1987----2005年考研线性代数试题汇编

1、1987-20051987-2005年考研线性代数试题汇编题后方寸S号内口的数字分别表示数学（一），数学（二），数学（三），数学（四）。例如一， 表示此题在数学（一），数学（二）中均有。19871987年试题一填空题（每小题3分）（1）设三维向量空间的一组基底为由=（1,1,0）,口2=（1,0,1）,口3=（0,1,1）,则向量P=（2,0,0）在此基底下的坐标是选择题（每小题3分）（1）设n阶方阵A的伴随矩阵为A*且冏=a*0,则|A|=(A)a(B)1(C)an,(D)aa三本题满分4分301设AB=A+2B，且A=110,求B。014_四本题满分8分X+X2+X3+X4=0Xc+2x_

2、+2x,=1问a,b为何值时，线性方程组234无解，有唯一解，有无穷多解；并求_x+(a-3)X2-2X4b3x1+2X2+X3+aX4=-1有无穷多解时的通解19881988年试题一填空题（每小题3分）（1）由4维列向量构成4阶方阵A=（%2,尸314）,B=（PJ2J3/4）且|A|=4,|B|=1,WJ|A+B|=.。二选择题（每小题3分）（1）n维向量组42,1Ms（3sn）线性无关的充要条件是-。(A)存在一组不全为零的数ki*2,ks,使k%+k2a2+ks0fs丰0(B)ai,2,.,ccs中的任意两个向量均线性无关(C)四户2，,冬中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)口1

3、,口2，9s中的任意一个向量都不能用其余向量线性表示三(本题满分6分)四(本题满分8分)010相似，求(1)x,y的值；(2)满足P,AP=B的可逆阵P11989年试题一填空题(每小题3分)300100(1)设矩阵A=140,1=010,则逆矩阵(A-2I)-1=。一003-P01_二选择题(每小题3分)(1)设A是4阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中-。(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量是其余向量的线性组合一三(本题满分6分)问K为何值时，线性方程组XIX3=0)通过正交变换化成标准型f=y：+2y22+5y32,求参

4、数a及所用的正交变换矩阵。四(本题满分6分)(D)4：一，二组线性无关。五（本题满分5分）已知R3的两个基为:二1994年试题一填空题（每小题3分）1 1（1）已知口=（1,2,3）,P=（1,），设A=口P,其中支是ot的转置，则A=02 3二选择题（每小题3分）（1）已知向量组2p3,口4线性无关，则向量组。（A）%十12,口2十口3,口3十口444+5线性无关（B）%-2,2-3,3-4,4“线性无关（A）%+“2,豆2十口343+a4,口4一支1线性无关（A）%+12,%+口3尸3一口444一%线性无关一三（本题满分8分）设四元组线性齐次方程组（I）为x1+x2=0,又已知某线性齐次方

5、程组（R）的通解为、x2-x4=0k1（0,1,1,0）+k2（1,221）。（1）求线性方程组（I）的基础解系；（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解；若没有则说明理由。一设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，其中nm,I是n阶单位矩阵，若AB=I,证明B的列向量，二JJ一11-111Jj-11Jj-21一 31口102,口3到基3,22,P3的过渡矩阵四（本题满分6分）设A是n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵,填空题（每小题3分）一二则必有a11a12a131一a21a22a23-0101一1001(1)设A=a21a22a23,B=a

6、11a12a13,P1=100,P2二=0101a31a32a33_a31*a11a32.a12a33*a13_00 1-101-选择题（每小题3分)当A=AT时，证明冏*0。一1995年试题（1）设三阶方阵A,B满足关系式ABA=6A+BA,且A=B=o一1(2)设A=2-3010,A是A的伴随矩阵，则(A四,五（本题满分7分）(A)AP1P2=B(B)AP2Pl=B(C)P1P2A=B(D)P2P1A二B，二(2)设矩阵Am珀的秩为R（A）=mn,Im为m阶单位阵,下属结论中正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA=0,则B=

