第二章 平面力系

1、2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系2.6 2.6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算2.2 2.2 平面力平面力对点之对点之矩、平面力偶矩、平面力偶2.5 2.5 物体系的平衡、静定和超静定问题物体系的平衡、静定和超静定问题第第二二章章 平面力系平面力系2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡条件和平衡方程力系的平衡条件和平衡方程 按照力系中各力的作用线是否在同一平按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分，力系可分为：面来分，力系可分为：平面力系和空间力系平面力系和空间力系汇交力系、平行力系和任意力系汇交力系、平行力系和任意

2、力系 按照力系中各力的作用线是否相交、平按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分，力系可分为：行来分，力系可分为： 平面汇交力系：平面汇交力系：各力的作用线都在同一各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。平面内且汇交于一点的力系。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 力多边形力多边形可任意变换各分力矢的次序可任意变换各分力矢的次序已知：平面汇交力系已知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4 求：合力求：合力 FRFR2=FR1+F3FR1=F1+F2=F1+F2+F3=F1+F2+F3+F4FR=FR2+F4作力多边形时，不必

3、画出作力多边形时，不必画出 FR1.FR2F3F2F1F4F4F1F2F3F1F2F3F4FRFRFRFR1FR2结论结论:平面汇交力系可简化为一合力平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向其合力的大小与方向等于各分力的矢量和等于各分力的矢量和(几何和几何和),合力的作用线通过汇交点。合力的作用线通过汇交点。 特殊情况：特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线此力系称为共线力系。它力系。它是平面汇交力系的特殊情况，该是平面汇交力系的特殊情况，该力系合力的大小与方向决定于各分力的力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和代数和，即，即

4、2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系nii1FniiRFF1nRFFFF21推广推广:设平面汇交力系包含设平面汇交力系包含n个力个力,以以FR表示合力矢，则有表示合力矢，则有 二、平面汇交力系平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即该力系的合力等于零。即 在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。 于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：于是，平面汇交力系平衡

5、的必要和充分条件是：该力系该力系的力多边形自行封闭，的力多边形自行封闭，这是这是平衡的几何条件。平衡的几何条件。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系01niiF 例：门式刚架，在例：门式刚架，在B点受一水平力点受一水平力F=20kN，不计刚架，不计刚架自重。求支座自重。求支座 A、D 的约束力。的约束力。解：解： 1.取刚架为研究对象取刚架为研究对象 2.画受力图画受力图 3.作自行封闭的力三角形作自行封闭的力三角形 4.由几何关系由几何关系得得 120tan2010kN 22.4kN2cos2/5DAFFFF 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系abFDFtan =1 245 例例

6、PFCFB45 FAFC45 P45 FBFC三铰刚架受力如图示三铰刚架受力如图示 求求: :A, B , C处的处的约束力约束力解解: :（1 1）以）以AC为研究对象为研究对象, , 画受力图画受力图(2) (2) 以以CB为研究对象为研究对象, , 画受力图，画受力图， FA= FC= 0.707PABCPaaaBC AC所以所以 FB = FC = Pcos45o = 0.707P 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系（3）画力多边形）画力多边形又：又：NcosFF)2(1)(cos22hRhRRhRRN(2)F RFhRh解：解：研究物块研究物块, ,受力如图，受力如图，解力三角

7、形：解力三角形： 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系 例例 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h再研究球，受力如图：再研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：NsinPFRhR sin又NNFF Nsin(2)F RRhPFRhRh)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2( 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系FNB= 0时为时为球离开地面球离开地面三三、1 1、力在轴上的投影、力在轴上的投影cosxFF力在轴上的力在轴上的投影为投影为代数量代数量 2.1 2.1 平面汇交力平面

8、汇交力系系FxABabxF定义式定义式与与式中式中为为Fx轴正向所夹的角度。轴正向所夹的角度。xyFsinxFF cosyFF 通常通常直接观察得出投影的正直接观察得出投影的正负负，再用力与某个坐标轴所夹的再用力与某个坐标轴所夹的锐角求出投影的绝对值。锐角求出投影的绝对值。2 2、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 coscosFFFFyx力在轴上的投影力在轴上的投影:Fx和Fy为为代数量代数量 称为称为力的解析表达式力的解析表达式 22yxFFF 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系jiFyxFFjFiFyyxxFF如已知投影如已知投影Fx和和F

