高中全程复习方略配套离散型随机变量的均值与方差）ppt课件

1、第九节第九节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差三年三年2222考考 高考指数高考指数: :1.1.了解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念了解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. .2.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能处理一些实能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能处理一些实践问题践问题. .1.1.离散型随机变量的均值是高考调查的重点；离散型随机变量的均值是高考调查的重点；2.2.数形结合、分类讨论是处理均值与方差问题的重要思想方法；数形结合、分类讨论是处理均值与方差问题的重要思想方法；3.3.题型以解答题为主，常与分布列等知识综合调查题型

2、以解答题为主，常与分布列等知识综合调查. .离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差(1)(1)离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列的分布列Xa1a2aianPp1p2pipn(2)(2)离散型随机变量离散型随机变量X X的均值与方差的均值与方差均值均值( (数学期望数学期望) )方差方差计算计算公式公式作作用用反映了离散型随机变量反映了离散型随机变量X X取取值的值的_描写了随机变量描写了随机变量X X与其均与其均值值EXEX的的_EX_1122iia pa pa pnna pDX_n2iii 1aEXp“中心位置中心位置平均偏离程度平均偏离程度【即时运用】【即时运用】(1

3、)(1)思索：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎思索：随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数提示：随机变量的均值、方差是一个常数. .样本的均值、方差是样本的均值、方差是一个变量一个变量. .随着样本容量的添加，样本的均值、方差趋于随机变随着样本容量的添加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差量的均值、方差. .(2)(2)随机变量随机变量X X的分布列如表，那么的分布列如表，那么X X的数学期望是的数学期望是_._.【解析】由题知：【解析】由题知：0.20.20.50.5m m1 1，mm0.30.3，EXEX1 10.

4、20.22 20.50.53 30.30.32.1.2.1.答案：答案：2.12.1X X1 12 23 3P P0.20.20.50.5m m(3)(3)有一批产品，其中有有一批产品，其中有1212件正品和件正品和4 4件次品，从中任取件次品，从中任取3 3件，假件，假设设X X表示取到次品的个数，那么表示取到次品的个数，那么EXEX_._.【解析】【解析】X X的取值为的取值为0,1,2,30,1,2,3，那么，那么P(XP(X0)0)P(XP(X1)1)P(XP(X2)2)P(XP(X3)3)EXEX答案：答案： 312316C11C28；21124316C C33C70；1212431

5、6C C9C70；34316C1C140，3411339130123.2870701404(4)(4)甲、乙两工人在一天消费中出现废品数分别是两个随机变量甲、乙两工人在一天消费中出现废品数分别是两个随机变量X X、Y Y，其分布列分别为：，其分布列分别为：假设甲、乙两人的日产量相等，那么甲、乙两人中技术较好的假设甲、乙两人的日产量相等，那么甲、乙两人中技术较好的是是_._.X X0 01 12 23 3P P0.40.40.30.30.20.20.10.1Y Y0 01 12 2P P0.30.30.50.50.20.2【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为【解析】甲、乙一天中出现废品数的

6、均值分别为EXEX0 00.40.41 10.30.32 20.20.23 30.10.11 1，EYEY0 00.30.31 10.50.52 20.20.20.90.9，所以所以EXEYEXEY，故乙的技术较好故乙的技术较好. .答案：乙答案：乙 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差【方法点睛】【方法点睛】求离散型随机变量求离散型随机变量的均值与方差的方法的均值与方差的方法(1)(1)了解了解的意义，写出的意义，写出能够取的全部值；能够取的全部值；(2)(2)求求取每个值的概率；取每个值的概率；(3)(3)写出写出的分布列；的分布列；(4)(4)由均值的定义求由均值的定义求

7、EE；(5)(5)由方差的定义求由方差的定义求D.D.【例【例1 1】(2021(2021福建高考福建高考) )某产品按行业消费规范分成某产品按行业消费规范分成8 8个等个等级，等级系数级，等级系数X X依次为依次为1,21,2，8 8，其中，其中X5X5为规范为规范A A，X3X3为规范为规范B B，知甲厂执行规范，知甲厂执行规范A A消费该产品，产品的零售价为消费该产品，产品的零售价为6 6元元/ /件；乙厂执行规范件；乙厂执行规范B B消费该产品，产品的零售价为消费该产品，产品的零售价为4 4元元/ /件，件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行规范假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行规