7、0(D)A通过初等行变换，必可化为（4。）的形式(E) 非齐次线性方程组AX力一定有无穷多组解四，五设三阶实对称矩阵A的特征值为7M=-1,九2=九3=1,对应于儿的特征向量为s1=(0,1,1)T,求Ao一，二四(本题满分6分)设A是n阶矩阵，满足AAT=I(I是n阶单位阵，AT是A的转置矩阵)，|A|0,求|A+I|。一,二五(本题满分7分)x13x22x3x4=1设x2+ax3-ax4=-1问a为何值时方程组有解？并在有解时求出方程组得通解。二x12x23x4=3六(本题满分8分)7Ml+x2+x3=九-3对于线性方程组及1+九x2+x3=-2，讨论人取何值时，方程组无解，有唯一解和有无

8、穷多x1x2入9-2组解。在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。四七(本题满分8分)设三阶矩阵A满足A5=i%(i=1,2,3)，其中列向量%=(1,2,3)T,%=(2,-2,1)T网=(-2,-1,2)T,试求矩阵A。四八(本题满分9分)已知向量组(I)%,戊2,%;(II)%,仪203,仪4;(III)%,值2。3,外,如果各向量组的秩分别为R=R(II)=3,R(III)=4。证明：向量组ot1P2p3，口5-口4的秩为4。五九(本题满分10分)已知二次型f(XI,X2,X3)=4x22-3x324XIX2-4XIX38x2x3(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)

9、用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵。五1996年试题一填空题(每小题3分)(1)设A是4父3矩阵，且A的秩r(A)=2,则r(AB)=。一，二一111.11一XII一11a1a2a3anX212a12a22a32an,X=X3,B=1.9a2a3.aniixn1-10(2)设A=B的解是0022103-1而B=0ATX其中aiwaj,(i*j;i,j=1,2,， 可， 则线性方程组四(3)五阶行列式D=1a-1000a1-a-100选择题(每小题3分)(1)四阶行列式a100b40b2a30(A)aa2a3a4-bb2b3b4(B)aa2a3a4b1b2b3b4(C)(a-b

10、b2)(a3a4-b3b4)(D)(a2a3-b2b3)(a1a4-bh)(2)(A)(C)a-10b100a4a1-a-1的值等于-。，二设n阶矩阵A非奇异(n2),An22(A)WA|二A是矩阵A的伴随矩阵, 则-。(B)(D)(3)设有任意两个n维向量组，m(A*)*=|A|n1An=2(A)=|A|2A四，五和3,Pm，若存在两组不全为零的数九,勾和灯*2，km,使(%+k1)c(1+(*+km内m+(A-kJP1十十(院一心凡=0,则(A)%,0m和瓦,及都线性相关(B)%,Ctm和Bi,除都线性无关(CCti+%,1+Bm,%一。，,CCm线性无关(D)%+Bi,Ctm+%,%一4

11、,小一心线性相关四，五三(本题满分6分)设A=I-ssT,其中I是n阶单位矩阵，s是n维非零列向量，sTs=1时，A是不可逆矩阵。一，二四(本题满分8分)已知二次型f(xi,X2,X3)=5x：十5x22+cx32-2x1X2+6x1X36x2X3的秩为2。(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f(x=x2,X3)=1表示何种二次曲线一，二五(本题满分6分)X1X2X5=0求齐次线性方程组以1+X2-X3=0的基础解系X3+X4+X5=0二六(本题满分8分)0、，-,1设矩阵A=001000000y1012(1)已知A的特征值为3,试求V；(2)求矩阵P,使(AP)T(AP)

12、为对角矩阵。四七(本题满分8分)设向量%,4,%是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量P不是方程组AX=0的解,即APW。,试证明：向量组口，B+%,B,，P+5线性无关。四八(本题满分9分)x1x2-2x33x4=02x1x2-6x34x4口已知线性方程组12343x12x2px37x4x1_x2-6x3_x4=t有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。-1讨论参数P，t取何值时，方程组有解,一无解；当九(本题满分7分)设有4阶方阵A满足条件|3I+A|=0,AAT矩阵A*的一个特征值。1997填空题(每小题12(1)设A=4t3-13分)-231五=2I,|A|0,其中I是4阶单位去