9、y，则力，则力F的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为力力F沿轴分解沿轴分解:Fx和和Fy 为为矢量矢量 FFFFyx),cos(),cos(jFiF四四、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法根据合矢量投影定理根据合矢量投影定理 RxFRyF22RyRxRFFFRRxRFF),cos(iFRRyRFF),cos(jF由上节知：由上节知：nxxxFFF21niixF1nyyyFFF21niiyF122)()(iyixFFRixFFRiyFF 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系求合力求合力FR。nRFFFF21nii1F已知：已知：F1，F2，F3，Fn。FR例：例：F1=200N

10、，F2=300N，F3=100N，F4=250N，用解析法求合力。，用解析法求合力。 取坐标系取坐标系Axy。 45cos4F41iixRxFF129.3N41iiyRyFF45sin4F112.3N22RyRxRFFF22129.3112.3171.3N22)()(iyixFFRxRyFFarctan112.3arctan129.3 41象限）第(合力方向合力方向:合力大小合力大小: : 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系解：解：30cos1F60cos2F45cos3F30sin1F60sin2F45sin3FFR五、五、平面汇交力系平衡的解析法平面汇交力系平衡的解析法该力系平衡的必

11、要和充分条件是该力系平衡的必要和充分条件是:0)()(22iyixRFFF欲使上式成立，必须同时满足欲使上式成立，必须同时满足 00iyixFF平面汇交力系平衡的必要和平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件充分的解析条件是：是： 称为平面汇交力系的平衡方程。称为平面汇交力系的平衡方程。 0ixF 0iyF 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系该力系的合力该力系的合力FR 等于零。等于零。共共2个独立方程，可求个独立方程，可求2个未知量。个未知量。称为称为已知：已知： , ,各杆自重不计；各杆自重不计；求：

12、求： 杆及铰链杆及铰链 的受力的受力. .例例2-12-1CDAkN10,FCBAC按比例量得按比例量得 kN4.22,kN3.28ACFF作自行封闭的力三角形作自行封闭的力三角形。 为二力杆，取为二力杆，取 杆为研究对象，杆为研究对象，画画受力图受力图。CDAB解：解： （1 1）用图解法）用图解法kN4 .22,kN3 .28ACFF 为二力杆，取为二力杆，取 杆为研究对象，杆为研究对象，画画受力图。受力图。CDAB解：解： （2 2）用解析法）用解析法1tan21sin52cos50,coscos4500,sinsin450 xACyACFFFFFFF将将 代入，联立解得代入，联立解得

13、10F kNxy 例：如图所示，重物例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆上。杆AB与与BC铰接，并铰接，并以铰链以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系1.取滑轮取滑轮B为研究对象为研究对象 2.画研究对象的受力图画研究对象的受力图3.列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF4.解方程解方程kN321. 73

14、66. 0PFBAkN32.27366. 1PFBC FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆即杆BC受压。受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆方向相反，即杆AB也受压力。也受压力。BAF30sin1F60sin2F0BCF30cos1F60cos2F0kN2021PFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解： 例：如图所示的压榨机中，杆例：如图所示的压榨机中，杆AB和和BC的长度相等，自的长度相等，自重不计。重不计。A、B、C处为铰链连接

15、。已知活塞处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸上受到油缸内的总压力为内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块。试求压块C对工件与地面的压力，以及对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。杆所受的力。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系解：解： 0 xF 0yFsin2FFFBCBA解得解得再取压块再取压块C为研究对象为研究对象 0 xF 0yF解得解得cot2sin2cosFFFCxsinCBCyFF先取活塞杆先取活塞杆DB为研究对象为研究对象 cosBAFcosBCF0sinBAFsinBCFF0kN35.11CxFcosCBF0sinCBFCyF0kN25.11