8、范(1)(1)知甲厂产品的等级系数知甲厂产品的等级系数X1X1的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：且且X1X1的数学期望的数学期望E(X1)=6E(X1)=6，求，求a a，b b的值；的值；X X1 15 56 67 78 8P P0.40.4a ab b0.10.1(2)(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2X2，从该厂消费的产品中随机抽，从该厂消费的产品中随机抽取取3030件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 43 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8

9、 5 36 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 78 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数级系数X2X2的数学期望的数学期望. .(3)(3)在在(1)(1)、(2)(2)的条件下，假设以的条件下，假设以“性价比为判别规范，那么性价比为判别规范，那么哪个工厂的产品更具可购买性？阐明理由哪个工厂的产品更具可购买性？阐明理由. .注：注：(1)(1)产品的产品的“性价比性价比= = (2)(2)“性价比大的产品更具可购买性性价比大的产品更具可购买性. .

10、产品的等级系数的数学期望；产品的零售价【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用期望公式和利用期望公式和EX1=6EX1=6以及分布列中的一切概以及分布列中的一切概率和为率和为1 1，联立关于，联立关于a,ba,b的方程组，解方程组求得的方程组，解方程组求得a,ba,b的值；的值；(2)(2)根据题中提供的数据，列等级系数根据题中提供的数据，列等级系数X2X2的概率分布列，再利用的概率分布列，再利用期望公式求期望；期望公式求期望；(3)(3)根据根据“性价比公式求两工厂的产品的性价比，性价比公式求两工厂的产品的性价比，“性价比大性价比大的产品更具可购买性的产品更具可购买性. .【规范解答】【规范

11、解答】(1)(1)由于由于EX1EX16,6,所以所以5 50.4+6a+7b+80.4+6a+7b+80.1=6,0.1=6,即即6a+7b=3.26a+7b=3.2，又由又由X1X1的概率分布列得的概率分布列得0.4+a+b+0.1=10.4+a+b+0.1=1即即a+b=0.5.a+b=0.5.由由 ，解得，解得6a7b3.2ab0.5a0.3.b0.2(2)(2)由知得，样本的频率分布表如下：由知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数等级系数X2X2的概率分布列如下：的概率分布列如下

12、：所以所以EX2=3EX2=30.3+40.3+40.2+50.2+50.2+60.2+60.1+70.1+70.1+80.1+80.1=4.8,0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.4.8.X X2 23 34 45 56 67 78 8f f0.30.30.20.20.20.20.10.10.10.10.10.1X X2 23 34 45 56 67 78 8P P0.30.30.20.20.20.20.10.10.10.10.10.1(3)(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：由于甲厂产品的等级

13、系数的数学期望等于由于甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,6,价钱为价钱为6 6元元/ /件，件，所以其性价比为所以其性价比为由于乙厂产品的等级系数的数学期望等于由于乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,4.8,价钱为价钱为4 4元元/ /件，件，所以其性价比为所以其性价比为 =1.2.=1.2.所以乙厂的产品更具可购买性所以乙厂的产品更具可购买性. .61.64.84【反思【反思感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的分布列求出随机变量的分布列. .求离散型随机变量的分布列时要留意两求离散型随机变量的分布列时要留意两个问题：

14、一是求出随机变量一切能够的值；二是求出取每一个个问题：一是求出随机变量一切能够的值；二是求出取每一个值时的概率值时的概率. .求概率时，要留意概率类型确实定与转化，如古典求概率时，要留意概率类型确实定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n n次独次独立反复实验有立反复实验有k k次发生的概率等次发生的概率等. .【变式训练】在一次电视节目的抢答中，题型为判别题，只需【变式训练】在一次电视节目的抢答中，题型为判别题，只需“对和对和“错两种结果，其中某明星判别正确的概率为错两种结果，其中某明星判别正确的概率为p p，判别

