2019年高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案

1、最新中小学教案、试题、试卷第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系， 因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如 此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角

2、平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心（1）角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等.（2）高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心.（3）中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（4）垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距 离相等.【高效演练】1.如图所示，在ABC中，点P是厶ABC的内心，则/PBOZPCAhZPAB=_度.【解析】T 点P是AA5C的內心，即肿，伊分另怦分乙SG ZACB,:.ZPBC+ Z.PCA +ZA

3、CB+ ZG45）= 180=90【答案】财2 .设MABC 的重心，且 AM =3 ,BM=4 , CM=5，则ABC 的面积为 _.最新中小学教案、试题、试卷2 2 2【解析】由 AM =3 ,BM=4, CM =5，有 AM BM =CM ,知两中线AD,BE垂直.3于是 SABCAM BM 二 18 .2【答案】183 .已知H、0 分别为锐角 ABC 的垂心和外心， OD 丄 BC，垂足为D，贝 U AH ： OD =_.【解析】可延长 BO 交厶 ABC 的外接圆于E，证明四边形 AHCE 为平行四边形即可.【答案】2：14.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点

4、O,在 0B 上任取一点 P,连结 AP,过 D 作 AP 垂线交 OA 于 Q 点.求证：OA OQ【解析】 在厶 APD 中，由 AOL PD DQLAP 可知，点 0 是厶 APD 的垂心，连结 PQ 必有 PQLAD/ ABLAD PQ/ BA.OP OQ 1_OB OA又vOA= OB OP= OQ5.如图 3,在厶 ABC 中，AB= AC,过 BC 的中点 D 作 DELAC 于点 E, G 是 DE 的中点,求证：AGL BE最新中小学教案、试题、试卷【解析】如图，取CE的中点H,连结HG, HD,则有HG/DC,TCD丄AD /.HG丄AD.又TDE丄AC,二G是AADH的垂

5、心，AG丄DH.又/-AG丄BE.6.求证：三角形的三条高交于一点已知VABC中，ADA BC于D,BEAAC于E,AD与BE交于H点.求证CHAAB.证明Q ADABC,BEAAC, ?HDC ? HEC 90,D、E在以CH为直径的圆上，? FCB ?DEH.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得？BED ? BAD.? BCH ? BAD，又VABD与VCBF有公共角DB，? CFB ? ADB 90，即CHAAB.7.（ 1）设 G 是厶 ABC 的重心，证明： GBCAGAC GAB 的面积相等.HD/BE,以CH为直径作圆，最新中小学教案、试题、试卷（2）利用（1）的结论，证明：三

6、角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的【分析】(1)设三条中线为 AD, BE, CF,三中线交于 G 点，G 是重心，由同底等高得到 SGB(=2SGCD,SGAC=2SGCD,由此能证明 GBC GA(CAGAB 的面积相等.(2)设三条中线为AD BE, CF,三中线交于G 点，G 是重心，由 SGB(=SAGAC,SAGBC=2SAGCD得到 SGAC=2SGCD由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2 倍.【解析】（1）证明：设三条中线为AD, BE, CF,三中线交于G点，G是重心,贝I AG=2GD?CG=2GF, BG=2GE,/BD=CD,SA

7、GECISGGD, AG=2GD,/.SAGA2SGOD,SGECSAGAC二GBC, AG AC, ZiGAB的面积相等.(2)证明：设三条中线为 AD BE, CF,三中线交于 G 点，G 是重心,/ GBCAGACAGAB 的面积相等，-SGBC=SGAC/ BD=CD-SGBC=2SGCD,-SGAC=2SXGCD,AGC 和厶 DGC 在分别以 AG 和 DG 为底时，高都是点 C 到边 AD 的距离， AG=2GD 同理可证 CG=2GF BG=2GE三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2 倍.2 倍.最新中小学教案、试题、试卷【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考

8、查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的 合理运用最新中小学教案、试题、试卷8.已知三角形的三边 a, b, c,三角形的重心到外接圆的距离为 d,外接圆半径为 R,求证：a2+b2+c2+9d2=9【分析】以厶 ABC 的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C 的坐标依次是：(Rcosa， Rsina)、( Rcos3,Rsin3)、( RcosY,Rsi n 丫).令 AB 中点为 D. ABC 的重心为 (m,n),求出 mn,进而可证明 a2+b2+c2+9d2=9R!.【解析】证明：以厶ABC的外心为原点建立坐标系，显然，AABC的外接圆方程是：碎产妙二可令A、B、C的坐标

9、依次是：( (Rcasa(Rcos Rsiiip)、(Rcosy, Rsiny)令AB中点为D、AABC的重心为G (m, n).由中点坐标公式，得D的坐标为(cosd+a弗片(skwtFsiiip).-CG 9-DG=R ( cosa+cos3+cos 丫)2+ (sina+sin3+sin 丫)2=R(3+2cosacos3+2cos3cos 丫 +2cosacos 丫 +2sinasin3+2sin3sin 丫 +2sinasin 丫).a2+b2+c2+9d2=9R9. 一条直线截三角形，把周长 I 与面积 S 分为对应的两部分：h 与 I?, S1与 S2.求证：直线过三角形内心的充

10、要条件是-1l2S2二RcosT +2Rp_-(cos CL+cos P )1+2(艮(sma+siiip+siiiy).3是2a = ( Rcos3- Rcos 丫 )(Rsin3 -Rsin2=F2(2 - 2cos3cosY-2sin3sin2b = ( Rcosa- Rcos 丫 )(Rsina -Rsin2=F2(2 - 2cosacos 丫-2sinsin2c =(Rcosa -Rcos3 )(Rsina -Rsin2=Ff(2 - 2cosacos3 -2sinsin3 ).2 29d =9 ( m- 0) + (n - 0)2=9R( cosa+cos3+cos 丫 )3-02

11、+R (sin32a+sin3+sin 丫)- 0 最新中小学教案、试题、试卷【解析】证明： 必要性：如图 1，设I是厶 ABC 的内心，过I的直线交AB于P，交 AC 于 Q .最新中小学教案、试题、试卷记 BC =a , CA =b , AB 二 c , AP =m , AQ 二 n,内切圆半径为r，则1SA ABC= (a +b +c) r =s，SAAPQ=SAAPISAAQI1(m 亠 n) r -21s(a b c) r 由S.2_S 1S1(m n) r2abcl，m nb有上l2S2充分性：设直线 PQ 把厶 ABC 的周长 I 与面积 S 分为对应的两部分成等比 上l2S2且与AB交于P，与 AC 交 Q，与A的平分线交于I.?己 BC = a , CA = b , AB = c , AP = m