16、2hFlkN5 . 12F 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系PABC303030FTFABFBCFB303030 作业作业 已知：已知：P =20 =20 kN ，不计杆，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与与BC所受的力。所受的力。解：解： 以滑轮为研究对象以滑轮为研究对象 画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解0,xF 030sin30cosTBCBAFFF 0,yF sin30cos300BCTFFF 其中其中 PFFTAB54.64kNFBC74.64kNF 解得解得 （压）（压） （拉）（拉） 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系xy0coscos4

17、50ACDRS045sinsin0CDASRP 例例 已知已知 P=2=2kN ，求求CD所受的力和所受的力和A处的处的约束力约束力。0.41tan1.23EBAB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR；解：解：以以AB杆为研究对象杆为研究对象画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系0 xF 0yF DFNA例例 已知如图已知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 =？ 地面的反力地面的反力FND=？解：解：研究球，受力如图研究球，受力如图.PQPQ-FQFD360sin2sin-02T

18、N由得由得060212cos2T1TPPFF由得由得0 xF0cos1T2TFF0yF0sinN2TDFQF列平衡方程为列平衡方程为 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系Q1TF2TFxyPFPF2;T2T1而而1 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。殊时用几何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个有一个未知数，并及时求出。未知数，并及时求出。 2 2、一般对于受多个力作用的物

19、体，都用解析法。、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。 2.1 2.1 平面汇交力平面汇交力系系5 5、解析法解题时，力的方向可以、解析法解题时，力的方向可以任意假设任意假设，如果求，如果求出出为负，为负，说明说明力实际方向力实际方向与假设相反。对于二力与假设相反。对于二力构件，构件，一般一般先设先设为受拉，为受拉，如果求如果求出为负，出为负，说明物体受说明物体受压。压。4 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩） 距离距离h:

20、力臂力臂 力对点之力对点之矩是衡量力使刚体矩是衡量力使刚体绕某一点转动效应的物理量。绕某一点转动效应的物理量。 点点O：矩心矩心 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩） 点点O：矩心矩心 距离距离h:力臂力臂 力对点之矩是一个代数量，力对点之矩是一个代数量， 显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。对矩心的力矩等于零。 力矩的单位常用力矩的单位常用 Nm 或或 kNm 。 它的绝对值等于力的大小与力它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，臂的

21、乘积， 其正负按下法确定：其正负按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 OABOSFhM2)(F力力F 对于点对于点O的矩以的矩以MO(F )表示，即表示，即二、合力矩定理与力矩的解析表达式二、合力矩定理与力矩的解析表达式 1 1、合、合力矩定理：力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 上式适用于任何有合力存在的力系。上式适用于任何有合力存在的力系。niiOROMM1)()(FF 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩

22、的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算2、力矩、力矩的解析表达式的解析表达式 cossinyFxF或或上式为平面内力对点的矩的解析表达式。上式为平面内力对点的矩的解析表达式。 )()()(xOyOOMMMFFFxyOyFxFM)(F()ORMF力力F 对坐标原点对坐标原点O之矩之矩 合力合力FR对坐标原点之矩的解析表达式对坐标原点之矩的解析表达式 已知力已知力F，作用点，作用点A（x,y）及夹角）及夹角。 1()niyiixiix Fy F 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算求力矩的方法：求力矩的方法：或或注意：注意：1、当力沿其作用线滑移时

23、，力对点之矩不变。、当力沿其作用线滑移时，力对点之矩不变。)()()(xOyOOMMMFFF（2）当力臂不明显时，用合力矩定理。）当力臂不明显时，用合力矩定理。（1）当力臂明显时，用定义式。）当力臂明显时，用定义式。 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算()OMFh F 2、当力的作用线通过矩心时，力对点之矩为零。、当力的作用线通过矩心时，力对点之矩为零。baPKxPyP ( )KKxKyMPMPMP例：求力例：求力 对对K点之矩。点之矩。PsincosPaPb点之矩对力求：OFabFobFaFcossinFxFyxyF aF b ( )OOxOyM