15、错误的概率为判别错误的概率为q q，假设判别正确那么加，假设判别正确那么加1 1分，判别错误那么减分，判别错误那么减1 1分，分，现记现记“该明星答完该明星答完n n题后总得分为题后总得分为SnSn.(1).(1)当当p=q= p=q= 时，记时，记=|S3|=|S3|，求，求的分布列及数学期望及方差；的分布列及数学期望及方差；(2)(2)当当 时，求时，求S8=2S8=2且且Si0(i=1,2,3,4)Si0(i=1,2,3,4)的概率的概率. .1212p,q33【解析】【解析】(1)=|S3|(1)=|S3|的取值为的取值为1 1，3 3，又，又故故P(=1)=P(=1)=P(=3)=P

16、(=3)=所以所以的分布列为：的分布列为：且且E=E=D=D=1pq2；1231132C ( ) ( )224，33111( )( ).2241 13 3P P143431313442 ；2233313(1)(3).24244(2)(2)当当S8=2S8=2时，即答完时，即答完8 8题后，回答正确的题数为题后，回答正确的题数为5 5题，回答错误题，回答错误的题数是的题数是3 3题，又知题，又知Si0(i=1,2,3,4)Si0(i=1,2,3,4)，假设第一题和第二题回，假设第一题和第二题回答正确，那么其他答正确，那么其他6 6题可恣意答对题可恣意答对3 3题；假设第一题和第三题回题；假设第一

17、题和第三题回答正确，第二题回答错误，那么后答正确，第二题回答错误，那么后5 5题可恣意答对题可恣意答对3 3题题. .此时的概率为此时的概率为P=P=335365871230 880(CC ) ( )( ).3333【变式备选】如图，一个小球从【变式备选】如图，一个小球从M M处投入，经过管道自上而下落处投入，经过管道自上而下落入入A A或或B B或或C.C.知小球从每个叉口落入左右两个管道的能够性是相知小球从每个叉口落入左右两个管道的能够性是相等的等的. .某商家按上述投球方式进展促销活动，假设投入的小球落某商家按上述投球方式进展促销活动，假设投入的小球落到到A A，B B，C C，那么分别

18、设为，那么分别设为1,2,31,2,3等奖等奖. .(1)(1)知获得知获得1,2,31,2,3等奖的折扣率分别为等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.50%,70%,90%.记随机变量记随机变量为获得为获得k(kk(k1,2,3)1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量等奖的折扣率，求随机变量的分布列及的分布列及期望期望EE；(2)(2)假设有假设有3 3人次人次( (投入投入1 1球为球为1 1人次人次) )参与促销活动，记随机变量参与促销活动，记随机变量为获得为获得1 1等奖或等奖或2 2等奖的人次，求等奖的人次，求P(P(2).2).【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得的分布列

19、为的分布列为那么那么EE(2)(2)由由(1)(1)可知，获得可知，获得1 1等奖或等奖或2 2等奖的概率为等奖的概率为 . .由题意由题意得得B(3B(3， ) )，那么，那么P(P(2)2)50%50%70%70%90%90%P P31638716337350%70%90%.16816433916816 916223991 701C () (1).16164 096 与二项分布有关的期望与方差与二项分布有关的期望与方差【方法点睛】【方法点睛】与二项分布有关的期望与方差的求法与二项分布有关的期望与方差的求法(1)(1)求随机变量求随机变量的期望与方差时，可首先分析的期望与方差时，可首先分析能

20、否服从二项能否服从二项分布，假设服从分布，假设服从B(n,p)B(n,p)，那么用公式，那么用公式E=np,D=np(1-p)E=np,D=np(1-p)求求解，可大大减少计算量解，可大大减少计算量. .(2)(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合运用一随机变量服从二项分布，这时，可以综合运用E(a+b)=E(a+b)=aE+baE+b以及以及E=npE=np求出求出E(a+b)E(a+b)，同样还可求出，同样还可求出D(a+b).D(a+b).【提示】【提示】 E(a+b)=aE+b

