶角为120.故选C.【例 10】（20072007 四川自贡中考）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为（）（）A A.32.5B B.57.5C C.65或57.5D D.32.5或57.5【解析】C C【例 11】（20062006 自贡）从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行 四边形的周长等于三角形的（）（）A A.两腰长的和B.周长一半C.周长D. 腰长与底边长的和【解析】A A【例 12】（20002000 年常州市中考题）已知等腰三角形一

11、腰上的中线将它们的周长分为9 9 和 1212 两部分,求腰长和底长.【巩固】等腰三角形的周长是 5050, 一腰上的中线分得两个三角形的周长是3232 和 2222,求腰长.【解析】设这个三角形的腰长为x，底长为y，腰上的中线为（32 22）-50 2 2，2x y 502x y 50根据题意可得：x或x，解得x 20或13-y 22 2y 32 2322【例 13】（0505 年青岛中考题）已知等腰三角形的周长为 1212,腰长为x，求x的取值范围.【解析】x x 12 2x，且12 2x 0,解得3 x 6【例 14】已知等腰三角形的周长为 1616,三边长为整数，求底边长.【解析】设腰

12、长为x，则4 x 8，则x 5,6,7,底边分别为 6 6, 4 4, 2 2 【巩固】已知等腰三角形的周长为2020,三边长为整数，求底边长.【解析】设腰长为x,x x 20 2x，且20 2x 0,解得5 x 10，则腰长为& & 7 7、& & 9 9,对应的底边长为 8 8、& & 4 4、2 2【解设这个三角形的腰长为而 8 8， 8 8， 5 5 和 6 6，6 6,xx，底长为y，则2x29 9 均能组成等腰三角形.x2x2注意等腰三角形中的分类讨论.12， 解得99， 解得12【例 15】等腰三角形中一角是另一角的 2 2 倍，求

13、各内角的度数.(1)(1)若底角是顶角的 2 2 倍，设顶角为，则22三角形三内角依次是72,72,36.(2)(2)若顶角是一底角的 2 2 倍，设底角为，则三角形三内角依次是45，45，90.已知BD是等腰ABC腰上的高，且ABD 50，求ABC三个内角的度数.A为顶角时，三内角大小为 140140, 2020, 2020;A为底角时， 三内角大小为100100, 4040, 4040;A为顶角，三内角大小为BD ED EA.求A.BDC 3x,DBC 3x 2x1807)1设A x，贝U ADE 180 2x,EDB x,213180 x1BDC 180(1802x) x x,ACB90

14、 x,22 2 231在DBC中，-x 90 x,解得x 4522(2000(2000 年威海市中考试题) )等腰三角形的顶角90，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求.由题意，画出图形如图所示，这里BAC 90,ABD和ADC都是等腰三角形AB AC,AD CD,AB BD,二B C DAC,BDA BAD 2 C设C x，贝U DAC B x,BAD 2xABC中，BAC B C 180 x x 3x 180,x 36, .I3x 108ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BAC DAE 150，求根据题意可得：B BAD,C CAE【解析】【例16

15、】【例17】【解析】【巩固】【解析】【例18】【例19】【解析】【例20】180，36，2722180，45，290，若ABC为钝角三角形时，若ABC为钝角三角形时，若ABC为锐角三角形时，在ABC中，AB AC,BC设A x，则在BDC中，在ABC中，BED 2x，可得x 3x 3x 180，：x (4040，7070，7070.AB AC,BC BD,AD ED EB.求BAC.贝U BAC BAD CAE DAE B C DAE即BAC 180oBAC 150oBAC，解得( (河南省数学竞赛) )如图，在ABC中，B由题设B C,ADE AED，及三角形外角定理, 即EDC C AED

16、,有DAE 1802 AED180 2 EDC 2 C而1802 C 50 DAE2 C 50(1802 EDC 2 C)故2 EDC 50，即EDC 25【例 21】(2001(2001 年龙岩市、宁德市中考试题) )如图所示，已知ABC中，D、E为BC边上的点，且AD AE，BD EC，求证：AB AC.【解析】作AF DE于F， AD AE，二DF EF又BD EC，二BF FC，二AB AC考察垂直平分线的性质.【例 22】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AE BD，连接CE,DE， 求证：CDE为等腰三角形.【解析】延长BD到F，使得DF BC，连接EF.T

17、ABC为等边三角形，o_B 60 , AB BC.又TAE BD,BE AB AE BC BD FD BD FB. BEF为等边三角形.B F 60, BE FE.BEC也FED，CE DE.【例 23】如图，在ABC中，B，C为锐角，M,N,D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AM AN，BDDC，且BDM CDN.求证：AB AC.【解析】分析若BDM 也 CDN，则问题迎刃而解.直接证明困难，可考虑反证法.解若DM DN，则在DM上取一点E，使DN DE，连接BE交AC于F，连接EN.在BED与CND中,BD DC，BDE CDN，DE DN，故BDE 也 CDN. 于是有EBD NC

18、D，BENC.所以FB FC，从而些些，故EN II BC.FB FC从而有ENFACB.BAC 110C,D在BC上,BAD 50，在AC上取一点E，使得ADE AED，求EDC的度数.但另一方面，由于DM DN，知ABCFBCACB，所以1ANM -(180BAC)21-(ABC21ACB) -( ACBACB)ACB.2从而ENFMNA ACB.矛盾.故假设不成立.若DMDN，同法可证假设不成立.综上所述DM DN，于是由BDM 也 CDN知DBM DCN，从而AB AC. 说明：在某些平面几何问题的证明中，反证法也是常用的方法.簸家家庭作业）【习题 1 1】（20072007 双柏中考）等腰三角形的两边长分别为 4 4 和 9 9,则第三边长为 _【解析】当腰长为 9 9 时，三边长为 4 4、9 9、9 9；当腰长为 4 4 时，三边长为 4 4、4 4、9 9 ,不符合三角形的三边关系，故腰长为 9 9.【习题 2 2】（ 19971997 年北京市竞赛题）等腰三角形一腰上的中线把