24、FMFMF 例：作用于齿轮的啮合力例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆，节圆直径直径D=160mm，压力角，压力角=20。求啮合力。求啮合力Fn对对于轮心于轮心O之矩。之矩。 （1）应用力矩计算公式）应用力矩计算公式解：解：mN20cos216. 01000mN2 .75ncos2DF （2）应用合力矩定理）应用合力矩定理 tncosFFrnsinFFn(cos)02DF mN2 .75hnn()OMFF h ntr()()()OOOMMMFFF 2.2 2.2 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算 2.2 2.2 平面力偶平面力偶一、力偶与力偶矩一、力偶与

25、力偶矩 力偶：力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。的力系。d 称为称为力偶臂力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶所在的平面称为力偶的作用面。 记作（记作（F，F） 三、力偶和力偶矩三、力偶和力偶矩力偶力偶FF, 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作系称为力偶，记作 （1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素此，力和力偶是静力学的两个基本要素 。 （2）力偶对

26、作用面内任一点的矩）力偶对作用面内任一点的矩，都等于力偶矩本身，与矩心，都等于力偶矩本身，与矩心的位置的位置无关。无关。 ()F xdF xFd力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。 FdM力偶矩的单位：力偶矩的单位：Nm。 简记为简记为M。ABCA 2力偶对点力偶对点O的矩为的矩为Mo（F，F）,则则ooo(,)()()MMMF FFF记为记为M（F，F） 2.2 2.2 平面力偶平面力偶 且且与与（Fo,Fo）

27、等效。等效。 F1,F1 是一对平衡力是一对平衡力可以除去，可以除去， 显然，显然，F1，F1，F2，F2与与（Fo,Fo）等效。等效。 分别将分别将Fo，Fo移到点移到点A，B。然后分解。然后分解。证明证明:（Fo,Fo）与与（F,F）等效等效二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。则两力偶彼此等效。 证明：证明： F2,F2组成一新力偶，组成一新力偶，已知：已知：M（Fo,Fo）=M（F,F）oo(,)2MACB F FADBFFM-2),(22 2.2 2.2 平面力偶

28、平面力偶由图可见由图可见: ACB和和ADB同底等高，面积相同底等高，面积相等，于是得等，于是得 由假设知由假设知 因此有因此有于是得于是得 可见力偶可见力偶（F2,F2）与与（F,F）完全相等。完全相等。 所以力偶所以力偶（F，F）与与（Fo，Fo）等效。等效。 又因为力偶又因为力偶（F2,F2 ）与与（Fo,Fo）等效，等效， （F2,F2）和（）和（F,F）有）有相等的力偶臂相等的力偶臂d和相同的转向和相同的转向 。oo(,)(,)MMF FF F22,FFFF),(),(2200FFMFFM),(),(022FFMFFM 2.2 2.2 平面力偶平面力偶由此可得推论由此可得推论 （1）

29、任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改）任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。作用面内的位置无关。 （2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。对刚体的作用。 2.2 2.2 平面力偶平面力偶即即：力偶矩是平面力偶作用效果的唯一度量。：力偶矩是平面力偶作用效果的唯一度量。力偶的表力偶的表示方法：示方法：三、平

30、面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件 1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 d1dd2dA A BB111dFM 222dFMdFM31dFM4243FFF34FFF=FdM dFF)(43dFdF4321MM F1F1F3F3F2F2F4F4FF由于由于F= -F，构成了与原力偶系等效的合力偶（，构成了与原力偶系等效的合力偶（F，F）,以以M表示合力偶的矩，得表示合力偶的矩，得 2.2 2.2 平面力偶平面力偶niiMM12.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件01niiM平面力偶系的平衡方程。平面力偶系的平衡方程。如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。如果有

31、两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。力偶矩的代数和等于零。 2.2 2.2 平面力偶平面力偶平面平面力偶系力偶系只有一只有一个独立方程，可求一个未知量。个独立方程，可求一个未知量。 例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的

