平面与平面垂直的判定和性质两课件

1、2.3.2平面与平面平面与平面垂直的判定垂直的判定两直线所成角的取值范围：两直线所成角的取值范围：AB 1O 平面的平面的斜线斜线和平面和平面所成的角的取值范围：所成的角的取值范围：直线直线和平面所成角的取值范围：和平面所成角的取值范围：复习回顾复习回顾 0o, 90o 0o, 90o ( 0o, 90o )1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或或: : 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。2.2.在立体几何中在立体几何中, ,异面直线所成的角

2、异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a a、b b是异面直线是异面直线, ,在空间任选一点在空间任选一点O,O,分别引分别引直线直线a /a, b/ b,a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a a 和和 bb所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.3.在立体几何中在立体几何中, ,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, , 叫叫做这条直线和这个平面所成的角。做这条直线和这个平面所成的角。 问题问

3、题: :异面直线所成的角、直线和平面所成异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征的角有什么共同的特征？结论结论: :它们的共同特征都是将三维空间的角它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角转化为二维空间的角, ,即平面角。即平面角。 拦洪坝拦洪坝水平面水平面二面角二面角1 1 半平面定义半平面定义平面的一条直线把平面分平面的一条直线把平面分为为两两部分，其中的每一部部分，其中的每一部分都叫做一个分都叫做一个半平面半平面。半平面半平面: :ll2二面角的定义二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角，这条直

4、线叫做，这条直线叫做二二面角的棱面角的棱，每个半平，每个半平面叫做面叫做二面角的面二面角的面 棱为棱为l，两个面分，两个面分别为别为 、 的二面角记的二面角记为为 -l- l l AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB二面角的认识二面角的认识你从图中看出了二你从图中看出了二面角的几种写法面角的几种写法? 平卧式：平卧式： 直立式：直立式：AB ABl lAB l3画二面角画二面角 怎样度量二面角的大小？能否转化怎样度量二面角的大小？能否转化为为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？4二面角的大小二面角的大小 l 在二面角在二面角 -l- 的

5、的棱棱l上上任取任取一点一点O，如如图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB则则 AOB 叫叫做做二面角二面角 -l- 的平面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？ OBAl 4二面角的大小二面角的大小 在二面角在二面角 -l- 的的棱棱l上上任取任取一点一点O，如如图，图，在半平面在半平面 和和 内，从点内，从点 O 分别作垂分别作垂直于棱直于棱 l 的射线的射线OA、OB，射线，射线OA、OB组成组成AOB则

6、则 AOB 叫叫做做二面角二面角 -l- 的平面角的平面角 怎样度量二面角的大小？能否转化为怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交两相交直线所成的角？直线所成的角？ OO1BAB1l A14二面角的大小二面角的大小AOB的大小一定的大小一定 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来来度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度说这个二面角是多少度二面角的范围：二面角的范围： 0o, 180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o；4二面角的大小二面角的大小 平

7、面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角OAB二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内10 lOABAOB二面角的平面角二面角的平面角哪个对哪个对?怎么画才对怎么画才对?1.定义法定义法 根据定义作出来根据定义作出来2.垂面法垂面法 作与棱垂直的平面与作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到两半平面的交线得到 lABO12 lOAB3.垂线法垂线法AO lD归纳：求二面角大小的步骤为：归纳：求二面角大小的步骤为：（1 1）找出或作出二面角

8、的平面角；）找出或作出二面角的平面角；（2 2）证明其符合定义）证明其符合定义(垂直于棱垂直于棱)；（3 3）计算）计算. .问题：问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？5. 平面与平面垂直平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互相两个平面互相垂直垂直. 平面平面 与与 垂直，记作垂直，记作 . 如果一个平面经过了另一如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直个平面互相垂直.猜想：猜想： 如果一个平面经过另一个平面的一如果一

9、个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直条垂线，那么这两个平面互相垂直l ll l面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符号表示：符号表示： lABC D线面线面垂直垂直面面面面垂直垂直线线线线垂直垂直例例1 如图，如图，AB是是 O的直径，的直径， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PAC平面平面PBC. PABOC例例1 如图，如图，AB是是 O的直径，的直径， PA垂直于垂直于 O所在的平面，所在的平面，C是圆周上不同于是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面

10、PAC平面平面PBC. 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 PABOC练习练习1：教材教材P69探究探究(1) 四个面的形状怎样？四个面的形状怎样？(2) 有哪些直线与平面垂直？有哪些直线与平面垂直？(3) 任意两个平面所成的二面角的平面角任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？如何确定？ABCD课堂练习：课堂练习：1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则内的一条直线，则.（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内内的两条相交直线的两条相交直线, 则则.（ ）一、判断：一、判断：4.若若m，m ，则，则.