13、阵，求方阵A的伴随五年试题,B为三阶非零矩阵，且AB=0则1=一(2)已知向量组1=(1,2,-1,1),2=(2Q,t,0)3=(0,4,5,2)的秩为2,则t=(3)若二次型f(X1,X2,X3)=2X12x2+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是(4)设n阶矩阵A一。111111三,则|A|二四选择题(每小题13分)(1)设巴a2a31一bb2”31C1C2,则三条直线31a1xb1yC1a2xb2yC2a3xb3yC3二0二0二0(其中ai2+bjw0,i=1,2,3)点的充要条件是(A)%,%,。3线性相关(B)%,%,。3线性无关(C)秩(4,”与)=秩(61，

14、。2)(D)口1,口2,仪3线性相关，口1,豆2，汽3线性无关(2)设向量组,口203线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A):,一 0二Q-：-.112123131(B)?1?2,：2：3,：-12：23(C);i2：2,2：23：3,3：311(D):1卜二2-二321-31222:3,3：15:2-5：3(3)设A,B为同阶可逆矩阵，则(A)AB=BA(B)存在可逆矩阵P,使P。AP-B(C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B(A) r=m时，方程组AX=b有解(B) r=n时，方程组AX=b有唯一解(C) m=n时，方程组AX=b有唯一解(D) r3)阶方阵，A*(A)kA(B)kn-

15、1A*重合异面是其伴随矩阵,又k为常数，且吐0,1,则必有(kA)=(C)knA*(D)k-1A*(3)齐次线性方程组81XI+入x2+x3=0的系数矩阵记为则-。(A)九=-2且|B|=0(B)儿=2且|B|W0(C)-=1且|B|=0(D)九=1且|B户0(4)设n(n3)阶矩阵A(A)(B)(C)-1(5)(A)(B)(C)(D)A,若存在三阶矩阵Bw0使得AB=0一1a若矩阵A的秩为n-1,则a必为1-n1(D)n-1若向量组u,PG线性无关;U必可由P,工6线性表示P必不可由3J8线性表示6必可由a,P,线性表示6必不可由口，P线性表示(本题满分6分)jPM线性相关，则四已知二次曲面

16、方程x2ay2z22bxy-2xz-2yz=4可以经过正交变换|yzJ化为椭圆柱面方程”2+4，=4,求a,b的值和正交矩阵Po四(本题满分4分)设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量a,且Ak%W0,证明向量组5A%,Ak%是线性无关的五(本题满分5分)aiXi+a2X2+.+a1，2nx2n=0已知线性方程组(I)a1+a22X2.*a2,2nX2n=的一个基础解系为01瓦,.,“,一,ian1X1*an2X2+an,2nx2n=0(b2i,b22,.,b2,2nF,.,(bn1,bn2,.,bn,2n)T。试写出线性方程组(II)上1以1+b12y2+.+b1，2

17、ny2n=0b21y1b22y2.b2,2ny2n=0bn1y1bn2y2.bn,2ny2n=0的通解，并说明理由。六(本题满分5分)设(2ECB)AT=C,其中E是4阶单位矩阵,八(本题满分9分)设向量a=(a1,a2,.,an)T,B=(b1,b2,.,bn)T都是非零向量，且满足条件邛=0,记n阶矩阵A=uPT,求(1)A2;(2)矩阵A的特征值和特征向量。九(本题满分7分)AT是4阶矩阵A的转置矩阵。B=一1002100-3210-2_321C=一10210002101021七(本题满分8分)(1,4,0,2)T,：2=(2,7,1,3):、=(0,1,1,a)T,P=(3,10,b,

18、4)T,问(1)a,b取何值时,口不能由%,CC2P3线性表示?(2)a,b取何值时,口可由%,口2,外线性表示？并写出此表示式。，四101设矩阵A=020,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵A,使-101一B与八相似，并求k为何值时，B为正交矩阵。十(本题满分7分)已知下列非齐次线性方程组(I),(II)。Xxix2-2x4-6Xxi,mx2_x3_x4=-5(I)14x1-x2-x3-x4=-1(II)4nx2-x32x4=-113x1一x2-x3=3x3_2x4=t+1J(1)求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解。(2)当方程组(II)中的参数m,n