32、例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的大小为大小为 M1=M2=M3=M4=15Nm。固定螺柱固定螺柱A和和B的距离的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。 选工件为研究对象。选工件为研究对象。 由力偶系的平衡条件知由力偶系的平衡条件知 0MBAFF lFA4321MMMM0lMMMM43212 . 0154N300解：解：FAFB 2.2 2.2 平面力偶平面力偶例：机构自重不计。圆轮上的销子例：机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆放在摇杆BC上的光滑上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为其力偶矩为 M1=2kNm

33、，OA= r =0.5m。图示位置时。图示位置时OA与与OB垂直，垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇且系统平衡。求作用于摇杆杆BC上力偶的矩上力偶的矩M2及铰及铰链链O，B处的约束力。处的约束力。 2.2 2.2 平面力偶平面力偶先取圆轮为研究对象先取圆轮为研究对象 0M0sin1rFMAsin1rMFA解得解得 再取摇杆再取摇杆BC为研究对象为研究对象 0M20sinArMF其中其中FA=FA。得。得 mkN8412 MMkN85 . 0m5 . 0mkN2sin1rMFFFABOkN85 . 0m5 . 0mkN2解：解： 2.2 2.2 平面力偶平面力偶补充补充：1.在图示机构中，各构

34、件的自重略去不计。在构件在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A和和C的的约束力。约束力。FCFA解：解： 研究整体研究整体 BC为二力构件，由力偶为二力构件，由力偶必须用力偶来平衡，得必须用力偶来平衡，得 ACFF 0,2 20iAMFaM2 2ACMFFa2.在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件BC上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A的约束力。的约束力。2.3 2.3 平面任意平面任意力系力系的简化的简化一、力的平移定理一、力的平移定理 =力偶力

35、偶称为附加力偶称为附加力偶附加力偶的矩为：附加力偶的矩为：BdMFF FFF(,) F F)(FBMFdM定理：定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一平行移到任一点点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。 二、平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向作用面内一点简化 OM1M2MnMO=点点O- 称为称为简化中心简化中心 （i =1，2，n） 平面任意力系平面任意力系 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 一个力偶一个力偶MO(力系的主矩

36、）力系的主矩）一个力一个力FR(力系的主矢）力系的主矢） 刚体上作用有刚体上作用有n个力个力F1，F2，Fn组成的平面任意力系。组成的平面任意力系。 F2FRFnF1FnF2F1iiFF )(iOiMMF2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化21nRFFFF2.力系力系对于简化中心对于简化中心O的主矩的主矩 Mo:12onMMMM即即主矩主矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对简化中心简化中心O的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。 nii1F即即主矢主矢FR等于原来各力的矢量和。主矢与简化

37、中心无关。等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。1()noiiMF1.力系的主矢力系的主矢FR：2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化12RxxxnxFFFF 12RyyynyFFFF 22()()RixiyFFF 力系对点力系对点O的主矩的解析表达式为的主矩的解析表达式为ixFiyFniixiixiFyFx1)(1()nooiiMMF于是主矢于是主矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为取坐标系取坐标系 Oxy，i，j 为沿为沿 x，y 轴的单位矢量，则轴的单位矢量，则cos(, )ixRRFFFicos(, )iyRRFFFj2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力

38、系的简化固定端（插入端支座固定端（插入端支座）：一个物体的一端完全固定在）：一个物体的一端完全固定在另一个物体上。另一个物体上。2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化平面固定端约束平面固定端约束三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况。种情况。1.平面任意力系简化为一个合力偶的情况平面任意力系简化为一个合力偶的情况则原力系合成为合力偶。合力偶矩为则原力系合成为合力偶。合力偶矩为当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。当力系合成为一个合力偶时，主矩与简

39、化中心的选择无关。（2）FR0，Mo=0；（1）FR=0，Mo0；（3）FR0，Mo0； （4）FR= 0，Mo=0。FR=0，Mo0；niiOOFMM1)(2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化合力矢等于主矢。合力矢等于主矢。 2.平面任意力系简化为一个合力的情况平面任意力系简化为一个合力的情况 （a）主矩等于零，主矢不等于零，即）主矩等于零，主矢不等于零，即（b）主矢和主矩都不等于零，即）主矢和主矩都不等于零，即d=oRMF dFR0，Mo=0； FR就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简化中心化中心O。 FR0，Mo0；RR