21、 E(a+b)=aE+b，但留意，但留意D(a+b)aD+bD(a+b)aD+b，D(a+b)aD. D(a+b)aD. 【例【例2 2】(2021(2021洛阳模拟洛阳模拟) )某商场在某商场在“五一节期间搞促销活五一节期间搞促销活动，决议从动，决议从1 1种品牌的洗衣机，种品牌的洗衣机，3 3种品牌的电视机和种品牌的电视机和2 2种品牌的种品牌的电冰箱中，选出电冰箱中，选出3 3种品牌的商品进展促销种品牌的商品进展促销. .(1)(1)求选出的求选出的3 3种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率；种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率；(2)(2)该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案，

22、即在该商该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案，即在该商品现价的根底上先将价钱提高品现价的根底上先将价钱提高200200元，同时，假设顾客购买该商元，同时，假设顾客购买该商品，那么允许有品，那么允许有3 3次抽奖的时机，假设中奖，那么每次中奖都获得次抽奖的时机，假设中奖，那么每次中奖都获得a a元元奖金，假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是奖金，假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 ，设顾客在三次，设顾客在三次23抽奖中所获得的奖金总额抽奖中所获得的奖金总额( (单位：元单位：元) )为随机变量为随机变量，求，求的分的分布列；布列；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，问该商场假想象采用此促销方案获

23、利，那的条件下，问该商场假想象采用此促销方案获利，那么每次中奖奖金要低于多少元？么每次中奖奖金要低于多少元？【解题指南】在【解题指南】在(1)(1)中利用对立事件求；在中利用对立事件求；在(2)(2)中利用二项分布中利用二项分布求解；在求解；在(3)(3)中利用两个随机变量的关系，比较期望即可中利用两个随机变量的关系，比较期望即可. .【解析】【解析】(1)(1)从总共从总共6 6种型号的商品中选出种型号的商品中选出3 3种型号的商品一共种型号的商品一共有有 =20=20种选法种选法. .选出的选出的3 3种型号的商品中没有电冰箱的选法有种型号的商品中没有电冰箱的选法有 =4=4种，种，所以选

24、出的所以选出的3 3种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率为：种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率为：36C34C3456C44P11.C205 (2)(2)设中奖的次数为设中奖的次数为，那么，那么B(3B(3， ) )，的分布列为：的分布列为：230 0a a2a2a3a3aP P8271227627127(3)(3)由由B(3B(3， ) )，E=2E=2，又，又=a=a，E=2a,E=2a,要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此低于商场的提价数额，因此2a2a200200，aa100.100.

25、故每次中奖奖金要低于故每次中奖奖金要低于100100元，才干使促销方案对商场有利元，才干使促销方案对商场有利. .23【反思【反思感悟】感悟】是随机变量是随机变量, ,那么那么=f()=f()普通也是随机变量普通也是随机变量, ,在求在求的均值和方差时的均值和方差时, ,熟练运用均值和方差的性质熟练运用均值和方差的性质, ,可以防止可以防止再求再求的分布列带来的繁琐运算的分布列带来的繁琐运算. .【变式训练】【变式训练】(2021(2021深圳模拟深圳模拟) )为了评价天气对大运会的影响，为了评价天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气候局经过对最近制定相应预案，深圳市气候局经过对最近505

26、0多年的气候数据资多年的气候数据资料的统计分析，发现料的统计分析，发现8 8月份是深圳市雷电天气顶峰期，在月份是深圳市雷电天气顶峰期，在3131天中天中平均发生雷电平均发生雷电14.5714.57天天( (如图如图).).假设用频率作为概率的估计值，假设用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立 . .(1)(1)求在大运会开幕求在大运会开幕(8(8月月1212日日) )后的前后的前3 3天竞赛中，恰好有天竞赛中，恰好有2 2天发天发生雷电天气的概率生雷电天气的概率( (准确到准确到0.01)0.01)；(2)(2)设大运会

27、期间设大运会期间(8(8月月1212日至日至2323日，共日，共1212天天) )，发生雷电天气的，发生雷电天气的天数为天数为X X，求，求X X的数学期望和方差的数学期望和方差. .【解析】【解析】(1)(1)设设8 8月份一天中发生雷电天气的概率为月份一天中发生雷电天气的概率为p1,p1,由知由知由于每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大由于每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前运会开幕后的前3 3天竞赛中，恰好有天竞赛中，恰好有2 2天发生雷电天气的概率天发生雷电天气的概率=0.351 2310.35.=0.351 2310.35.114.57p0.