19、,t为何值时，方程组(I)与(II)同解。四19991999年试题一填空题(每小题3分)(1)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是()101(2)设A=020Mn2为正整数，则An-2An-1=()：10L1-20(3)已知AB-B=A,其中B=210，则A=()002_二选择题(每小题3分)(I)设A是mXn矩阵，B是nXm矩阵，则(A)当mn时，必有行列式|AB|w0(J)当mn时，必有行列式|AB|二0(K)当nm时，必有行列式|AB|w0(D)当nm时，必有行列式|AB|=0 x2x-1x2x32x_22x_12x_22x_3一三四(2)记行列式3为f(x),则方程f(x)=0

20、的根的个数为()3x-33x-24x-53x54x4x-35x-74x-3(A)1(B)2(C)3(D)4二(3)设向量P可由向量组ai,a2,，am线性表示，但不能由向量组(i)a1,a2,，a付线性表示，记向量组(ii)a1,a2,，am-1,0,则(E)am不能由(i)线性表示，也不能由(ii)线性表示；(F)am不能由(i)线性表示，但可由(ii)线性表示；(G)2可由(1)线性表示，也可由(ii)线性表示；(H)2可由(1)线性表示，但不可由(ii)线性表示；三，四三(本小题满分8分)a-1c设矩阵A=5b3，其行列式冏=-1，又A的伴随矩阵A有一个特征值入0,属于入0的1c0-a一

21、个特征向量为=(-1,-1,1)T,求 a,b,ca,b,c 和入O的值四(本小题满分6分)设A为m阶实对称阵且正定，B为mXn实矩阵，BT为B的转置矩阵,试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n11-1五(本小题满分6分)设矩阵A=-111，矩P$X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随J_11_矩阵，求矩阵X。二六(本小题满分8分)设向量组a1=(1,1,1,3)T,a2=(-1,-3,5,1)T,a3=(3,2,-1,p+2)T,a4=(-2,-6,10,p)T(1) p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量a=(4,1,6,10)T用a1,a2,a3,a4线

22、性表出；(2) p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。二七(本小题满分7分)设A为mXn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=Ae+ATA,试证:当A0时，矩阵B为正定矩阵一，三一三32-2八(本小题满分7分)设矩阵A=k1k,问当k为何值时，存在可逆阵P,使得P1AP,42一3一为对角阵？并求出P和相应的对角阵。四x1+x2+x3=0九(本小题满分9分)已知线性方程组4axi+bx2+cx3=02,.2,2八ax1+bx2+cx3=0(1)a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解。(2)a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。四2

23、0002000年试题一填空题(本小题3分)3,若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为JJJ,则行列式|B-1-E|=-。三2345-4,设a=(1,0,-1)T,矩阵A=aaT,n为正整数，则|aE-An|=。四5,已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,E为4阶单位矩阵，|B-E|二()二选择题(每小题3分)1,设n维列向量组a1,am(mn)线性无关，则n维向量组01,0m线性无关的充分必要条件()(A)向量组a1,，am可由向量组储，Bm线性表示；(B)向量组B1,Bm可由向量组a1,，am线性表示；(C)向量组a1,，am与向量组B1,Bm等价；(D)矩阵A=(a1,，am

24、)与夕g阵B=(01,0m)等价。2,设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=bl三个解向量，且秩(A)=3,a1=(1,i,已知方程组一12-1iirxii?1x2=3无解，则a=2,设A=一1-2I003-40005-60007,E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A),则(E+B)-1=二（本题满分6分）（2）验证1J|4L0=:是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；一1一1_11当1U2时,求产。-）1J1）n十一N 一2,3,4）T,a2+a3=（0,1,2,3）T,C表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X二（(B)2133,设A是n阶实矩阵,必有（）A

25、T是A的转置矩阵，则对于线性方程组（i）AX=0和（A）（五）的解是（i）的解，（i）的解也是（ii）的解;（B）（ii）的解是（i）的解，但（i）的解不是（ii）的解;（C）（i）的解不是（ii）的解（ii）的解也不是（i）的解;（D）（i）的解是（ii）的解，（ii）的解不是（i）的解。设矩阵A的伴随矩阵一10010-3001001008，且ABA-1=BA-1+3E,其中E为4阶单位矩阵，求矩阵Bo一四（本题满分8分）某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6的熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新，老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2/5成