40、R FFF力力FR就是原力系的合力。就是原力系的合力。 FRFR2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化合力作用线到点合力作用线到点O的距离的距离d为：为： oRMdF（c）合力矩定理）合力矩定理 而而 所以得证所以得证 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。一点的矩的代数和。.平面任意力系平衡的情况平面任意力系平衡的情况 原力系平衡原力系平衡 。下节详细讨论。下节详细讨论。ORROMdFM)(F证明证明：合力：合力FR对点对点O的矩为的矩为)(iOOMMF)()(iOROMMFFFR=0，

41、Mo=0。这就是合力矩定理。这就是合力矩定理。2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化 例：已知：例：已知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求。求力系向点力系向点O简化的结果，合力与简化的结果，合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x。 解：解：7 .16arctanCBABACB主矢在主矢在x，y轴上的投影为轴上的投影为 12cos232.9kNRxixFFFF 122sin670.1kNRyiyFFPPF （1）先将力系向点）先将力系向点O简化简化主矢的大小和方向余弦为主矢的大小和方向余弦为 22()()709.4kNRxyFFF c

42、os(, )0.3283cos(, )0.9446RyRxRRRRFFFF F iFj2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化力系对点力系对点O的主矩为的主矩为其作用线位置的其作用线位置的x值为值为m514. 384.70sin104 .70910235584.70sin33ROFMxmkN2355（2）合力）合力FR的大小和方向与主矢的大小和方向与主矢FR相同。相同。(, )160.84R Fj(, )70.84R Fi2119 . 35 . 13)(PPFMMOOFd2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化例例3-1 3-1 已知已知F1=150N，F2=200N

43、,F3=300N ,F= F =200N 。求力系向点求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点点O的距离。的距离。100200解：解：12312cos45105437.6 NxFFFF 12331sin45105161.6 NyFFFF xyO80FF13F211F1F312ji437.6161.6RFij 2.3 2.3 平面任意平面任意力系的简化力系的简化得力系向点得力系向点O的简化结果如图（的简化结果如图（b);b);MOOxy(b)(c)Oxy2222()()( 437.6)( 161.6)466.5NxyRFFF RR466.5NFF

44、合力及其与原点合力及其与原点O的距离如的距离如图图(c) (c) 。o21.44 N mM ORd45.96mmMFd100200 xyO80FF13F211F1F312jioo1 3( )sin450.110.20.0821.44 N m5MMFFFF FRFR q(x)dxF例例3-2 3-2 水平梁水平梁AB受按三角形分布受按三角形分布的的载载荷作用荷作用，如图示。，如图示。载荷的最大值为载荷的最大值为q，梁长，梁长l，求合力作用线的位置。，求合力作用线的位置。ABlq 解：解：在在梁上距梁上距A端为端为 x 处的载荷集度为处的载荷集度为 q( (x) = ) = qx/l。在此处。在此

45、处取一取一微段微段dx，梁在微段，梁在微段dx 受的力近似为受的力近似为 F( (x) = ) = qxdx/l。梁由梁由 x=0 到到 x=l 的分布载荷合力为的分布载荷合力为00( )2llxqlFq x dxq dxl设合力作用线到设合力作用线到A端的距离为端的距离为 xC ，根据合力矩定理根据合力矩定理22012d323lCqxqlqlxxllFxdxc0q( )lF xx xdxxc如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即 显然显然 MO=0 汇交力系为平衡力系；汇交力系为平衡力系； 力偶系也是平衡力系。力偶系也是平衡力系。 因此，主矢和主矩都

46、等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件充分条件。原力系必为平衡力系。原力系必为平衡力系。 若若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力或合力偶，原力系不平衡。或合力偶，原力系不平衡。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件必要条件。 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。FR=0，MO=0 FR=02.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡2-4 平面任意力系