11、( )2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，则内的两条直线，则.（ ）1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直.二、填空题：二、填空题：3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角

12、：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.BACDABCDBACDABCD寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角BACDABCDO寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角

13、在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.BACDABCDO寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，找出下列二中，找出下列二面角的平面角：面角的平面角：（1 1）二面角）二面角D-AB-DD-AB-D和和A-AB-DA-AB-D；（2 2）二面角）二面角C-BD-CC-BD-C和和C-BD-A.C-BD-A.例例2 已知空

14、间四边形已知空间四边形ABCD的四条边和对的四条边和对角线都相等，求平面角线都相等，求平面ACD和平面和平面BCD所所成二面角的大小成二面角的大小. 3DAECB练习练习2：如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥D-ABC的三的三个侧面与底面全等，且个侧面与底面全等，且ABAC ，BC2，求以，求以BC为棱，以面为棱，以面BCD与面与面BCA为面的二面角的大小？为面的二面角的大小？练习练习2：如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥D-ABC的三的三个侧面与底面全等，且个侧面与底面全等，且ABAC ，BC2，求以，求以BC为棱，以面为棱，以面BCD与面与面BCA为面的二面角的大小？为面的二面角的大小？3DA

15、ECB练习练习3： ABCD是正方形，是正方形，O是正方形的是正方形的中心，中心，PO平面平面ABCD ， E是是PC的中点，的中点，求证求证：(1) PC平面平面BDE； (2)平面平面PACBDE.ABCD是正方形，POABCDE归纳小结：归纳小结： (1)判定面面垂直的两种方法：判定面面垂直的两种方法： 定义法定义法 根据面面垂直的判定定理根据面面垂直的判定定理(2)面面垂直的判定定理不仅是面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面判定两个平面互相垂直互相垂直的依据，而且是的依据，而且是找出垂直于一个平找出垂直于一个平面的另一个平面面的另一个平面的依据；的依据；(3)从面面垂直的判定定理我们还

16、可以看从面面垂直的判定定理我们还可以看出出面面面垂直面垂直的问题可以转化为的问题可以转化为线面垂直线面垂直的问题来的问题来解决解决. 三、如右图：三、如右图：A是是BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中点，的中点，求证：平面求证：平面AEC平面平面ABDDACBE2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质线面垂直的性质线面垂直的性质 线面垂直性质定理线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的：垂直于同一个平面的两条直线平行。两条直线平行。/aabbab/aabb/abab练习练习 P79 1 练习：P79 2.B1C1D1A1ABCDabbb

17、 /或或b在在内内复习回顾：复习回顾：（）利用定义（）利用定义 作出二面角的平面角，证明平面角是直角作出二面角的平面角，证明平面角是直角（）利用判定定理线面垂直面面垂直（）利用判定定理线面垂直面面垂直ll lAB线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线垂直线线垂直面面垂直的判定面面垂直的判定. 观察实验观察实验（1）教室前墙所在的平面）教室前墙所在的平面和地面是互相垂直的，观和地面是互相垂直的，观察教室前墙所在的平面里察教室前墙所在的平面里的任意一条直线是否一定的任意一条直线是否一定和地面垂直？和地面垂直？两个平面垂直，两个平面垂直，其中一个平面内其中一个平面内的直线不一定垂的直线不一定垂直于另一

18、个平面直于另一个平面墙角线和地墙角线和地面给我们垂面给我们垂直的形象直的形象ABCDABCD（3）长方体）长方体ABCD-ABCD中，平面中，平面AADD与平面与平面ABCD垂直，能否在平面垂直，能否在平面AADD中找到垂直于中找到垂直于平面平面ABCD的直线？的直线？两个平面垂直，其两个平面垂直，其中一个平面内垂直中一个平面内垂直于交线的直线垂直于交线的直线垂直于另一个平面。于另一个平面。A1D1B1C1CBAD面面垂直的性质面面垂直的性质如果如果(1) 里的直线都和里的直线都和垂直吗？垂直吗？DEF(2)什么情况下什么情况下里的直线和里的直线和垂直？垂直？面面垂直的性质面面垂直的性质 面面