28、47.312223pC0.47(1 0.47)(2)(2)由知由知XB(12,0.47).XB(12,0.47).所以，所以，X X的数学期望的数学期望EX=12EX=120.47=5.64.0.47=5.64.X X的方差的方差DX=12DX=120.470.47(1-0.47)=2.989 2.(1-0.47)=2.989 2. 均值与方差的实践运用均值与方差的实践运用【方法点睛】【方法点睛】均值与方差的实践运用均值与方差的实践运用(1)DX(1)DX表示随机变量表示随机变量X X对对EXEX的平均偏离程度，的平均偏离程度，DXDX越大阐明平均偏越大阐明平均偏离程度越大，阐明离程度越大，阐

29、明X X的取值越分散；反之，的取值越分散；反之，DXDX越小，越小，X X的取值越的取值越集中在集中在EXEX附近附近. .(2)(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均程度，方差反映随机变量的均值反映了随机变量取值的平均程度，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上描写了随了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上描写了随机变量，是消费实践中用于方案取舍的重要的实际根据，普通机变量，是消费实践中用于方案取舍的重要的实际根据，普通先比较均值，假设均值一样，再用方差来决议先比较均值，假设均值一样，再用方差来决议. . 【例【例3 3】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下

30、发生的概】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为率为0.30.3，一旦发生，将呵斥，一旦发生，将呵斥400400万元的损失万元的损失. .现有甲、乙两种相现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用互独立的预防措施可供采用. .单独采用甲、乙预防措施所需的费单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为用分别为4545万元和万元和3030万元，采用相应预防措施后此突发事件不万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为发生的概率为0.90.9和和0.85.0.85.假设预防方案允许甲、乙两种预防措假设预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、结合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最施单独采

31、用、结合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少少.(.(总费用总费用= =采取预防措施的费用采取预防措施的费用+ +发生突发事件损失的期望值发生突发事件损失的期望值) )【解题指南】要确定预防方案的总费用应分别计算出采取预防【解题指南】要确定预防方案的总费用应分别计算出采取预防措施的费用和发生突发事件损失的均值措施的费用和发生突发事件损失的均值. .可从可从“不采取预防措施不采取预防措施、“单独采取预防措施甲、单独采取预防措施甲、“单独采取预防措施乙、单独采取预防措施乙、“结合结合采取甲、乙两种预防措施四种情况思索采取甲、乙两种预防措施四种情况思索. .【规范解答】不采取预防措施时，总费用即

32、损失期望为【规范解答】不采取预防措施时，总费用即损失期望为4004000.3=120(0.3=120(万元万元) )；假设单独采取预防措施甲，那么预防措施费用为假设单独采取预防措施甲，那么预防措施费用为4545万元，发万元，发生突发事件的概率为生突发事件的概率为1 10.9=0.10.9=0.1，损失期望值为，损失期望值为4004000.1=40(0.1=40(万万元元) )，所以总费用为，所以总费用为45+40=85(45+40=85(万元万元) )；假设单独采取预防措施乙，那么预防措施费用为假设单独采取预防措施乙，那么预防措施费用为3030万元，发万元，发生突发事件的概率为生突发事件的概率

33、为1 10.85=0.150.85=0.15，损失期望值为，损失期望值为4004000.15=60(0.15=60(万元万元) )，所以总费用为，所以总费用为30+60=90(30+60=90(万元万元) )；假设结合采取甲、乙两种预防措施，那么预防措施费用为假设结合采取甲、乙两种预防措施，那么预防措施费用为45+30=75(45+30=75(万元万元) )，发生突发事件的概率为，发生突发事件的概率为(1(10.9)(10.9)(10.85)=0.0150.85)=0.015，损失期望值为，损失期望值为4004000.015=6(0.015=6(万元万元) )，所以总费用，所以总费用为为75+

