建筑抗震设计第3章-1

1、 地震作用地震作用 结构的地震反应结构的地震反应 结构、构件的地震作用效应结构、构件的地震作用效应 地震作用地震作用和和结构抗震验算结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。关键步骤。 由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的：法是不同的：(1) (1) 底部剪力法底部剪力法(2(2）振型分解反应谱法）振型分解反应谱法（3

2、3）时程分析法）时程分析法（4 4）静力弹塑性方法）静力弹塑性方法地震作用的概念和特点地震作用的概念和特点 地震作用：地震作用： 地震释放的能量，以地震波的形式向四周扩散，地震地震释放的能量，以地震波的形式向四周扩散，地震波到达地面后引起地面运动，使地面原来处于静止的建筑波到达地面后引起地面运动，使地面原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强烈振动。在振动过程中作用在结物受到动力作用而产生强烈振动。在振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震作用。构上的惯性力就是地震作用。( (以前称为地震荷载以前称为地震荷载) ) （1 1）不是直接作用在结构上，属于间接作用；）不是直接作用在结构上，属于间接作

3、用； （2 2）不仅取决于地震烈度、设计地震分组和场地类别）不仅取决于地震烈度、设计地震分组和场地类别等地震特性，还与结构的动力特性（自振周期、阻尼等）等地震特性，还与结构的动力特性（自振周期、阻尼等）密切相关。密切相关。特特 点？点？结构抗震理论的发展过程结构抗震理论的发展过程 静力理论阶段静力理论阶段 反应谱理论阶段反应谱理论阶段 动力理论阶段动力理论阶段 基于性态的抗震设计理论基于性态的抗震设计理论 -Performance-based seismic design二、与各类型结构相应的地震作用分析方法二、与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过不超过40m的规则结构：底部剪力法的规则结

4、构：底部剪力法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法 质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法地震作用的振型分解反应谱法 8、9度时的大跨、长悬臂结构和度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考度的高层建筑：考虑竖向地震作用虑竖向地震作用 特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算维或二维时程分析法的补充计算3.2 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析一、地震作用下单自由

5、度体系的运动方程一、地震作用下单自由度体系的运动方程质点位移质点位移)()()(txtxtXg质点加速度质点加速度)()()(txtxtXg 惯性力惯性力)()(gxmxmtI 弹性恢复力弹性恢复力kxtS)(阻尼力阻尼力xctR)(gxmkxxcxm 运动方程运动方程方程建立方程建立达朗贝尔原理达朗贝尔原理二、单自由度体系动力学分析二、单自由度体系动力学分析1.1.单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动（1 1）无阻尼时）无阻尼时0kxxm 02xx mk2)sincos()(00txtxtxmcmk2,20kxxcxm 022xxx )sincos()(dd000txxtxetxdt1时

6、时（2 2）有阻尼时）有阻尼时)(tP)(tx)(tPttt 将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。为动荷载引起的位移。2.2.单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动-冲量法冲量法m)(tP)(tx0 xmP（1 1）瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应)(tPttPa.t=0 a.t=0 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量mImPx/020)(21mPx0txtxtxsincos)(00tmPsinb.b. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量)(tPttP)(sin)(tmPt

7、x动量定理动量定理(2).(2).动荷载的位移反应动荷载的位移反应m)(tP)(ty)(tPtt)(PdtmPtyt)(sin)()(0-杜哈美（杜哈美（Duhamel）积分）积分d )(sin)()(0)(tDtDtemPty计阻尼时计阻尼时若若t=0 时体系有初位移、初速度时体系有初位移、初速度d )(sin)()sin()(0)(tDtDDttemPtAetyb.b. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量)(tPttP)(sin)(tmPtx三、单自由度体系地震作用分析三、单自由度体系地震作用分析gxmkxxcxm 运动方程运动方程mtFxxxe/ )(22 或或mcmk2,2其中其中gex

8、mtF )(ttteFmtx0d)(Edd)(sin)(1)(由由Duhamel积分，可得积分，可得零初始条件下零初始条件下质点质点相对相对于地面的位移为于地面的位移为tttex0d)(gdd)(sin)(1 max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS 最大位最大位移反应移反应质点质点相对相对于地面的速度为于地面的速度为tdtgdttdtextexdtdxtx0)(0d)(g)(sin)(d)(cos)()( 质点的质点的绝对绝对加速度为加速度为xxxxg22 tdtgdttdtextex0)(220d)(g)(sin)(2d)(cos)(2 tttex0d)(gd2d)(s