26、为熟练工、一一X。设第n年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为Xn和yn,记成向量InJn一(1)二A12(C)(D)三的关系式并写成矩阵形nn五（本题满分6分）六(本题满分7分)的秩，且03可由口1,2,口3线性表小，求a,b的值。七(本题满分8分)设向量组a1二(a,2,10)T,口2=(-2,1,5)a3=(-1,1,4)T,P=(1,bQT,试问：当a,b,c满足什么条件时,(1)P可由四，2,口3线性表示，且表示法唯一？(2)P不能由U1,2,。3线性表示？(3) P可由口1,2,23线性表示，但表示法不唯一？并求出一般表达式。三，四八(本题满分9分)设有n元实二次型f(X1

27、,X2,，xn)=(X1+a1X2)2+(X2+a2X3)2+-+(Xn_1+an-1Xn)2+(Xn+anX1)2,其中a(i=1,2,0为实数。试问：当a1.a,，an满足何种条件时，二次型f(X1,X2,，Xn)为正定二次型。三九(本题满分9分)1-11设矩阵A=x4y,已知A有3个线性无关的特征向量，儿=2是A的二重特征值，试可-3-35-逆矩阵P,使得P-1AP为对角形矩阵。四20012001年试题一填空题(每小题3分)1,设矩阵A满足A2+A-4E=0,其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=-。一a11IIXI1一12,设方程|Ia1X=|1有无穷多个解，则a=。二J1a3J 二2设

28、二二、工一11=2上-ll120,A=otPT,B=BTa,其中BT是B的转置，求解方程2B2A2X=A4X+B4X+：8一二一01已知向量组B1=1albl一11-312,B3=1与1可量组口1=2,2=0一31-916具有相同：-713,设夕!阵A=1k1111k11111k，且秩（A）=3,则k=（三，四4,设行列式D=320502-73420-20202，则第4行各元素余子式之和的值为（( 四)二选择题（每小题3分)一111.11111111111111,B二400.000000000。1000，则A与B合 同 且 相似;(B)合同但不相似;(C)不合同但相似;一2,设人=a12a13

29、a14a14a13a12a11-0001_a22a23a24,B=a24a23a22a21,PI=0100a32a33a34a34a33a32a310010a42a43a44_1Ia44a43a42a41_11100 0_不合同且不相似。(D)213141a11P2=一10000010010000011_(A)A1PR;,其中A可逆，则B-1等于(B)P1A1P2;(C)P1P2A-1(D)P2A-1P13,设A是n阶矩阵，a是n维列向量，若秩:Aa【aT0(B)（A）以=口必有无穷多解;AX=a必有唯一解；(C)(D)1|X1=0必有非零解。0.y三，四=秩（A）,则线性方程组（）三三(本题

30、满分6分)设ai,，as为线性方程组AX=0的一个基础解系,Bs=tias+t2ai,其中ti,t2为实常数，试问：ti,t2满足什么关系时，储，02,，Bs也为AX=0的一个基础解系？一四(本题满分8分)已知3阶矩阵A与三维向量X,使得向量组X,AX,A2X线性无关，且满足A3X=3AX-2A2X.(1)记P=(X,AX,A2X)，求3阶矩阵B,使A=PBP-1;计算行列式|A+E|.五(本题满分6分)00110,B=101，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是31-1101阶单位阵，求X.六(本题满分6分)已知a1,a2,a3,a4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若

31、p1=a1+ta2,B2=a2+ta3,B3=a3+ta4,04=a4+ta1,讨论实数t满足什么关系时，01,02,03,B4也是AX=0的一个基础解系。二七(本题满分9分)11a一1设矩阵A=1a1,3=1,已知线性方程组AX=B有解但不唯一，试求：:a1L2一(1)a的值；(2)正交矩阵Q,使CTAQ为对角矩阵。三，四八(本题满分8分)设A为n阶实对阵矩阵，秩(A)=n,A=(aj)nxn中元素aj的代数余子式(i,j=1,2,，n),二次型f(X1,X2,，Xn)=(1)记X=(X1,X2,，xn)T,把f(x1,x2,，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A1;(2)二次

