第三章第三节等比数列及其性质

1、1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并项和公式，并能能 解决简单的实际问题解决简单的实际问题. 思考探究思考探究 (1) 数列数列a，a2，a3，an，一定是等比数列吗？一定是等比数列吗？提示：提示：当当a0时，该数列不是等比数列时，该数列不是等比数列.提示：提示：b2ac是是a，b，c成等比数列的必要不充分条件成等比数列的必要不充分条件. 当当b0时，时，a，c至少有一个为至少有一个为0，此时，此时b2ac，但，但a，b，c不成等比数列，反之，若不成等比数列，反之，若a，b，c成等比，则必有成等比，则必有b2ac. (

2、2)b2ac是是a，b，c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？1.已知已知an是等比数列，是等比数列，a22，a5 ，则公比，则公比q() A. B.2 C.2 D.解析：解析：由通项公式及已知得：由通项公式及已知得：a1q2， a1q4 ， 由由 得得q3 ，解得，解得q答案：答案：D2.在正项等比数列在正项等比数列an中，中，a1和和a19为方程为方程x210 x160的的 两根，则两根，则a8a10a12() A.32 B.64 C.64 D.256解析：解析：由已知可得由已知可得a1a1916，而，而an为正项等比数列，为正项等比数列，所以所以a104.故故a8a10a12a

3、64.答案：答案：C3.在等比数列在等比数列an中，前中，前n项和为项和为Sn，若，若S37，S663，则公，则公 比比q的值是的值是 () A.2 B.2 C.3 D.3解析：解析：S3 63， 1q39，q38，q2.答案：答案：A4.在数列在数列an，bn中，中，bn是是an与与an1的等差中项，的等差中项，a12， 且对任意且对任意nN*，都有，都有3an1an0，则，则bn的通项公式的通项公式bn .解析：解析：a12,3an1an0，an是以是以2为首项，以为首项，以 为公比的等比数列，为公比的等比数列，ana1qn12又又bn是是an与与an1的等差中项，的等差中项，答案：答案：

4、5.若等比数列的公比为若等比数列的公比为2，且前，且前4项和为项和为1，则这个等比数，则这个等比数 列的前列的前8项和为项和为.解析：解析：由题意可知，由题意可知，S8S4a8a7a6a5q4(a1a2a3a4)24，所以前，所以前8项和等于项和等于17.答案：答案：17 等比数列的判定方法有：等比数列的判定方法有：1.定义法：若定义法：若 q(q为非零常数为非零常数)或或 q(q为非零常数为非零常数 且且n2)，则，则an是等比数列是等比数列.2.中项公式法：若数列中项公式法：若数列an中，中，an0且且a anan2(nN*)， 则数列则数列an是等比数列是等比数列.2n+13.通项公式法

5、：若数列通项公式可写成通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均为均为 不为不为0的常数，的常数，nN*)，则，则an是等比数列是等比数列.4.前前n项和公式法：若数列项和公式法：若数列an的前的前n项和项和Snkqnk(k为常为常 数且数且k0，q0,1)，则，则an是等比数列是等比数列.特别警示特别警示(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定而后两种方法常用于选择、填空中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可连续三

6、项不成等比即可. 数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若anSnn，cnan1.求证：数列求证：数列cn是等比数列是等比数列.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记a1S1，anSnn a1S11，得，得a1 ，c1a11 ，又又an1Sn1n1， 得得2an1an1，即即2(an11)an1，即即cn是以是以 为首项，以为首项，以 为公比的等比数列为公比的等比数列.若将若将“cnan1”改为改为“c1a1，且，且cnanan1(n2)”，试判断数列试判断数列cn是否还是等比数列？是否还是等比数列？ 解：解：由例题可知，由例题可知，2an1an1， 2anan11(n2)， 2(an1an)

