微分方程的多解与变号解

1、yiT论女域表家微分方程的多解与变号解【摘要】：偏微分方程解的存在性与多重性是非线性分析的一个重要 研究内容，有着广泛的背景，它来源于物理、生物工程、化学和医学等 领域.近年来，许多学者对偏微分方程进行了研究，例如利用变分方法和临界点理论研究了各种 Schrodinger 方程解的存在性与多解性.这些 研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文利用变分方法、Morse理论、临界点理论、拓扑度理论研究了几类偏微分方程的解与变号解. 本文分为五章.第一章，我们介绍一些研究背景，国内外研究现状及本 文的一些主要结果第二章中，我们对经典椭圆方程 Dirichlet 边值问题 进行了研究,其中QRN是具有

2、光滑边界的有界区域,f C1(QXR1,R满足次临界增长条件 ft (x,t)|3 则 2*=2N/(N-2);如果 N-1,2, 则 2*- *我们把拓扑度、临界群、不动点指数结合起来，得到它们之间 的一些转化关系，给出一些假设条件，使得非线性项 f 在 0 点和*共振和 跨特征值我们解决了仅仅使用不动点指数和拓扑度理论不能研究共 振情形的问题，如文献1(J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我们考 虑在 0 点和， 都共振的情形，这是一般文章都没有考虑的情形而且我 们的共振条件去掉了2(Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性条件. 我们还

3、研究了单边共振的情形，这种共振条件又比我们常见的要弱，它 去掉了极限存在的要求和增长性条件我们得到的结论是：f 在 0 点共 振或跨特征值，在X点共振或单边共振或跨特征值，那么上述边值问题yiT论女第表站家都有七个非平凡解，其中两个正解、两个负解、三个变号解在维数 N=1 时，我们可以进一步计算第七个解的临界群，从而得到第八个解，这个解是变号解，所以在维数为一的情形下，我们得到两个正解、两个负解、 四个变号解在维数 N=1,方程是四阶时，就化为1中所研究的问题我 们不仅给出了零点和无穷远点共振的情形，而且当 0 点共振到奇特征 值或跨奇特征值时，还可以通过计算临界群，得到七个非平凡解，其中 三

4、个变号解，这种情形利用1中的方法，不能考虑而在 0 点和，都共振 到偶特征值时，得到六个非平凡解，这样的共振情形也是1中的方法 所不能研究的.1中只能考虑在零点和无穷远点都是跨偶数个特征值 的情形从而我们推广了1的结论，而且得到比1中更好的结果我们 假设以下条件：(f1)f(x,t)t0,x 衢xR；f2)存在 n02满足儿 0 入 n0+1,使得 ft (x,0)=入 n0+1 且存在5(使得 f(x,t)tw入 n0+1t2x)x-,； (f3)存在 b0,使得 |f(x,t)|b,(x,t) Qx-bc,bc,其中 c=maxx Qe(x)且 e 是 边值问题：的解；(f4)存在满足入

5、n11 入 n1 的正整数 n11 及 C10,a(0,1), 使得f(x,t)/t 二对 nx,Q一致成立,|f(x,t)-入 n1t|wC1(1+|t|a,(x,t)QXR(?)1/|t|2a(F(2,t)X n1t2)=) n1 + 1 c 对 x Q一致成立，其中F(x,t)=/0tf(x,s)ds,(x QXR1；(f5) 存 在 n1,R0 使 得入 2-11+f(x,t)/tWEQ2n1，x 且 R)1/|t|(F(x,t)-1/2 入 ng=对 x Q一致成立；(f6)存在 n1, ,R 使得入 2n 1wf(x,t)/tw入2n+Q,|t| 且 R,(?)1/|t|(F(x,

6、t)-1/2 入 n112)=+对 x Q致成立；(f7)存在 n02 使得 入n0 入 n0 且 入 n0ft (x,0) 对 n0+1Q一致成立；(f8)存在满足 A2n1 入 2n 1+1的 n 11 使得a(x)=(?)f(x,t)/t 存在且 入 2n 1a(x)入 2n 对 1xQ一致成立定理 2.1.1 设条件(f1)-(f3)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成立, 则边值问题(2.1.1)至少有七个非平凡解，其中两个正解，两个负解，三个 变号解定理 2.1.2 设条件(f1),(f3)及(f7)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一个成 立，则边值问

7、题(2.1.1)至少有七个非平凡解，其中两个正解，两个负解，三个变号解.在第三章中，我们考虑了RN 上半线性椭圆方程-u+u=f(x,x),u H1(RN)的解.在一些假设条件下，我们利用下降流线给 出无穷多变号解的存在性.文献3(Adv.Math.222(2009)2173-2195)中 研究的是有界区域上的半线性椭圆方程的无穷多变号解，这里我们改进到无界区域.同时，我们也改进了文献4(Comm.Math.Phys.55(1997)149-162 冲只得到无穷多解，而没有确定 出它们的符号的结论.本章中,我们给出以下条件：(A1)存在 p (2,2*) 及 cO,使得 |f(x,t)| c(