47、平面任意力系 的平衡条件和平衡方程的平衡条件和平衡方程平衡条件用解析式表示为：平衡条件用解析式表示为： 上式称为平面任意力系的上式称为平面任意力系的平衡方程平衡方程。 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。 平面任意力系平衡的必要和平面任意力系平衡的必要和充分的解析条件充分的解析条件是：是： 0iyF 0ixF 0)(FOM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡有有3个独立方程，个独立方程，可求可求3个未知量。个未知量。 投影式

48、投影式 力矩力矩式式 O：矩心矩心 x、y：投影轴：投影轴 二矩式二矩式的平衡方程的平衡方程 三矩式三矩式的平衡方程的平衡方程 1、平衡方程、平衡方程的其它形式：的其它形式： 0 xF其中其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A，B两两点的连线。点的连线。其中其中A，B，C三点不得共线。三点不得共线。 0)(FAM 0)(FBM 0)(FCM 0)(FAM 0)(FBM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡讨论：讨论：2、平面任意力系只有、平面任意力系只有3个独立的平衡方程，可解个独立的平衡方程，可解3个未个未知量。知量。2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡3、提倡的解题

49、方法：、提倡的解题方法： 通过力矩方程矩心的选择和投影方程投影轴的选择，通过力矩方程矩心的选择和投影方程投影轴的选择，尽量尽量做到一个方程中只含一个未知量，并及时解出，使做到一个方程中只含一个未知量，并及时解出，使成已知，这样逐个地、不联立地求出全部未知量。成已知，这样逐个地、不联立地求出全部未知量。 具体方法：具体方法： （1） 矩心选在多个未知力作用线的交点；矩心选在多个未知力作用线的交点； （2）投影轴尽量与多个未知力相垂直；投影轴尽量与多个未知力相垂直； （3）力偶在轴上的投影为零，故在投影式中不出现，力偶在轴上的投影为零，故在投影式中不出现，只在力矩式中出现，且力偶对作用面内任一点之

50、矩等于只在力矩式中出现，且力偶对作用面内任一点之矩等于力偶矩本身。力偶矩本身。4、解题步骤、解题步骤2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡（1）根据题意，选取合适的研究对象；根据题意，选取合适的研究对象；（2）画研究对象的受力图；画研究对象的受力图；（3）列方程，求解。列方程，求解。 注意：注意：a、方程的依据必须要写，如、方程的依据必须要写，如 。 b、方程、方程是根据是根据受力图中的力、角度等符号一一受力图中的力、角度等符号一一 对应列出的。对应列出的。 0)(FAM必须要画必须要画受力图且式受力图且式中的符号图上都应有。中的符号图上都应有。平面平行力系的平衡方程，也可用两个

51、力矩方程的形式，平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即即平面平行力系平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。是平面任意力系的一种特殊情形。 0yF如选取如选取x轴与各力垂直，则轴与各力垂直，则 0 xF于是，平面平行力系的独立平于是，平面平行力系的独立平衡方程只有两个，即衡方程只有两个，即注意：注意：点点A、B的连线不能与力平行。的连线不能与力平行。设物体受平面平行力系设物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。的作用。 0)(FOM 0)(FBM 0)(FAM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡例例2-92-9 0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMP

52、aqa a3142BFPqa20AyBFqaPF342AyPFqa已知：已知： 。qaMaqP,求：求： 支座支座 处的约束力处的约束力. .BA, 取取 梁，画受力图梁，画受力图. .AB解：解： 例：已知小车重例：已知小车重P=10kN，绳与斜面平行，绳与斜面平行，=30， a =0.75m，b=0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。 取小车为研究对象。取小车为研究对象。 0 xF 0yF30sin10sinPFTabaPFB2sincosBAFPFcos0sinPFT0cosPFFBA2cossin0BFaPaPbkN

53、5kN33. 575. 0230sin3 . 030cos75. 01033. 530cos10kN33. 3解：解： 0)(FOM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡 例：起重机重例：起重机重P1=10kN，可绕铅直轴，可绕铅直轴AB转动；起重机的转动；起重机的挂钩上挂一重为挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的重心的重物。起重机的重心C到转轴到转轴的距离为的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴和轴承承B处的约束力。处的约束力。 2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究

