均值不等式的实际应用

1、例例1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，池元，池壁每壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总造元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造，水池的总造价为价为l元，根据题意，得元，根据题意，得)1600(720240000 xxl xx16002720240000 .2976000,40,1600有有最最小小值值时时即即当当lxxx 因此，

2、当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是总造价最低，最低总造价是297600元元. 297600402720240000 评述评述:此题既是不等式性质在实际中的应用，应注此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件的适用条件.用均值不等式解决本章引例中此类问题时，应按用均值不等式解决本章引例中此类问题时，应按如下步骤进行：如下步骤进行：(1)先理解题意先

3、理解题意,设变量设变量,设变量时一般把要求最大值设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题的最大值或最小值问题;(3)在定义域内在定义域内,求出函数的最大值或最小值求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案正确写出答案例例1.甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购次，每次的芯片价格不同，甲公司每

4、次购10000片片芯片，乙公司每次购芯片，乙公司每次购10000元元芯片，两次购芯片，芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。哪家公司平均成本低？请给出证明过程。分析：分析：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不元，列出甲、乙两公司的平均价格，然后利用不等式知识论证。等式知识论证。二、讲解范例：二、讲解范例：解：解： 设第一、二次购芯片的价格分别为每片设第一、二次购芯片的价格分别为每片a元和元和b元，元， 10000,200002abab 那那么么甲甲公公司司两两次次购购芯芯片片的的平平均均价

5、价格格为为元元 片片,112100001000020000片元均价格为乙公司两次购芯片的平baba,2故等号不成立不相等由于baabbaabbaba211211又abba112答：乙答：乙 公司平均成本较低。公司平均成本较低。APBHba例例4.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方下边缘分别在学生的水平视线上方a米和米和b米，问米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？APBHba则学生看黑板的视角为其中的夹角分别为水平视线下边缘与学生的黑板上米距黑板设学生解,:BPHAPHPHxP,

6、tan,tan由此可得由xbxaxabxbaxabxbxa21tantan1tantantan,tan,22最大时当且仅当因为abxabxabxxabx,为锐角由于,最大此时.时看黑板的视角最大即学生距墙壁 ab例三例三:一批救灾物资随一批救灾物资随26辆汽车从某市以辆汽车从某市以vkm/h的速度运往灾区的速度运往灾区,已知两地的公路已知两地的公路长为长为400km,为了安全起见两辆汽车的间为了安全起见两辆汽车的间距不得小于距不得小于(v/20)2km/h,那么这批物质那么这批物质全部云到灾区至少需要多少小时全部云到灾区至少需要多少小时?例四例四. 甲、乙两地相距甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过乙地，速度不得超过C千米千米/时，已知汽车每小时的运时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度可变部分与速度v（千米（千米/时）的平方成正比，比例系数时）的平方成正比，比例系数为为 b；固定部分为；固定部分为a元，元，（1）把全程运输成本）把全程运输成本y（元）表