9、in)( 求求质点速度和加速度反应的最大值质点速度和加速度反应的最大值在求最大值的过程中，作如下的在求最大值的过程中，作如下的三点简化三点简化（1）由于阻尼比）由于阻尼比 很小，因此可以忽略上式中很小，因此可以忽略上式中 和和 2项；项；（2） d与与 很相近，所以可以取很相近，所以可以取 d ；（3）用）用sin (t- )取代取代cos (t- )，作这样的处理不影响上述，作这样的处理不影响上述两式的最大值，只是相位上相乘两式的最大值，只是相位上相乘 /2。质点相对于地面的最大速度反应为质点相对于地面的最大速度反应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 质点相对于地面

10、的最大加速度反应为质点相对于地面的最大加速度反应为max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大相对速度最大相对速度最大加速度最大加速度dvaSSS2max0)(gmaxd)(sin)(1)(ttdtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS max0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 最大相对位移最大相对位移最大反应之间的关系最大反应之间的关系 求得了单自由度体系在地震动作用下的最大反应以后，下一步将引出地震工程领域内的核心概念“反应谱”？地震反应谱(response spectrum)T1TiSyT反应谱？反应谱？ 单自

11、由度体系在给定地震动作用下某单自由度体系在给定地震动作用下某种反应量的最大值与体系自振周期之间的种反应量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线关系曲线max0)(gd)(sin)(1ttdtexS 相对位移反应谱相对位移反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(s地震动简介地震动简介相对速度反应谱相对速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttvtextxS 绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱t)( tyg Elcentro 1940 （N-S） 地震记录)(ms2)

12、(smax0)(gmaxd)(sin)()(ttgatexxtxS 标准化加速度反应谱max)(txSga -动力系数（或标准化加速度反应谱）动力系数（或标准化加速度反应谱）阻尼比阻尼比 阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑结构周期结构周期 对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。加速度反应谱的性质（结构方面）加速度反应谱的性质（结构方面）震级震级 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越

13、后移震中距震中距 震中距越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移震中距越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周期越后移场地场地 场地越软，反应谱峰点周期越后移场地越软，反应谱峰点周期越后移加速度反应谱的性质（地震动方面）加速度反应谱的性质（地震动方面）由于地震动是一个非常复杂的随机过程，不能用确由于地震动是一个非常复杂的随机过程，不能用确定性的函数表示，因此在计算反应谱时，通常对运定性的函数表示，因此在计算反应谱时，通常对运动方程直接积分得到！动方程直接积分得到！目前应用的抗震设计方法是目前应用的抗震设计方法是基于力的抗震设计基于力的抗震设计，加，加速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因此后面

14、速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因此后面将主要介绍加速度反应谱。将主要介绍加速度反应谱。在代表未来抗震设计理论发展方向的抗震理论在代表未来抗震设计理论发展方向的抗震理论基于性态的抗震设计理论（基于性态的抗震设计理论（Performance-based seismic design）中，速度和位移反应谱将起到至关中，速度和位移反应谱将起到至关重要的作用！重要的作用！几个说明几个说明3.3 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用单自由度弹性体系的水平地震作用一、单自由度体系的水平地震作用一、单自由度体系的水平地震作用结构在地震作用下作用力的最大地震作用为结构在地震作用下作用力的最大地震作用为a

15、gmStxtxmtFFmaxmax)()()( GkGgtxtxSmgggamaxmax)()( G-集中于质点处的重力荷载代表值；集中于质点处的重力荷载代表值；g-重力加速度重力加速度max)(txSga -动力系数动力系数gtxkgmax)( -地震系数地震系数k-地震影响系数地震影响系数地震系数地震系数k 地震系数与地震烈度有关，与结构的性能无关地震系数与地震烈度有关，与结构的性能无关。如果如果已知地震时在某处的地震动记录的峰值加速度；已知地震时在某处的地震动记录的峰值加速度；如果同时根据该处的地表破坏现象、建筑的损坏程如果同时根据该处的地表破坏现象、建筑的损坏程度等，按地震烈度评定该处

