闭区间套定理的证明、推广及应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范）姓 名 姜清亭 年 级 2009级 学 号 9 指导教师 刘学飞 2011年5月专心-专注-专业闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。 关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1

2、空间上的区间套定理 定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列若1 2 则存在唯一数属于。所有的闭区间（即），且证明:由条件1可知，数列增加有上界，数列单调减少有下界，根据公理，数列收敛，设=由条件2 有于是，对任意取定的,有，从而，或，即属于所有的闭区间证明唯一性假设还有一个也属于所有的闭区间，从而有条件2),有即是唯一的2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列，若1 2 = =0 对每个闭区间，有0，根据闭区间套定理知，存在唯一数属于所有的闭区间，且=证：由条件知：， 即 根据公理： 设 由知： 即： 对任意取定的k， 于是： 即： 即属于所有的闭区间。证明：是唯一性，应用反证

3、法。假设还有也属于所有的闭区间，从而对任意.根据极限的不等式性质有：，与条件矛盾，所以是唯一的。闭区间套定理也是实数连续性的一种描述，即不是实数集可能不成立。例1. 在有理数集上， 这是一个闭区间套列，但是在有理数集上不存在一点属于所有的区间。推论1 （半开半闭区间套定理） 若半开半闭区间列满足：1 2 则存在唯一数属于所有的开区间（即）1 2 同理 半闭半开区间列在相应条件下，有相同的结论特别的，若定理1和推论1中区间列的端点组成的数列时结论（1）为推论2 若开区间列满足1 ， 2 则存在一个实数属于所有的开区间，且=证明 据条件1 和2 由定理1和定理2显然可得=且 n=1，2，3，3 闭

4、区间套定理的应用例1 用区间套定理证明有界性定理证明:在上无界，则等分，即= ，至少有一个子区间上无界，不妨为，将等分，则存在子，使得在上无界，依此类推，不断等分区间，则得到无穷区间列1 2 3 在上无界， 由1 和2根据区间套定理唯一而由于3，从而 得到一点列 由数列极限与连续函数极限的关系应用、，这与矛盾所以假设不成立 从而有界性定理得证例2 用闭区间套证明聚点聚点定理：有界无限点集E至少有一个聚点定义：设E是数轴上的点集，是一个定点，若点的任意邻域内都含有E的不同于的一点，则称点是点集E的聚点。证明 因为点集E有界，所以存在闭区间,使 将闭区间 二等分，至少有一个闭区间含有额的无限多个点

5、，否则闭区间只含有E的有限个点，与已知条件矛盾，设含有E 的无限多个点的哪个闭区间表为，如果二个闭区间都含有和都含有E的无限多个点，则任取其一再将闭区间二等分为，同样至少有一个闭区间E含有无限多个点，将此闭区间表为同样方法 无限次作下去，构造闭区间套1 2 每个闭区间都含有E的无限多个点，根据闭区间套定理，存在唯一所有的闭区间 ，且，已知有，有，根据极限的保序性，有 即，已知闭区间含有E的无限多个点，从而因为含有E的无限多个点，即是E的聚点参考文献1 刘玉琏等编 数学分析讲义上册 M, 北京：.高等教育出版社（第四版） 20032 张伟、许宏伟空间的区间套定理【J】高等数学研究 2004，7（

6、1）3 陈娓 区间套定理极其应用J 长沙大学学报 （2）4 刘玉琏等编 数学分析讲义下册 M, 北京：.高等教育出版社（第四版） 20035 毛一波.闭区间套定理的推广J.渝西学院报（自然）The proof close nested interval theorem and its extension and applicationJiangQingTing(Class one of Grand 2009,Mathematics and statistics institute,College,Chongqing institute Three Goreges University () )

7、Abstract The Closed interval set of theorem is an important theorem in mathematics analysis, can be applied to the mathematics teaching, scientific research and daily life. And get some corresponding theorem and make closed interval set of theorem promoted. In mathematics teaching of the application is the most prominent place to prove some math theorem, such as zero theorem.Keyword