等比数列求和公式及性质[1]

1、等差数列等比数列定义 通项公式等差（等比）中项下标和公式2abab1nnaqa前n项和snSn=1()2naan1(1)2nn nSnad？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq推导公式：推导公式：等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式解：解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23a1qn-1=a1+a1q + + + +作作减减法法23111111nna

2、 qa qa qa qa q1(1)1nnaqSq若：q1若：q=1,1nSnaSn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)na1 已知等比数列 的首项为a1,公比为q,求该等比数列的前n项和Sn。 na).1( ,1),1( ,111qqqaaqnaSnn于是).1( ,1) 1( ,11qqqaaqnaSnn时已知nqa, 1时已知naqa, 1等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式通项公式通项公式:an=a1qn-1等比数列的前n项和例题解解: 例例1（1） 求等比数列求等比数列 的前的前10项项的和的和.,81,41,211，10,21, 11nqa21121111010S

3、.5121023qqaSnn1)1 (1（2）已知等比数列）已知等比数列 a an n 中，中，a a1 1=2,q=3,=2,q=3,求求S S3 3263-13-12233）（）解（S例例6 五洲电扇厂去年实现利税五洲电扇厂去年实现利税300万元，万元，计划在计划在5年中每年比上年利税增长年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第问从今年起第5年的利税是多少？这年的利税是多少？这5年年的总利税是多少？（结果精确到万元）的总利税是多少？（结果精确到万元） 1解 每年的利税组成一个首项a300，公比q1 10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为:55561aa q300 (1 10%)300

4、 1.1483(万元)这5年的总利润为:552a (q1)1.11S300 1.12015(万元)q 11.1 1等比数列的前n项和例题等比数列的前n项和练习11. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.40913113117.266 S等比数列的前n项和练习2-32. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项

5、的和项的和. ,2, 11qa解：,21,231qa解：.1521)21 (144S.102321)21 (11010S.1008151023410SS从第从第5项到第项到第10项的和项的和: 3. 求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和. ,83,43,23.1283812112112377 S从第从第3项到第项到第7项的和项的和:.1281534912838143237S102、求数列、求数列1，x，x2，x3，xn，的的前前n项和。项和。1、等比数列、等比数列1，2，4，8，从第从第5 5项到项到第第1010项的和为项的和为S21212121410410SS21212

6、116465qqaS)1()1()1(22nnyxyxyx3、求和：、求和：1._2._3.:4.nnnnnaaanSa定义：为等比数列通项公式：推广：前 项和公式重要结论：若是等比数列1nnaa常数11nnaa qn mma q11(1)(1)1(1)naqqqna qnnakq（2）,mnpq若mnpqaaaa则（1）n mnmaaqn mnmaqaq求（3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 na23243,kkkkkkkS SS SSSSkqq （4）等比数列an的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列等比数列判定方法：等比数列判定方法：（1 1）定义法：）定义法：（2 2）递推公式

7、法：）递推公式法：（3 3）看通项法：）看通项法：（4 4）看前）看前n n项和法：项和法：1nnaa常数211nnnaaannakqnnSkkq练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么1aq23316181213121qaqaqa82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8316消消元元练习、求和练习、求和231(1)nnaaaaa 22111(2).()()()(0,1,1)nnxxxyyyxxy分析：解：（1）该数列为等比数列，记为an，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q1时,Sn=(1)1naaa（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习练习: :.S.60,48S,S)2(32的值求且项和前的是等比数列已知nnnnnSna思考：求和：.nnnS2164834221为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，nnnnna212 nn2121（提示：2.2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比意公比q q1.1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及n