16、的宏观烈度度等，按地震烈度评定该处的宏观烈度I，就可提供，就可提供它们之间的一个对应关系，就可以确定出它们之间的一个对应关系，就可以确定出Ik的对应的对应关系（见下表），统计分析研究表明，关系（见下表），统计分析研究表明，烈度每增加烈度每增加一度，地震系数一度，地震系数k的值约增加一倍的值约增加一倍。gtxkgmax)( -地震系数地震系数设防烈度I6789地震系数k0.050.10（0.15） 0.20（0.30）0.40放大系数放大系数 与周期的曲线关系与周期的曲线关系 T，与建筑场地类别、震级、与建筑场地类别、震级、震中距等因素密切相关，通过大量的分析计算，我国抗震规震中距等因素密切相关

17、，通过大量的分析计算，我国抗震规范中将最大动力放大系数范中将最大动力放大系数 max2.25kk25. 2maxmax 水平地震影响系数水平地震影响系数 是地震系数是地震系数k k与动力系数与动力系数 的乘积的乘积，当基本烈度确定后，地震系数当基本烈度确定后，地震系数k k为常数。为常数。 仅随仅随 值而变化。值而变化。所以，水平地震影响系数最大值所以，水平地震影响系数最大值 抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计依抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定。及结构自

18、振周期和阻尼比确定。放大系数放大系数 标准反应谱标准反应谱地震影响系数地震影响系数 二、二、抗震设计反应谱抗震设计反应谱)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 根据同一类场地上所得到的地面运动加速度记录分别计根据同一类场地上所得到的地面运动加速度记录分别计算出它的反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计分析，求算出它的反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计分析，求出其中最有代表性的出其中最有代表性的平均反应谱曲线平均反应谱曲线然后然后结合经验判断结合经验判断确定，确定，通常称这样的谱曲线为抗震设计反应谱！（讨论）通常称这样的

19、谱曲线为抗震设计反应谱！（讨论） -地震影响系数；地震影响系数；max-地震影响系数最地震影响系数最 大值；大值；地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）1.401.400.90(1.20)0.90(1.20)0.50(0.72)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.320.16(0.24)0.16(0.24)0.08(0.12)0.08(0.12)0.040.04多遇地震多遇地震 9 9 8 8 7 7 6 6地震影响地震影响烈度烈度括号数字分别对应于设计基本加速度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和和0.30g地区的地震影响系数地区的地

20、震影响系数T-结构周期结构周期)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT gT-特征周期；特征周期；)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT 地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别-曲线下降段的衰减指数；曲线下降段的衰减指数；1-直线下降段的斜率调整直线下降段

21、的斜率调整系数；系数；2-阻尼调整系数，小于阻尼调整系数，小于 0.55时，应取时，应取0.55。55 . 005. 09 . 08/ )05. 0(02. 017 . 106. 005. 012解：解：（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数查表确定查表确定max16. 0max地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）1.400.90(1.20)0.50(

22、0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度例：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多遇地。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。震时的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5mh=5m查表确定查表确定

23、max16. 0max解：解：例例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8 8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kNG=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 , ,阻尼比为阻尼比为0.050.05。试求该结构多。试求该结构多遇地震时的水平地震作用遇地震时的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71

24、s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数h=5mh=5m查表确定查表确定gT3 . 0gT地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别解：解：例：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分

25、组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚，框架柱线刚度度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时的。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m24960Kt 4 .71ms336. 0T（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数16. 0maxh=5mh=5m3 . 0gTggTTT5)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT max2)(TTg9

26、 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3 3）计算结构水平地震作用）计算结构水平地震作用kN8 .100700144.0GF三三、重力荷载代表值的确定、重力荷载代表值的确定 结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值值G Gk k加上各可变荷载组合值。加上各可变荷载组合值。niikQikQGG1ikQ-第第i i个可变荷载标准值个可变荷载标准值；Qi-第第i i个可变荷载的组合值系数个可变荷载的组合值系数； 不考虑不考虑 软钩吊车软钩吊车 0.3