7、anan1，即，即2cn1cn(n2).又又c1a1 ，a2S22，a2a1a22，即，即a2 ，c2a2a1数列数列cn是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列.1.在等比数列在等比数列an的通项公式和前的通项公式和前n项和公式中共有五个量：项和公式中共有五个量： a1，q，n，an，Sn，一般可以，一般可以“知三求二知三求二”，通过列方程组，通过列方程组 求解求解.2.在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数列在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数列 的性质，这样可以大大简化运算，提高效率的性质，这样可以大大简化运算，提高效率.特别警示特别警示在使用等比数列的

8、前在使用等比数列的前n项和公式时，应根据项和公式时，应根据公比公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目的取值而盲目套用求和公式套用求和公式. (2009辽宁高考辽宁高考)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn.已已知知S1，S3，S2成等差数列成等差数列.(1)求求an的公比的公比q；(2)若若a1a33，求，求Sn.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)依题意有依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2).由于由于a10，故，故2q2q0.又又q0，从而，从而q .(2)由已知可得由已知可得a1a1( )23，故故a14，从而从而Sn 1

9、( )n.83若将例题条件中的若将例题条件中的“S1，S3，S2成等差数列成等差数列”改为改为“a1，a3，a2成等差数列成等差数列”，试求，试求an的公比的公比q. 解：解：依题意有依题意有a1a1q2a1q2， 又又a10，1q2q2，解之得，解之得，q1或或q . 在等比数列中常用的性质有：在等比数列中常用的性质有：1.等比数列的单调性等比数列的单调性 设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q.(1)当当q1，a10或或0q1，a10时，数列时，数列an为递增数列；为递增数列；(2)当当q1，a10或或0q1，a10时，数列时，数列an为递减数列；为递减数列；(3)

10、当当q1时，数列时，数列an是是(非零非零)常数列；常数列；(4)当当q0时，数列时，数列an是摆动数列是摆动数列. 2.通项特征通项特征(1)等比数列的通项公式等比数列的通项公式ana1qn1可推广为可推广为anamqnm；(2)若若mnpq，则，则amanapaq(m，n，p，qN*)；(3)当当an是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之积是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之积 都相等，都等于首末两项之积都相等，都等于首末两项之积.3.前前n项和的性质项和的性质 设设Sn是等比数列是等比数列an的前的前n项和，则项和，则(1)Sn，S2nSn，S3nS2n满足关系式满足关系式(S

11、2nSn)2Sn(S3nS2n).(2)若数列若数列an的项数为的项数为2n，则，则 q，其中，其中S偶偶，S奇奇分别分别是数是数 列的偶数项之和与奇数项之和列的偶数项之和与奇数项之和.4.其他性质其他性质(1)若数列若数列an，bn是等比数列，是等比数列，c为常数，则为常数，则can， ， a ，|an|，anbn， 等也是等比数列等也是等比数列.(2)等比数列等比数列an中每隔中每隔k项取出一项，按原来的顺序排成一项取出一项，按原来的顺序排成一 个新数列，则该数列仍为等比数列个新数列，则该数列仍为等比数列.2n (1)已知等比数列已知等比数列an中，中，a1a2a37，a1a2a38，求，

12、求an；(2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个，后三个数成等比数列，其最后一个数为数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数，求此四个数.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)法一：法一：数列数列an为等比数列，为等比数列，a1a2a3a ，又又a1a2a38，a22，a1a35.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q，则则 解之得解之得q2或或 an22n2或或an2( )n2，即即an2n1或或an23n.32法二：法二：设设an的公比为的公比为q，由题意知，由题意知 解得解得an2n1或或an23n.(2)设前三个数分别为设前三个

13、数分别为ad，a，ad(d为公差为公差)，由题意知，由题意知，(ad)a(ad)48，解得解得a16.又又后三个数成等比数列，即后三个数成等比数列，即16,16d,25成等比数列，成等比数列，(16d)21625，解之得，解之得，d4，或，或d36.因四个数均为正数，故因四个数均为正数，故d36应舍去，应舍去，所以所求四个数依次是所以所求四个数依次是12,16,20,25. 以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义及相关性以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义及相关性质的应用以及以解答题的形式综合考查等差数列和等比数列质的应用以及以解答题的形式综合考查等差数列和等比数列的综合应用是高考对该部

