数学建模期末考试A试的题目与答案

1、华南农业大学期末考试试卷(A卷)2012-2013学年第 二 学期考试科目：数学建模考试类型：(闭卷)考试考试时间：120分钟学号_姓名_ 年级专业_一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在 一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去？建立多步决策模型，将人、狼、羊、白菜分别记为i= 1，2，3，4，当i在此岸时记xi= 1，否则 为0;此岸的状态下用 s =(X1，X2，X3，X4)表示。该问题中决 策为乘船方案，记为d= (u1,u2,u3,u4)，当i在船上时记Ui= 1，否 贝 U 记 ui= 0。(1)写出该问题的所有允许状态集合；(3分)(2)写出该问题的所

2、有允许决策集合；(3分)(3)写出该问题的状态转移率。(3分)利用图解法给出渡河方案(3分)解:(1) S=(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)及他们的5个反状(3分)(2) D = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)(6分)(3) sk+1= sk+ (-1)kdk(9分)(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。?或：人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来,然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来

3、，带羊过去。(12分)1、二、(满分12分)在举重比赛中，运动员在高度和得分题号-一-二二-三四五六七八总分得分评阅人- 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊, 得分一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带得分体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：(1)假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6 分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6 分解：设体重 w （千克）与举重成绩 y （千克）（1） 由于肌肉强度 与其横截面积（S 成比例，所以 y：l：S设 h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，

4、则S:h2再体重正比于身高的三次方，则 w - h3故举重能力和体重之间关系的模型为：y =kw3（6分）（2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为w-a）3（12分）三、（满分14分）某学校规定，运筹学专业的 学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程？课程编号课程名称学分所属类别先修课要求1微积分5数学2线性代数4数学3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数4数据结构3数学；计算机计算机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数6计算机模拟

5、3计算机；运筹学计算机编程7计算机编程2计算机得分8预测理论2运筹学应用统计由量纲 PI 定理得二二VWg.v=3；9，其中，是无量9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数记 i=1 , 2,，9 表示 9 门课程的编号。设Xi = 1表示第 i门课程选修，Xi=0表示第 i 门课程不选,建立数学规划模型（1） 写出问题的目标函数（4 分）（2） 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课，如何表示此约束条件？（5 分）（3）某些课程有先修课要求，如何表示此约束条件？（5 分）解(1)9m i iZ =vxi(4 分)iA(2)Xx2x3x4x5_ 2X3X5冷XgX9_ 3（9

6、分）(3)X3乞X1, X3乞X2Xg空X5（14分）-n-四、（满分10分）雨滴的速度v与空气密度P、粘滞系数分-4 和重力加速度g有关，其中粘滞系数的量纲=LMT：用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设V,g的关系为v=LM0T1，d=L3MT0,=LMTJg=LMT-2,其中(3 分)量纲矩阵为得分f （v,:,g）=0.其量纲表达式为L， M， T 是基本量纲.齐次线性方程组的 基 本（7 分）Ay=0解_1_ 3_ 111(L)0110(M)-T0_ 1 -2一(T)(v)(P)（巴(g)，即y=(-3,-1,1,1)A=为六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动 物和哺乳

7、动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物 为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现,当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的 毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1（t） , x2（t） ,X3（t）假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为 k，（ 3 分）=儿（1一 人X2）* =x2【一血一于 +（）2k）x1x3K2鬼=X3（T3严+A3X2）K3七、（满分

8、15分）经过一番打探及亲身体验，你准备从三种 车型（记为a,b,c中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比 较矩阵已知其最大特征值近似为4.1983.另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们 外表的喜欢程度的成对比较阵：其中矩阵G,C2,C3,C4的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种标准的 优越 性的比较尺度.假定这些成对比较阵（包括A）都通过了一致性检验，且已知C1.C2.C3.C4的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：得分纲常数.（10 分）得分五、（满分12分）设某种群t时 刻的数量为

9、x（t），初始数量为X。,（1）写出种群数量的指数增长模型并求解（2）设容许的资源环境最大数量为 长模型（logistic）,并求其平衡点.解（1） X二rxN,写出种群数量的阻滞增（3 分）x（tXoerx（6 分）r X 1）N（9 分）0 .平衡点为x = 0和x = N（12分）得分（10X（trxrx （1 N矩阵最大特征 值对应归一化特征向量C13.009(0.53960.29700.1634 )C23.119(0.10560.74450.1499 )C33.086(0.62670.27970.0936 )C43.065(0.18840.73060.0810 )（1）根据上述矩阵将