27、硬钩吊车硬钩吊车 0.5 其它民用建筑其它民用建筑 0.8 藏书库、档案库藏书库、档案库 1.0按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载 不考虑不考虑 屋面活荷载屋面活荷载 0.5屋面积灰荷载屋面积灰荷载 0.5 雪荷载雪荷载组合值系数组合值系数可变荷载种类可变荷载种类按等效均布荷载考虑按等效均布荷载考虑的楼面活荷载的楼面活荷载吊车悬吊物重力吊车悬吊物重力组合值系数组合值系数3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析 振型分解反应谱法振型分解反应谱法ii+1m1m2mimn集中质量法集中质量法：结构重力荷载、楼面荷载集中于楼面，并：结构重力荷载、楼

28、面荷载集中于楼面，并假设这些点质点由无重的弹性直杆支撑于地面。假设这些点质点由无重的弹性直杆支撑于地面。一一. .多自由度弹性体系动力分析回顾多自由度弹性体系动力分析回顾1.1.自由振动分析自由振动分析 0ykym 运动方程运动方程11212111ymykyk 22222121ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为)sin()sin(2211tXytXy0121212111XmXkXk0222222121XmXkXk1)(1ty2)(2ty00)00(2122122211211XXmmkkkk 0)(2Xmk 02mk-频率方程频率方程-振型方程振型方程解解: :例例. .求图示体系的频率

29、、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1EI1EI1km20121212111XmXkXk0222222121XmXkXkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111XXXX 618. 111X 618. 012X1 11.6181.6181 10.6180.618 1X 2X按振型振动时的运动规律按振型振动时的运动规律m1)(1tym2)(2ty)sin()()sin()(2211

30、iiiiiitXtytXty按按 i 振型振动时，质点的位移为振型振动时，质点的位移为质点的加速度为质点的加速度为)sin()()sin()(222211iiiiiiiitXtytXty 质点上的惯性力为质点上的惯性力为)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmymtItXmymtI 质点上的惯性力与位移同频同步。质点上的惯性力与位移同频同步。11X21X211iiXm222iiXm 振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。载所引起的静位移。2.振型的正交性振型的正交性i振型振型NiiiiXX

31、XX21i振型上的惯性力振型上的惯性力NiiiNiNiiNiiiiXXXmmmXmXmXm212122222121iiXm21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXj振型振型NjjjjXXXX21i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作的虚功振型上作的虚功jiijiiijXXmXXmW22221121 iTjiXmX2iiXm121iiXm222NiiNXm2i振型振型j振型振型j振型上的惯性力振型上的惯性力jjNiiNiiiiXmXmXmXm222221212.振型的正交性振型的正交性i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j振型上作的虚功振型上作的虚功iTjiijXmXW

32、21m2miX1NmiX2NiX1m2mjX1NmjX2NjXi振型振型j振型振型j振型上的惯性力在振型上的惯性力在i振型上作的虚功振型上作的虚功jTijjiXmXW2 iTjjXmX2jjXm121jjXm222NjjNXm2ijjiWW由虚功互等定理由虚功互等定理0)(22iTjijXmX0iTjXmX 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功！的功！振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: iiiXmXk2 iTjiiTjXmXXkX2 0

33、iTjXkX振型正交性的应用振型正交性的应用1.1.检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。例例: :试验证振型的正确性试验证振型的正确性mmm22.2.对耦联运动微分方程组作解对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等耦运算等等. . 1897. 0;123. 221XXmlEImEIl1y2y 31748718718712lEIk mmmXmXT00031. 01897. 0200123. 221 )/(000154. 01897. 07/487/187/187/12123. 2321lEIXkXT三三. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) )运动方程运动方程 )()()

34、(tPtyktym 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN设设NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj )() )() )(11tPtDXktDXmNiiiNiii )() )() )(11tPXtDXkXtDXmXTjNiiiTjNiiiTj )()()(tPXtDXkXtDXmXTjjjTjjjTj )()()(*tPtDKtDMjjjjj 代入运动方程，得代入运动方程，得方程两端左乘方程两端左乘TjX)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系折算体系*2/jjjMK),2, 1(Nj)()()(*tPtDKtDMjjjjj jTjjXmXM*-j振

35、型广义质量振型广义质量-j振型广义荷载振型广义荷载 jTjjXkXK* )(*tPXPTjj-j振型广义刚度振型广义刚度*)()()(jjjjjjMtPtDMKtD *2)()()(jjjjjMtPtDtD 相当于一个折算的单自由度体系相当于一个折算的单自由度体系计算步骤计算步骤: :2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;3.3.求广义坐标求广义坐标; ;4.4.按下式求位移：按下式求位移：NjijjtDXty)()(1.1.求振型、频率：求振型、频率：njXjj,2, 1,jTjjXmXM* )(*tPXPTjj),2, 1(nj*2)()()(jjjjjMtPtDtD ),