32、型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由。三九(本题满分8分)设ai=(a口，ai2,，ain)T(i=1,2,r;rm时仅有零解；(B)当nm时必有非零解；(C)当mn时仅有零解；(D)当mn时必有非零解.4,设A是n阶实对称阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值上的特征向量，则矩阵(P1AP)T属于特征值上的特征向量是()三(A)P1a；(B)PTa；(C)Pa；(D)(P)Ta.5,设A,B为n阶矩阵，A,B*分别为A,B对应的伴随矩阵，分块矩阵C=_,则C的伴随矩阵三C=_o(A)四)|A|A*一0|A|B*00*7|B|B.0.|B|A1B0B*0*7

33、|A|A(D)1B|A*0IL0|A|B三(本题满分6分)已知4阶方阵A=(ai,a2,a3,a4),a1,a2,a3,a4土匀为4阶列向量，其中a2,a3,a4线性无关，ai=2a2-a3,如果B=ai+a2+a3+a4,求线性方程组AX邛的通解。四(本题满分8分)设A,B为同阶方阵。(1)如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等；(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A,B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立。五(本题满分6分)已知A,B为3阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E,其中E是3阶单位矩阵,一，二一(1)证明：矩阵A-2E可逆；1-20(2)若B=120

34、，求矩阵A.002_六(本题满分8分)ax1+bx2+bx3+bxn=0,bx1+ax2+bx3+bxn=0,一一、上、彳其中aw0,bw0,n2,试讨论a,b为何值时,bx1bx2bx3axn=0,方程组仅有零解，有无穷多组解。在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。七（本题满分8分）设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0,已知A的秩r（A）=2.求A的全部特征值;（2）当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位阵。八（本题满分8分）(ii)的一个基础解系为a1=(2,-1,a+2,1)T,a2=(-1,2,4,a+8)T.（1）求方程组（i）的一个基础解系

35、;（2）当a为何值时，方程组（i）与（ii）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。九（本题满分8分）1-1,求可逆矩阵P,使P/AP为对角矩阵，并计算行列式|A-E|的值。a20032003年试题101设齐次线性方程组三设四元齐次线性方程组（i）为，2X1+3X2-X3=0,x1+2x2+x3-x4=0,且已知另一四元齐次线性方程组a设实对称阵A=1填空题（每小题4分)1从R2的基巴2设a为3维列向量,11aT是口的转置，若aaT一1-1J-11-1的过渡矩阵为一。二3设三阶方阵A,B满足A2BAB=E，其中E为3阶单位矩阵，若A=020,则-201一|B|=-0二14设n维向重

36、a=（a,0,0,a）,a0;E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-o（o（,B=E+ota，其中aA的逆矩阵为B,Ma=三，四2025设A,B均为三阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+B,B=040，则（A-E）=-。202_四二选择题（每小题4分）1,设向量组I：%,%,可由向量组II：%凡,院线性表示，则。（A）当rs时，向量组II必线性相关；（C）当rs时，向量组I必线性相关.2.设有齐次线性方程组AX=0和BX=0,其中A,B均为mxn矩阵，现有4个命题:若AX=0的解均是BX=0的解，则秩（A）秩（B）;若秩（A）秩（B）,则AX=0的解均是BX=0的解；若AX=0与BX=0同解，则

37、秩（A）=秩（B）;若秩（A）=秩（B）,贝UAX=0与BX=0同解。以上命题正确的是。（A）；（B）；（C）（D）。abb3设3阶矩阵A=bab，若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有-。bba_（A）a=b或a+2b=0;（B）a力或a+2bw0;（C）awb且a+2b=0;（D）awb且a+2bw0.4.设a1,a2，,as均为n维向量，下列结论不正确的是（）。三已知其次线性方程组(a1b)x1a?x223x3.anxn=0a1x1b)x2a3x3.anxn=0,a1x1a2x2(a3b)x3.anxn=0,a1x1a2x2a3x3.(anb)xn=0,(A)若对于任意一组不全为零的数k10t