54、对象。 0 xF 0yF05 . 35 . 1521PPFBkN5021PPFAykN317 . 03 . 021PPFBkN31BAxFF021PPFAy0BAxFF 0)(FAM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡kN122028 . 01628 . 020 例：例：在水平双伸梁上作用有集中力在水平双伸梁上作用有集中力F、矩为、矩为M的力偶和集度为的力偶和集度为q的均布载荷。如已知的均布载荷。如已知F=20kN，M=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m。求支座求支座A、B的约束力。的约束力。 解：解：取梁为研究对象。取梁为研究对象。 0 xF 0yFFaMqaFB22

55、kN24BAyFqaFF022aFMqaaaFB0FqaFFBAy0AxF 0)(FAM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡0,30yAyBFFFFq求图示简支梁的支座约束力。求图示简支梁的支座约束力。q=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB解：研究梁解：研究梁AB0,61.534.50ABMFFq30,64.5302BAyMFFq 15kNAyF29kNBF 0,0 xAxFF或由或由15kNAyF求出求出FAyFBFAx0,2430yAyFF求图示悬臂梁的支座约束力。求图示悬臂梁的支座约束力。解：研究梁解：研究梁AB0,242340AAMM5kNAyF4kN mA

56、M4m3kN2kN mABAMFAyFAx0,0 xAxFF试求出图示简支梁的支座约束力。试求出图示简支梁的支座约束力。解：研究梁解：研究梁ABAB0AM14BFqaBqAaaC2qa0,0yAyBFFFqa23202BFaqaaqa34AyFqaFAyFBFAx0,0 xAxFF例：自重为例：自重为P=100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于铅垂面内，载荷如图所示。其中载荷如图所示。其中M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，l =1m。试求固定端。试求固定端A的约束力。的约束力。 2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡解：解：取刚架为研究对象。取刚

57、架为研究对象。0yFkN303211lqF1cos30316.4kNAxFFFsin30300kNAyFPF 1sin303cos301188kN mAMMFlFllF 1sin303cos300AMMFlFllF 0 xF1cos300AxFFFsin300AyFPF 0)(FAM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡 例：塔式起重机如图所示。例：塔式起重机如图所示。机架重机架重P1=700kN作用线通过塔架作用线通过塔架的中心。最大起重量的中心。最大起重量P2=200kN，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间的间距为距为4m。平衡荷重。平衡荷重P3,到机身中到机

58、身中心线距离为心线距离为6m。保证起重机在。保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重衡荷重P3应为多少？应为多少？ 2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究对象。 （1）满载时：）满载时：010428213PFPPA)1028(41213PPPFA为使起重机不绕点为使起重机不绕点B翻倒翻倒,须须FA0 即即kN75)210(81123PPP（2）空载时：）空载时： 024413PFPB)42(4131PPFB为使起重机不绕点为使起重机不绕点A翻倒，须翻倒，须FB0，即，即kN3502113PPkN350kN

59、753 P所以起重机平衡荷重所以起重机平衡荷重P3应为：应为：6m12mP2P1FBFAP3( )0BMF 0)(FAM2.4 2.4 平面任意平面任意力系的平衡力系的平衡物体系：物体系：由几个物体组成的系统。由几个物体组成的系统。 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个平衡方因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个平衡方程。如物体系由程。如物体系由n个物体组成，则共有个物体组成，则共有3n个独立方程。如系统中有个独立方程。如系统中有物体受平面汇交力系或平面平行

60、力系作用时，则系统的平衡方程数物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应减少。目相应减少。静定和超静定（静不定）的概念静定和超静定（静不定）的概念超静定问题超静定问题:独立方程数目独立方程数目未知数数目未知数数目,由平衡方程无法求解。由平衡方程无法求解。静定问题静定问题:独立方程独立方程数目数目=未知数未知数数目数目,由平衡方程可解。由平衡方程可解。2.5 2.5 物体系的物体系的平衡平衡2-5 物体系物体系的的平衡、静定和超静定问题平衡、静定和超静定问题超静定超静定次数次数:未知数数目未知数数目独立方程数目。独立方程数目。2.5 2.5 物体系的物体系的平衡平衡2.5