利用拉式变换解状态方程式

1、利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態方程式(state equation). tttBxAvv tttDxCvy 00ttvv Tn21tvtvtvtv狀態向量 初始狀態 此CT-LTI系統簡稱為：系統 A, B, C, D 兩邊同時取拉式變換如下： ssss0BXAVvV ssss101BXAIvAIV利用拉式變換解利用拉式變換解狀態方程式狀態方程式狀態方程式狀態方程式(state equation). ssss101BXAIvAIV:= IC響應： + 強迫響應： sICV sFV 1ssAI狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣 ssss0BXvV dtttt00Bxvv 1sstAIL L狀態

2、轉移矩陣狀態轉移矩陣利用拉式變換解利用拉式變換解狀態方程式狀態方程式狀態方程式狀態方程式(state equation)as1eatL LtetAAexp t 11-1-ssAIL LL L 對於階矩陣 Ann ijann2n1nn22221n11211asaaaasaaaassAIAIAIadjss1s AI AI ss :011n1nnsss特性多項式：特性多項式： 矩陣指數矩陣指數 利用拉式變換解利用拉式變換解狀態方程式狀態方程式特性特性方程式方程式(characteristic equation) 0ssss011n1nn0sssn21 AI ss :n.1i ,i為特性根或是矩陣A的

3、特徵值 穩定度判斷法則穩定度判斷法則 若所有特性根之實數部份皆為負，則此系統為穩定系統。因此，穩定的系統只具有s-左半面(LHP)極點。 n.1i，0iRe脈衝響應與轉移函數脈衝響應與轉移函數利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態方程式 sssDXCVY sss0XDBCvC不考慮初始條件不考慮初始條件，即令 0 00v sss1XDBAICY ss XH :H(s)稱為轉移函數矩陣轉移函數矩陣 DBAICH1ss系統的單位脈衝響應單位脈衝響應為 st1Hh L L DBCs ssss0BXvV 1ssAI利用拉式變換解利用拉式變換解狀態方程式狀態方程式例題例題 tx20t3210vv t

4、10tyv tue3txt4 T540v(a) 特性方程式 3210A20B10C矩陣參數分別為3s21ssAI03s21s 02s3ss2(b) 特性根皆為負根，故為穩定系統穩定系統 2, 12 , 1利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態方程式例題例題 1ssAIs213s2s3s122s3ss2s3s22s3s12s3s3s2222 01ICssvAIV542s3ss2s3s22s3s12s3s3s22222s3s8s52s3s7s4222s21s32s11s3 t2tt2tICe2e3ee3tv(c) 當x(t) = 0，自由響應自由響應：利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態

5、方程式例題例題 tue3txt4 4s3sX(d) 強迫響應強迫響應為 0 00v sss1FBXAIV4s3202s3ss2s3s22s3s12s3s3s22224s42s61s24s12s31s2t4t2tt4t2te4e6e2ee3e2 tFv0t 利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態方程式例題例題(e) 總響應總響應 tttFICvvv0t,e4e4e5ee2e5t4t2tt4t2t 0t,e4e4e5tyt4t2t(f) 轉移函數轉移函數為 DBAICH1ss2s3ss22利用拉式變換解狀態方程式利用拉式變換解狀態方程式例題例題線性系統的狀態方程式為 tttBxAvv在下列情形之A矩陣，試分別判斷其穩定性。 2001A 02sss2 02s3ss2特性根：-1, -2