34、6=81(75+6=81(万元万元).).综合、，比较其总费用可知，选择结合采取甲、综合、，比较其总费用可知，选择结合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少乙两种预防措施，可使总费用最少. .【反思【反思感悟】处理此类标题的关键是正确了解随机变量取每感悟】处理此类标题的关键是正确了解随机变量取每一个值所表示的详细事件，求得该事件发生的概率一个值所表示的详细事件，求得该事件发生的概率. .对于实践问对于实践问题要经过分析题意笼统出详细的数学模型来求解题要经过分析题意笼统出详细的数学模型来求解. .【变式训练】某慈悲机构举行一次募捐上演，有一万人参与，【变式训练】某慈悲机构举行一次募捐上演，有一万

35、人参与，每人一张门票，每张每人一张门票，每张100100元元. .在上演过程中交叉抽奖活动在上演过程中交叉抽奖活动. .第一轮第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取抽奖从这一万张票根中随机抽取1010张，其持有者获得价值张，其持有者获得价值1 0001 000元的奖品，并参与第二轮抽奖活动元的奖品，并参与第二轮抽奖活动. .第二轮抽奖由第一轮获奖者第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数独立操作按钮，电脑随机产生两个数x x，y(xy(x，y1,2,3)y1,2,3)，随，随即按如下图程序框图运转相应程序即按如下图程序框图运转相应程序. .假设电脑显示假设电脑显示“中奖，那中奖，那

36、么抽奖者获得么抽奖者获得9 0009 000元奖金；假设电脑显示元奖金；假设电脑显示“谢谢，那么不中谢谢，那么不中奖奖. .(1)(1)知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；的概率；(2)(2)假设小叶参与了此次活动，求小叶参与此次活动收益的期望；假设小叶参与了此次活动，求小叶参与此次活动收益的期望；(3)(3)假设此次募捐除奖品和奖金外，不计其他支出，该机想象获假设此次募捐除奖品和奖金外，不计其他支出，该机想象获得得9696万元的慈悲款万元的慈悲款. .问该慈悲机构此次募捐能否能到达预期目的？问该慈悲机构此次募捐能否能

37、到达预期目的？【解析】【解析】(1)(1)从从1 1，2 2，3 3三个数字中有反复地取三个数字中有反复地取2 2个数字，其根本个数字，其根本事件有事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)(3,3)共共9 9个，设个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖为事件小曹在第二轮抽奖中获奖为事件A A，且事件，且事件A A所包含的根身手件有所包含的根身手件有(3,1),(3,3)(3,1),(3,3)共共2 2个，个， 2P A.9(2)(2)设

38、小叶参与此次活动的收益为设小叶参与此次活动的收益为，的能够取值为的能够取值为-100,900,9 900.-100,900,9 900.P(=9 900)= P(=9 900)= 的分布列为的分布列为E=E=999177P(100),P(900)1 0001 000 99 000 ，122.1 000 99 000-100-1009009009 9009 900P P29 00079 0009991000999721009009 90097.1 0009 0009 000 (3)(3)由由(2)(2)可知，购票者每人收益期望为可知，购票者每人收益期望为-97.-97.有一万人购票，除奖金和奖品

39、外，不计其他支出，有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其他支出，该机构此次收益期望为该机构此次收益期望为979710 000=970 00010 000=970 000元元=97=97万元，万元，97969796，该慈悲机构此次募捐能到达预期目的该慈悲机构此次募捐能到达预期目的. . 【总分值指点】离散型随机变量均值问题的规范解答【总分值指点】离散型随机变量均值问题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021天津高考天津高考) )学校游园活动有这样一个游学校游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有戏工程：甲箱子里装有3 3个白球、个白球、2 2个黑球，乙箱子里装有个黑球，乙