10、四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出（ 5分）;（2）分 别 确 定 哪 种 车 最 便 宜 、 最 省 油 、 最 舒 适 、 最 漂 亮（ 5分）；（3）确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）（5分）；解：记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C 1,C 2,C3,C4,贝UCi：C2=3即比C2的影响稍强C2: C3 =5即C2比C3的影响强C3：C4 =3即C3比C4的影响稍强所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：价格、耗油量大小、适合程序、外观美观（5分）（2）考虑比较阵C1% =2表明车型a的价格优越性高于车型b,即车型a比车型b便宜a23=2表明车

11、型b的价格优越性高于车型c,即车型b比车型c便宜所以最便宜的车型为a.（7分）同理可得最省油的车型为b;（8分）最舒适的车型为a；（9分）最漂亮的车型为bo（10分）（3）车型a的组合权重(0.582Q 0.2786, 0.0899 0.0495)(0.5396 0.1056 0.6267, 0.1884)=0.41车型b的组合权重(0.582Q 0.2786, 0.0899 0.0495)(0.297C,0.7445 0.2797, 0.7306)=0.44车型c的组合权重(0.582Q 0.2786, 0.0899 0.0495)(0.1634 0.1499 0.0936 0.0810)=

12、0.15 (13分)车型a,b,c的喜欢程度分别为41%,44%,15%(15分)八、(满分15分)A,B,C三个厂家都生产某产品，2009年它们在某地区的市场占有率2009年分别为：A厂家:40%, B厂 家:40%, C厂家：20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况 是：A厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B厂家，20%转为C厂家；B厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，10%转为C厂家；C厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A厂家，40%转 为B厂家。(1)预测2010年哪个厂家的市场占有率最大。(6分)(2)经过很长时间以后，

13、哪个厂家的市场占有率最大？( 解：状态转移概率矩阵为：0.6 0.2 0.20.1 0.8 0.1.0.1 0.4 0.5一a( 0 ( 0. 4,0. 4 ,1模型的分类答：按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类， 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型，数学模型等。2数学建模的基本步骤 答：(1)建模准备：数学 建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实 践进一步发展必须解决的问题。建模准备得分6分）（2（40.60.10.12010年B厂家市场占有率最大(2)设稳态概率w = (w1, w2, w3),

14、a（1）0.6则wp =w,側,w2, w3） 0.1卫.10.20.20.80.1 =0.20.80.40.20.1 = （w1,w2, w3）0.5（6（8（10又因为w1w2w3= 1（12联立解得w =（020.6,0.2）（14B厂家市场占有率最大.（15分）、简答题(每小题满分8分，共24分)就是要了解问题的实际背景，明确建 模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对；（2）建模假设：根据实际对象的的特征和建模的目的，在掌握必要资料的 基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关 系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体

15、复杂形态，形成 对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程 关键的一步。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；（3）建模建立：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选 择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征， 构造出根据已知条件和数 据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻画实际 问题的数学模型；（4）模型求解：构造数学模型之后，再根据已知条件和数据分析模型的特征第3页 共6页和结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论，特别是编写计算机程序或运用 预算法相

16、适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解；（5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行变 量之间的依赖关系分析， ，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析， 或进行误差分析等。 通过分析，如果不符合要求， 就修改或增减建模假设条件， 重新建模，直到符合要求；通过分析如果符合要求，还可以对模型进行评价、 预测、优化等；（6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中对模型进 行检验，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，看它是否符合客观 实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环往复，不断完善， 直到获得满意结果。目前计算机技术已为我们进行模

17、型分析、模型检验提供了 先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和物力；（7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公 正的检验。 因此，一个成功的数学模型， 必须根据建模的目的， 将其用于分析、 研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。3数学模型的作用答：数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径，它既增强了学生的 数学应用意识，又提高了大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问 题的能力。开展数学建模教学与竞赛对大学生能力的培养是全面的。这表现在 创新精神和创新能力的培养， 查阅文献资料、 分析综合、抽象概括能力的培养，应用能力

18、的培养，运用数学工具和计算机以及实践能力的培养等方面。数学建模有利于培养学生创新精神和创造能力。 数学建模的问题具有一定的 开放性，没有一定的规矩可循，没有事先设定的标准答案或答案不是唯一的， 具有较大的灵活性。因此需要突破传统的思维模式，面对复杂问题发挥学生的 创新精神和创造力、 想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力， 善于从实际问题提供的原形中抓住其数学本质，建立新颖的数学模型。数学建模有利于培养学生双向翻译能力。它要求学生运用学过的数学知识，把实际问题翻译成数学模型，又将数学模型的结果用浅显易懂的语言翻译出 来。数学建模有利于培养学生获取文献资料信息的能力。在信息社会中，信息和 知识以前所未有的速度传播和扩散， 这就要求学生具有良好的获取文献资料信 息的能力，以便适应现代社会技术创新和知识更新的需要。数学建模问题有强 烈实际背景，涉及到不同的学科领域，问题错综复杂。这就促使学生围绕实际 问题广泛查阅资料，获取自己有用的材料，这大大