8、|t-+)tftx,t) RNX R1 ; (A2)存在a2,R0 使得aF(x,t) t,(x,t),(X,tRNXR1,(?)F(x,t)0,其中 F(x,t)=/ 0t(x,s)ds,(X,t)RNXR1； (A3)limt 0f(x,t)/t=(在 RN 上一致成立；(A4)f(gx,t)=f(x,t),9 O(N),(x,t) RN,(?Nt) R1.那么 我们有如下结果： 定理 3.1.1 假设(A1)-(A5)成立,则方程(3.1.1)有无穷 多变号解.第四章中，我们研究 Schrodinger-Poisson 系统正径向解的存 在性，其中 f C(R1,R1).我们假设 f 满

9、足 limt +乂 f(t)/tp+利用变分方 法，当入和 p 在不同范围时,给出一些解的存在性与不存在性结果.我们 把5(J.Funct.Anal.237(2006)655-674)中非线性项 f(u)-up 的结果推广 到一般的非线性项.f,而且改进了文献6(Ann 丄 Poincare-AN,27(2010)779-791)中只对很小的参数得到一个C 易发表用yiT论女第表匸冢正径向解的结论事实上,我们假设以下条件：(H1)存在 p (1,5),使得limsuPt+乂 f(t)/tp+ (H2)*imt0f(t)/t=0(H3)f(t)t40R1;(H4)存在 q (2,5),使得 li

10、minft +f(t)/tq； (H5)limt +f(t)/t=+ 其中. F(t)= /Otf(s)那么我们有下列结论.定理 4.1.1.如果条件(H1)中 p (1,2),且(H2)及(H5)成立，则存在 入 0(使得对所有的入 (0,入系统(4.1.1) 至少有两个正径向解.定理 4.12如果条件(H1)中 p (3,5),且 (H2)-(H4)成立，则对所有的 入(系统(4.1.1)至少有一个正径向解.定理 4.1.3.如果条件(H1)中 p 2,3,且(H2)及(H5)成立,则存在 A00,使得对 所有入 (0,入 0),系统(4.1.1)至少有一个正径向解.定理 4.1.4.如果

11、条件 (H1)中 p (1,2,且(H2)成立,则存在 入 0(使得对所有 A (入 0,喲统(4.1.1) 没有正解.我们的主要结果可以用下图表示.第五章中，我们研究 了广义 Kadomtsev-Petviashvili 方程 wt+wxxx+(f(w)x=Dx1-wyy 的基 态孤立波,其中我们在一些假设条件下，利用变分方法给出非平凡基态孤 立 波 的 存 在 性 . 我 们 去 掉 了7(Appl.Math.Lett.15(2002)35-39) 和8(MinimaxTheorems,1996)中的条件：存在u 0Y:=gx:g Cg(R2), 使得lims +xF(su0)/s2 这是

12、研究广义 Kadomtsev-Petviashvili 方 程经常会假设的条件.并且在本章中，相应的泛函不满足(PS)条件和(c) 条件.我们假设(B1)f C(R1,R1),f(0)=0,且对某一 p (3,6),(B2)limt 0,f(t)/t=0;存在 2 使得0G(t) G()R1,s 0,1,其中 G(t)=f(t)t-2F(t).定理 5.1.1.假设(B1)-(B3)成立，那么问题(5.1.1)有 一基态孤立波.另外，我们还研究了变系数的广义Kadomtsev-Petviashvili 方程 的 基态孤立波(-uxx+Dx-2uyy+a(x,y)u-f(u)x=0,(5.4.1

13、)其中(x,y) R2.我们假设 a C(R2,R1)且存在正数 a ,使得 Oa a(x,y) 且 a(x,y)满足以下条件： a(x,y)a=(?)a(x,y) W(xR?(a)这里我们同样也去掉了9(J.Math.Anal.Appl.361(2010)48-58)中研究变系数 p-Laplace 方程所 作的周期性假设.从而推广了 9中的方法则我们有下列结论：定理 5.4.1 假设对p (3,4,(B1)-(B3)成立且条件 成立，那么问题(5.4.1)有 一基态孤立波.【关键词】：临界群拓扑度变号解 Schr(o| )dinger-Poisson 系统广义Kadomtsev-Petvi

14、ashvili 方程基态孤立波【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O175.2【目录】：中文摘要 6-11ABSTRACT11-17 第一章引言 17-27 第二章半 线性椭圆方程的多解与变号解 27-51 .1 临界群、拓扑度以及不动点 指数的转化 27-40 .2 变号解和解的存在性与多重性 40-46 .3 维数 为一的情形46-51 第三章 RN 上半线性椭圆方程的无穷多变号解 51-63 3.1 准备工作51-53 3.2 一些必要的引理 53-58 3.3 无穷多变号 解的存在性 58-63 第四章Schrodinger-Poisson系统的正解63-79 4.1 主要结果63-64 4.2 一些必要的引理 64-75 4.3 主要定理的证明 75-79yiT论女第表&a