36、2, 1(nj)(tDj*jM)(*tPj*jK折算体系折算体系例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. .mmm21解解: :mXmXMT211*1 tPtPtPXtPTsin0sin11)()(1*11m2m)(1tytPsin)(2tyEIEI3/415.3mlEI3231045.22692. 5mlEImlEI 111X 112XmXmXMT222*2 tPtPXtPTsin)()(2*2*1*11211/)()()(MtPtDtD )(1tD*1MtPsin*1KtEIPlsin10411.232*2*22222/)()()(MtPtDtD tEIPltDsin101

37、054.0)(322tDtDstsin)(1,11tmPsin/11222211 2211)(DXDXty例二例二. .求图示体系在突加荷载作用下的位移反应求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. .解解: :12k1EI1EI1k2kNP8已知已知: :;102;1033231kNkkNk;1020021kgmmm加荷前静止。加荷前静止。ss/125.24;/1899. 921 211X 2/ 112XkgXmXMT5100011*1kgXmXMT1275022*2 kNtPXtPT168021)()(1*1 kNtPXtPT4)()(2*2tdtMPtD011*1*11)sin()()()c

38、os1(11*1*1tMP)cos1(0032.01t)cos1(000534.0)(22ttD)(2/11)(21)()(2121tDtDtytytty211cos000534.0cos0032.000267.0tty212cos000267.0cos0064.000667.0三三.振型分解法振型分解法(计阻尼计阻尼)阻尼力阻尼力 )(tycfD1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf NNNNNNcccccccccc212222111211-阻尼矩阵阻尼矩阵ijc-当质点当质点j有单位速度有单位速度 ,其余质点速度为其余质点速度为0时时,

39、质点质点i上的阻尼力上的阻尼力.)1(jy 若下式成立若下式成立 jiCjiXcXjjTi*0则将则将 称作正交阻尼矩阵称作正交阻尼矩阵, 称作振型称作振型j的广义阻尼系数的广义阻尼系数. c*jc运动方程运动方程 Pykycym 设设NiiitDXty1)()(),2, 1(Nj)()()()(*tPtDKtDCtDMjjjjjjj 1m2m)(1ty)(1tPNm)(2tP)(tPN)(2ty)(tyN1Df2DfDNf令令*2jjjjMC*2/)()()(2)(jjjjjjjjMtPtDtDtD j-第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由试验确定由试验确定).).计算步骤计算步骤: :

40、1.1.求振型、频率求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;4.4.求广义坐标求广义坐标; ;5.5.求位移求位移; ;NiiitDXty1)()(3.3.确定振型阻尼比确定振型阻尼比; ;四四. .正交阻尼矩阵的构成正交阻尼矩阵的构成 kamac10其中其中，a 0 、 a1由试验确定由试验确定。通过实测获得两个振型阻尼比通过实测获得两个振型阻尼比 和和 。ji iTiiTiiTiXkXaXmXaXcX10*1*0*iiiKaMac)(21210iiiaa同理同理)(21210jjjaa-瑞利阻尼矩阵瑞利阻尼矩阵*2iiiiMc又因为例例. .已知图示体系已知

41、图示体系求：求： c,3m1EI1EIkm21EIkkmmmk /445.01mk /247.12mk /802.1305.021解解. .)(21211011aa)(21221022aamka/0328.00kma/0591.01)(21231033aa0624.0 kamac10mm111m1EI1EIkm21EIkkmm解解. .)(21211011aa)(21221022aamka/0328.00kma/0591.01)(21231033aa0624.0 kamac10mm111 kk110121012 kmc0919.00591.000591.0151.00591.000591.01

42、51.0五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法Ni, 2 , 1作用于作用于i质点上的力有质点上的力有m1m2mimNxixg(t)im)(giixxm )(tSi)(tRi）giiixxmI (惯性力惯性力弹性恢复力弹性恢复力niniiixkxkxkS2211阻尼力阻尼力niniiixcxcxcR2211运动方程运动方程gijnjijnjjijiixmxkxcxm 11 )(txImxkxcxmg 设设NiiitDXtx1)()( )() )()() )(111txImtDXktDXctDXmgNiiiNiiiNiii )() )() )() )(111