19、垂直性质定理面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。垂直。面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直aAllaala三、两个平面垂直的性质定理三、两个平面垂直的性质定理如图如图2，AB，ABCD，=CD，求证：，求证：AB。在在内作内作BECD。要证。要证AB，只需证，只需证AB垂直于垂直于内的两条相交直线就行。内的两条相交直线就行。 而我们已经有而我们已经有ABCD，只需寻求另一，只需寻求另一条就够了。条就够了。 而我们还有而我们还有这个条件没使用，由这个条件没使用，由定义，则定义，则ABE为直角，即有为直角

20、，即有ABBE，也就有，也就有 AB， 问题也就得到解决问题也就得到解决 .,BCDABABCD于已知.:AB求证则则ABE就是二面角就是二面角 -CD- 的平面角的平面角 , ABBE(平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义)又由题意知又由题意知ABCD,且且BE CD=BE证明证明:在平面在平面 内作内作BECD,垂足为垂足为B.AB(直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理).严格证明严格证明DCAB已知：两个平面 与 互相垂直，判断下列命题是否正确：（1）若b,则b。（2）若=l,bl则b。l(3) (3) 过一个平面内任意一点作交线的垂线过一个平面内任意一点作交线的垂线,

21、,则此则此垂线必垂直于另一个平面。垂线必垂直于另一个平面。1给出下列四个命题：给出下列四个命题：垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行其中正确的命题的个数是（其中正确的命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4B 课堂练习：课堂练习：例例5.Aba,aaa判断 与 位置关系解：设解：设ll在在内作直线内作直线b llbblba又/abba/a画图 面面相交a画图 面面垂直l画图 一个平

22、面和两个平行平面相交ab画图 三个平面两两垂直l画图 面面相交 面面垂直一个平面和两个平行平面相交 三个平面两两垂直alablP81 A5labmn解：设解：设n在在内作直线内作直线a nm在在内作直线内作直线bmnaanab同理/baab/bbl/blbb面面垂直性质面面垂直性质线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质练习练习P81lmn2在二面角在二面角-l-l-的一个面的一个面内有一条直线内有一条直线AB，若，若AB与棱与棱l的夹角为的夹角为45，AB与平面与平面所成的角为所成的角为30，则此二面角的大小是（则此二面角的大小是（ ）A.A.30， B.B.30或或150， C.C

23、.45， D.D.45或或135。ABOCa22设设AB=a,则则AC=a21，AO=22ACAO则则sinACO=ACO=45或或135D如图，过如图，过A点作点作AO于于O，在，在内作内作AC垂直棱于垂直棱于C，连连OB、OC，则，则ABC=45，ABO=30，ACO就是所求二面角的平面角。就是所求二面角的平面角。例例1 1、如图，、如图，ABAB是是OO的直径，的直径，C C是圆周上不同是圆周上不同于于A A，B B的任意一点，平面的任意一点，平面PACPAC平面平面ABCABC，求，求证：证：BCBC平面平面PACPAC。BOPAC分析：在平面分析：在平面PAC或平或平面面ABC内找内

24、找AC的垂线的垂线 AB是是 O的直径，点的直径，点C在圆周上在圆周上BCAC 又又平面平面PAC平面平面ABC AC 是平面是平面PAC和平面和平面ABC的交线的交线 BC平面平面PAC。如图如图,AB是是 O的直径的直径,点点C是圆上异于是圆上异于A,B的任意一的任意一点点,PA平面平面ABC,AFPC 于于F.求证求证:AF平面平面PBC.ACBOPF.分析：分析：先证明先证明BCBC平面平面PACPAC再应用平面再应用平面PBCPBC平面平面PACPAC的的 性质来证明性质来证明如图如图,AB是是 O的直径的直径,点点C是圆上异于是圆上异于A,B的任意一的任意一点点,PA平面平面ABC,AFPC 于于F.求证求证:AF平面平面PBC.ACBOPF.证明证明: AB是是 O