40、箱子里装有1 1个白个白球、球、2 2个黑球，这些球除颜色外完全一样，每次游戏从这两个箱个黑球，这些球除颜色外完全一样，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出子里各随机摸出2 2个球，假设摸出的白球不少于个球，假设摸出的白球不少于2 2个，那么获个，那么获奖奖.(.(每次游戏终了后将球放回原箱每次游戏终了后将球放回原箱) )(1)(1)求在求在1 1次游戏中，次游戏中，摸出摸出3 3个白球的概率；个白球的概率；获奖的概率；获奖的概率；(2)(2)求在求在2 2次游戏中获奖次数次游戏中获奖次数X X的分布列及数学期望的分布列及数学期望EX.EX.【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据古典概型、互斥事

41、件的概率公式求解；根据古典概型、互斥事件的概率公式求解；(2)(2)先求出独立事件的概率，再求数学期望先求出独立事件的概率，再求数学期望. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设“在在1 1次游戏中摸出次游戏中摸出i i个白球为事件个白球为事件Ai(i=0,1,2,3),Ai(i=0,1,2,3),那么那么22分分设设“在在1 1次游戏中获奖为事件次游戏中获奖为事件B B，那么，那么B=A2A3B=A2A3，又，又 4 4分分且且A2A2，A3A3互斥，互斥，所以所以P(B)=P(A2)+P(A3)= 6P(B)=P(A2)+P(A3)= 6分分213232253CC1P A.CC5211

42、2133222222225353CC CCC1P ACCCC2，117.2510(2)(2)由题意可知由题意可知X X的一切能够取值为的一切能够取值为0 0，1 1，2.72.7分分 10 10分分所以所以X X的分布列是的分布列是X X的数学期望的数学期望EX= 12EX= 12分分212797721P X0(1)P X1C(1)10100101050，2749P X2().10100X X0 01 12 2P P4910021509100921497012.100501005 【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以

43、下失分警示与备考建议：得到以下失分警示与备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)求求A A2 2的概率时，遗漏两个事件的概率时，遗漏两个事件“甲中两白乙中两甲中两白乙中两黑黑”“”“甲中一白一黑，乙中一白一黑甲中一白一黑，乙中一白一黑”当中的一个事当中的一个事件，从而求错概率而失分件，从而求错概率而失分. .(2)(2)在求期望时，不能正确确定在求期望时，不能正确确定X X的取值或取每一个值的取值或取每一个值的概率求错致使分布列计算不准确而失分的概率求错致使分布列计算不准确而失分. .备备考考建建议议解决均值与方差问题时，还有以下几

44、点容易造成失分，解决均值与方差问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)对二项分布不能正确理解，错误使用二项分布的对二项分布不能正确理解，错误使用二项分布的期望与方差公式；期望与方差公式；(2)(2)审题不清、事件类型判断不明导致错误审题不清、事件类型判断不明导致错误. .1.(20211.(2021浙江高考浙江高考) )某毕业生参与人才招聘会，分别向甲、乙、某毕业生参与人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为，

45、得到乙、丙两公司面试的概率均为p p，且三个公司，且三个公司能否让其面试是相互独立的能否让其面试是相互独立的. .记记X X为该毕业生得到面试的公司个为该毕业生得到面试的公司个数数. .假设假设P(X=0)= P(X=0)= ，那么随机变量，那么随机变量X X的数学期望的数学期望EX=_.EX=_.23112【解析】由【解析】由P(X=0)= P(X=0)= 可得可得从而从而P(X=1)= P(X=1)= P(X=2)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=3)=所以所以EX= EX= 答案：答案： 21(1) 1p 1p3121p,2212221211( )(1) C ( )32323，122221215C ( )(1) ( )323212，2211( ).32653115150123.1231263 2.(20212.(2021上海高考上海高考) )马教师从课本上抄录一个随机变量马教师从课本上抄录一个随机变量的概的概率分布列如下表：率分布列如下表：请小牛同窗计算请小牛同窗计算的数学期望的数学期望. .虽然虽然“！处完全无法看清，且！处完全无法看清，且两个两个“