43、txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjNiiiTjNiiiTjNiiiTj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj 代入运动方程，得代入运动方程，得方程两端左乘方程两端左乘TjX )(txImxkxcxmg )()()(*txImXtDKDCtDMgTjjjjjjj )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjjj )()()()(txImXtDXkXtDXcXtDXmXgTjjjTjjjTjjjTj jTjjXmXM*-j-j振型广义质量振型广义质量-j-j振型广义阻尼系数振型广义阻尼系数 jTjjXkXK* jTjj

44、XcXC*-j-j振型广义刚度振型广义刚度 )()()(*txMIMXtDMKDMCtDgjTjjjjjjjj *2*jjjMK*2jjjjMC由于 )()(2)(2txXMXIMXtDDtDgjTjTjjjjjjj nijiinijiijTjTjjxmxmXMXIMX121-j-j振型的振型参与系数振型的振型参与系数)()(2)(2txtDDtDgjjjjjjj NiiitDXtx1)()(NjjjiitDxtx1)()(第j振型第i质点的位移jix这样，原来的运这样，原来的运动微分方程分解动微分方程分解成成n个广义坐标个广义坐标的独立微分方程的独立微分方程)()(2)(2txtDDtDgj

45、jjjjjj )(tx)(txgm)(22txxxxg tttextx0d)(gdd)(sin)(1)( ttjjtextDjj0j)(gjd)(sin)()( )(tjjttjtextjj0j)(gjd)(sin)(1)( )(tj)(txg*jMjj已知：对于单自由度体系已知：对于单自由度体系对于对于j j振型折算体系（右图）振型折算体系（右图）Nj, 2 , 1如何解如何解j振型对应的广义坐标方程振型对应的广义坐标方程i 质点相对于基底的位移与加速度为质点相对于基底的位移与加速度为Njjjjitx1)(Njjjjiitxtx1)()( i 质点质点 t 时刻时刻的水平地震作用为的水平地震

46、作用为)()()(txtxmtFgiii )()(1txxtxmgjijNjjjjii NjjitF1)(NjjjiitDxtx1)()(-t-t时刻第时刻第j j振型振型i i质点的水平地震作用质点的水平地震作用)()()(11txxtxtxxgjijnjggjijnj 证明：见郭书P68)()()(txxtxmtFgjjijjjiiji 其中：maxmax)()()(txtxmtFFgjjjiijiji 体系体系j j振型振型i i质点水平地震作用标准值为：质点水平地震作用标准值为：ijjijjiGxF 所以，体系所以，体系j j振型振型i i质点水平地震作用标准值计算公式为质点水平地震作

47、用标准值计算公式为)()()(txxtxmtFgjjijjjiiji -t-t时刻第时刻第j j振型振型i i质点的水平地震作用质点的水平地震作用GtxtxmtFFgmaxmax)()()( 对于单自由度体系对于单自由度体系-相应于相应于j j振型自振周期的地震影响系数；振型自振周期的地震影响系数；jjix- j- j振型振型i i质点的水平相对位移；质点的水平相对位移；j- j- j振型的振型参与系数；振型的振型参与系数；iG- i- i质点的重力荷载代表值。质点的重力荷载代表值。m1m2mi11F12FiF1nF121F22FiF2nF21 jF2jFjiFjnF1nF2nFniFnnF1

48、振型地震作用标准值2振型j振型n振型求得各振型的地震作用标准值后，求得各振型的地震作用标准值后，按静力方法求得地震作用效应按静力方法求得地震作用效应（弯矩、位移等），（弯矩、位移等），那么该如何那么该如何进行组合呢？进行组合呢？ijjijjiGxF-体系体系j j振型振型i i质点水平地震作用标准值计算公式质点水平地震作用标准值计算公式振型组合规则振型组合规则完全二次式方法完全二次式方法CQC（Complete quadratic combination method）ninjjiijSSS11平方和开平方平方和开平方SRSS（square root of sum-square method）

