三、非线性规划

1、Southeast UniversitySchool of Electrical EngineeringDr. TANG Y2022-4-2优化理论与技术数学模型及求解2目录C C非线性规划简介1局部最优与全局最优3实际应用(最优潮流)4C Co n t e n t s非线性规划1.非线性规划简介发展历史1951年H.W.库恩和A.W.塔克提出最优性条件(库恩塔克条件)50年代末到60年代末大量解非线性规划问题的有效的算法19世纪50年代可分离规划和二次规划的n种解法，以解线性规划的单纯形法为基础一般形式：1.非线性规划简介概念定义：非线性规划中，目标函数和约束条件至少有一个方程是决策变量的非

2、线性函数。（线性规划目标函数和约束条件都是线性函数。） Xfmin .,.,2 , 1 0 m;1,2,., 0. . ljXhiXgtsji12,TnnXx xxEjihgf,min( )xf xmin( )nx Rf x其中是定义在 nE上的实值函数。有约束问题无约束问题等式约束不等式约束例1 选址问题1.非线性规划简介举例1/3 设有n个市场，第j个市场位置为（pj,qj），它对某种货物的需求量为bj(j=1,2,n)。现计划建立m个仓库，第i个仓库的存储容量为ai(i=1,2,m). 试确定仓库的位置，使各仓库对市场的运输量与路程乘积之和最小。 1.非线性规划简介举例1/3每个仓库向各

3、市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量。每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量。运输量不能为负数。 221111()()mnmnijijijijijijijz dzxpyq解析设第i个仓库的位置为 ， 第 个仓库到第 j个市场的货物供应量为 ， 。则第 个仓库到第 j 个市场的距离为：(1,2,1,2,)ijzim jn22()()ijijijdxpyq( ,)iix y(1,2,)imii约束条件：目标函数：2211minmnijijijijzxpyq11,1,2,.,1,2,0,1,2,;1,2,nijijmijjiijza imstzbjnzim jn1.非线性规划简介举例1

4、/3数学模型： 一个半球形与圆柱形相接的构件，要求在构件体积一定的条件下，确定构件的尺寸使其表面最小。1.非线性规划简介举例2/3例2 构件的表面积问题1.非线性规划简介举例2/3设该圆柱体底面半径为 ，高为 ，则其表面积S为：设其体积为 ，有22211211122232Sxx xxxx x1x2x32011223Vxx x2112min32Sxx x321120122.30,0 xx xVstxx解析0V约束条件：目标函数：1.非线性规划简介举例3/3 把圆形木材加工成矩形横截面的木梁。要求木梁高度不超过H，横截面的惯性矩不小于W 。而且高度介于宽度与4倍宽度之间。问如何确定木梁尺寸可使木梁

5、成本最小。 例3 木梁设计问题注：惯性矩为微元面积与微元到某一指定轴线距离平方乘积的积分，矩形惯性矩最大为 ，b为宽，h为高。2221244xxSr21121212,4xH x xW xxxx1.非线性规划简介举例3/3设矩形横截面的高度为 ，宽度 ，则圆形木材的半径 。而木梁的长度无法改变，因此成本只与圆形木材的横截面积有关，故221222xxr解析1x2x目标函数：约束条件：1.非线性规划简介举例3/3解析数学模型：2212min44xx1212121212,.0,40,0.xHx xWstxxxxx x2.非线性规划数学模型一般非线性规划的可表示为式中 ，是n维向量。 都是 的映射（即自

6、变量是n维向量，因变量是实数的函数关系）12(,)Tnnxx xxR,(1,2,),(1,2,)ijf g im hjl1nRRmin( )f x( )0,1,2,.( )0,1,2, .ijg ximsth xjl2.非线性规划数学模型 与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解。若记 称 为可行域。因此，模型式有时可简记为 当一个非线性规划问题的自变量没有任何约束，或说可行域即整个n维向量空间： ，则称这样的问题为无约束非线性规划问题。nR|( )0,1,2,;( )0,1,2,ijx g xim h xjl min.f xx 无约束非线性规划问题数学模型的简化*2.非线性规划求解方法非

7、线性规划 一维优化方法约束最优化方法 黄金分割法切线法切线法 插值法斐波那契法 无约束优化方法解析法直接法梯度法牛顿法共轭梯度法变尺度法坐标轮换法模式搜索法旋转方向法单纯形加速法 拉格朗日乘子法制约函数法可行方向法近似型算法求解非线性规划的基本思路一维搜索（将在下一章节详细介绍）3.局部最优与全局最优v若线性规划问题有最优解，则其最优解必可在可行域的极点上达到。若只有惟一最优解，则必在极点上达到。但非线性规划的最优解却可能在可行域的任何一点。v线性规划的最优解一定是全局最优解；而非线性规划有全局最优解和局部最优解之分，一般的非线性规划算法往往求出的是局部最优解。最优解的性质图图3-1 3-1

8、线性规划的最优解线性规划的最优解图图3-2 3-2 非线性规划的最优解非线性规划的最优解若 ，且存在一个 ，对于 ，使得 成立。即 ，都有 ，则称 为非线性规划的一个局部最优解。若 ，且满足 ，即对 都有 ，则称 为非线性规划的全局最优解。3.局部最优与全局最优全局最优解:局部最优解:*x*min( )()f xf xx *()( )f xf x*x*x0*(, )xN x *x*min( )()f xf x*(, )xN x *()( )f xf x4.电力系统中的应用最优潮流v最优潮流(Optimal Power Flow, OPF)就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过对某些控制变量

9、的优选，所能找到的在满足所有指定约束条件，并使系统的某一个或多个性能指标达到最优时的潮流分布。多种目标函数 电力系统网损最小电力系统网损最小发电费用最小发电费用最小无功补偿经济效益最大无功补偿经济效益最大可进行有功优化、无功优化及有功无功混合优化计算什么是最优潮流？4.电力系统中的应用最优潮流等式约束11(cossin)0(cossin)0 NPiiijijijijijFijNQiiijijijijijFijP VV GBPQ VV GBQ功率平衡方程不等式约束(min)(max)(min)(max)(max)0GkGkGkGiGiGiLDLDPPPkSQQQPPkR发电、负荷容量约束：节点电

10、压约束：minmaxViViVi线路传输功率极限约束：minmaxijijijSSS4.电力系统中的应用最优潮流目标函数 发电成本为目标函数的最优潮流模型中，常用非线性二阶方程表示火电机组成本，即1()gnTkgkkFF Pk 式中：kFgkPgn2() kgkkkgkkgkF Pab Pc P机组k的燃料成本；机组k产生的有功功率；系统中发电机包括平衡发电机的个数，具体为4.电力系统中的应用最优潮流v 1968年由Dommel和Tinney提出，是能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个算法。v Sun D.I. 等人于1984年提出，得到了国内外学者高度评价，成为上世纪九十年代发展最优潮流程序时优先予以选用的算法之一。v 1984年，AT&T贝尔实验室数学家Karmaikar提出了内点法。现已广泛应用于电力系统最优潮流问题研究。最优潮流求解算法梯度类算法牛顿法内点法4.电力系统中的应用最优潮流三种算法对比简化梯度法牛顿法内点法原理简单，易于实