14、分内容的常规考法的综合应用是高考对该部分内容的常规考法.09年山东高考将年山东高考将等比数列与指数函数相结合命题，既考查了等比数列的有关等比数列与指数函数相结合命题，既考查了等比数列的有关运算，又考查了数列的函数性质，题型新颖，考查了学生对运算，又考查了数列的函数性质，题型新颖，考查了学生对数学知识间横向联系的理解和应用，是一个新的考查方向数学知识间横向联系的理解和应用，是一个新的考查方向. 考题印证考题印证 (2009山东高考山东高考)(12分分)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知对任意的已知对任意的nN*，点，点(n，Sn)均在函数均在函数ybxr(b0且且b1，b，r均

15、为常数均为常数)的图象上的图象上.(1)求求r的值；的值；(2)当当b2时，记时，记bn (nN*)，求数列，求数列bn的前的前n项项和和Tn.【解解】(1)由题意，由题意，Snbnr，当当n2时，时，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，(2分分)由于由于b0且且b1，所以所以n2时，时，an是以是以b为公比的等比数列为公比的等比数列.又又a1br，a2b(b1)， b 解得解得r1.(4分分)(2)由由(1)知，知，nN*，an(b1)bn12n1，所以所以bn (6分分)两式相减得两式相减得 自主体验自主体验 已知已知f(x)是定义在是定义在R上的函数，上的函数，f(1)

16、1，且对任意，且对任意x1，x2R，总有，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立恒成立. (1)求证：函数求证：函数f(x)1是奇函数；是奇函数； (2)若对任意若对任意nN*，都有，都有an ，bnf( )1，求求Sna1a2a2a3anan1和和Tnb1b2b2b3bnbn1.解：解：(1)证明：令证明：令g(x)f(x)1(xR)，对任意对任意x1，x2R，总有，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立，恒成立，对任意对任意x1，x2R，总有，总有f(x1x2)1f(x1)1f(x2)1恒成立恒成立.即即g(x1x2)g(x1)g(x2)(x1，x2R)，令令x1x20，则

17、有，则有g(0)0.令令x1x，x2x(xR)，则有，则有g(0)g(x)g(x)0g(x)g(x)(xR)，故函数故函数f(x)1是奇函数是奇函数.(2)f(x1x2)f(x1)f(x2)1，f(n1)1f(n)f(1)f(n)2(nN*)，即数列即数列f(n)是以是以2为公差，为公差，1为首项的等差数列为首项的等差数列.f(n)2n1.Sn=a1a2+a2a3+anan+1Tn=b1b2+b2b3+bnbn+11.已知等比数列已知等比数列an满足满足a1a23，a2a36，则，则a7() A.64 B.81 C.128 D.243答案：答案：A解析：解析：an是等比数列，是等比数列， q

18、2，又，又a1a1q3，a11，那么，那么a7a1q612664.2.在等比数列在等比数列an中，已知中，已知a1a3a118，则，则a2a8等于等于() A.16 B.6 C.12 D.4解析：解析：由由a1a3a118a q128(q为公比为公比)，即，即a1q42，a2a8(a1q4)24.答案：答案：D313.已知已知2，a，b，c,4成等比数列，则实数成等比数列，则实数b等于等于 () A.2 B.2 C. D.8解析：解析：2，a，b，c,4成等比数列，成等比数列，b2248，b2 ，2，b,4同号，同号，b2 .答案：答案：A4.在正项数列在正项数列an中，中，a12，点，点( )(n2)在直线在直线x 0上，则数列上，则数列an的前的前n项和项和Sn.解析：解析：点点( )(n2)在直线在直线x 0上，上， 2(n2).an为公比为为公比为2的等比数列，的等比数列，又又a12，Sn 2n12.答案：答案：2n125.已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若Sn2， S2n14，则，则S3n等于等于.解析：解析：an为正项等比数列，为正项等比数列，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，成等比数列，(S2nSn