49、 njjSS12振型较为密集，振型之间相关振型较为密集，振型之间相关性较大时，如考虑平移、扭转性较大时，如考虑平移、扭转耦联振动的线性结构体系耦联振动的线性结构体系振型较为稀疏，振型振型较为稀疏，振型之间相关性较小时，之间相关性较小时，如串联多自由度体系如串联多自由度体系参与振型个数的确定参与振型个数的确定1 1、方法一：主要选取贡献大的较低频率的几个振型，一、方法一：主要选取贡献大的较低频率的几个振型，一般建筑（动力自由度较少）取般建筑（动力自由度较少）取1 13 3个振型；高层个振型；高层 9 91515个振型。个振型。2 2、方法二：一般可取振型、方法二：一般可取振型有效质量有效质量达到

50、总质量达到总质量9090时所时所需的振型数。需的振型数。振型有效质量振型有效质量：njjijnjjijEixGxGW1221/)(振型分解反应谱法的步骤振型分解反应谱法的步骤（1）进行振型分析，求结构的自振周期、振型和）进行振型分析，求结构的自振周期、振型和振型参与系数振型参与系数 ；（2）由地震影响系数谱曲线确定多自由度体系）由地震影响系数谱曲线确定多自由度体系j振振型质点型质点i的水平地震作用标准值；的水平地震作用标准值；（3）计算）计算j振型地震作用标准值下的效应，可按静振型地震作用标准值下的效应，可按静力方法计算地震作用效应，包括：轴力、弯距、力方法计算地震作用效应，包括：轴力、弯距、

51、剪力和变形等；剪力和变形等；（4）按）按振型最大值组合规则振型最大值组合规则计算体系水平地震作计算体系水平地震作用标准值的效应。（用标准值的效应。（注意：一定是结构的地震效应进注意：一定是结构的地震效应进行组合，而不是对地震作用进行组合，因为总的地震作用行组合，而不是对地震作用进行组合，因为总的地震作用与各振型地震作用最大值之间不存在组合关系与各振型地震作用最大值之间不存在组合关系！）！）例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为抗震设防烈度为8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为

52、第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大

53、值（阻尼比为0.05）查表得查表得16.0max地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别s4.0gT)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，

54、设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数查表得查表得16.0maxs4.0gT第一振型第一振型ggTTT51max21)(TTg139.0第二振型第二振型gTT2s1.016.0max22第三振型第三振型gTT 3s1.016.0max23

55、55 . 005. 09 . 07 . 106. 005. 012例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.0

56、3T（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数139.0116.0216.03（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数第一振型第一振型31213111/iiiiiixmxm363.11180667.0270334.02701180667.0270334.0270222第二振型第二振型31223122/iiiiiixmxm428.01180)666.0(270)667.0(2701180)666.0(270)667.0(270222第三振型第三振型31233133/iiiiiixmxm063. 01180)035. 3(270019. 42701180)03

57、5. 3(270019. 4270222例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2 2）计算各振型的

58、地震影响系数）计算各振型的地震影响系数139.0116.0216.03（3 3）计算各振型的振型参与系数）计算各振型的振型参与系数363.11428.02063. 03（4 4）计算各振型各楼层的水平地震作用）计算各振型各楼层的水平地震作用ijjijjiGxFkN4 .1678 .9270334.0363.1139.011F第一振型第一振型kN4 .3348 .9270667.0363.1139.012FkN2 .3348 .9180000.1363.1139.013FkN4 .167kN4 .334kN2 .334第一振型第一振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：

59、试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度，度，类场地，设计地震分组为第二组。类场地，设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K解：解：（1 1）求体系的自振周期和振型）求体系的自振周期和振型000.1667.0334.01X 000. 1666. 0667. 02X 000. 1035. 3019. 43Xs467.01Ts208.02Ts134.03T（2 2）计算各振型的地震影响系数）计算各振型的地震影响系数139.0116.0216.03（3 3）计算各振型的振型参与系

60、数）计算各振型的振型参与系数363.11428.02063. 03（4 4）计算各振型各楼层的水平地）计算各振型各楼层的水平地震作用震作用ijjijjiGxFkN4 .167kN4 .334kN2 .334第一振型第一振型kN9 .1208 .9270)667.0()428.0(16.021F第二振型第二振型kN7 .1208 .9270)666.0()428.0(16.022FkN8 .1208 .9180000.1)428.0(16.023FkN8 .120kN7 .120kN9 .120第二振型第二振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。例：试用振型分解反应谱法计算