38、l+k20t2+十ks0fs*0,则a1,a2，,as线性无关;(B)若ai,.as线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki,k2,.ks,有k1：-1k2.：i2,一：ks_1s=0;(C)a1,a2,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；(D)a1,a2,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。0015设矩阵B=010,已知矩阵A相似于B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于()。：10。一(A)2;(B)3;(C)4;(D)5。三(本题满分10分)322010设矩阵A=232,P=101B=P,A*P,求B+2E的特征值和特征向量，其中A*为A的逆矩阵P,使PAP=八

39、.二六(本题满分13分)QQ其中ai*0。试讨论a1,a2,an和b满足何种关系时，i4：223_P011伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。四(本题满分8分)11已知平面上3条不同直线的方程分别为：12l3必要条件为a+b+c=0,22五(本题满分10分)若矩阵A=8200一:ax2by3c=0,:bx+2cy+3a=0,试证这三条直线交于一点的充分:cx2ay3b=0.一，二01a相似于对角矩阵A,试确定常数a的值；并去可6(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组得一个基础解系。三七(本题满分13分)设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32

40、+2bx1x3(b0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12。(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。三八(本题满分13分)设有向量组(I):%=(1,0,2)T02=(1,1,3)T,ot3=(1,1,a+2)T和向量组(II)P1=(1,2,a+3)T,p2=(2,1,a+6)T,P3=(2,1,a+4)T。试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？四九(本题满分13分)一2111一1设矩阵A=121可逆，向量a=b是矩阵A的一个特征向量，是“对应的特征值，其：11

41、ajjj中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a,b,和九的值。四2004年试题一填空题(每小题4分)2101设矩阵A=j20,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位：0011矩阵，则|B|=-。一，二2二次型MXI，X2，X3)=(XI“2)2+(x2X3)2+(X3+XI)2的秩为三0-103设A=100,B=P,AP,其中P为3阶可逆矩阵，则B20042A2=-。四00-14设A=(aj)3用是实正交矩阵，且aii=1,b=(1,0,0)T,则线性方程组AX由的解是-。四选择题(每小题4分)1设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则

42、满足AQ=C勺可逆矩阵Q为()010(A)100：101_010(C)100011_010(B)101：001_011(D)100：001_2设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()一，二(A) A的列向量线性相关,(B) A的列向量线性相关,(A)A的行向量线性相关,(A)A的行向量线性相关,3设n阶矩阵A与B等价,B的行向量线性相关；B的列向量线性相关；B的行向量线性相关；B的列向量线性相关。则必有()。，四(A)当|A|=a(aw0)时，|B|=a；(B)当|A|=a(aw0)时，|B|=-a；(C)当|A|w0时，|B|=0;(D)当|A|=0时，|B|=0。4设n阶矩阵A

43、的伴随矩阵A*w0,若匕,5,勺是非齐次线性方程组AX=)的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系()。三(A)不存在；(B)仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量;(D)含有三个线性无关的解向量。(本题满分9分)2)试问a取何值时，该方程组有nx1nx2(na)xn=0.非零解？并求其通解。一四(本题满分9分)12-3设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化。a5一一，二五(本题满分9分)(1+a)x1+x2+x3+x4=0,设有齐次线性方程组产1*(2+a)x2+2x3+2x4=0,试问a取何值时，该方程组有非零解？3x13

44、x2(3a)x33x4=0,4x14x24x3(4a)x4=0,并求出通解。二六(本题满分13分)设%=(1,2,0),02=(1,a+2,3a)T,a3=(1,b2,a+2b)T,B=(1,3,3)T。试讨论当a,b为何值时，(1)B不能由%,2,立3线性表示；(2)P可由%,2,口3惟一地线性表示，并求出表达式；(3)口可由叫，2,1M3线性表示但表示式不唯一，并求出表示式。三七(本题满分13分)1b.b设n阶矩阵A=b1b。._bb.1_(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P,使得P*AP为对角矩阵。三八(本题满分13分)X1+，uX2+Rx3+x4=0,设线性方程组2x1+x2+x3+2x4=0,已知(1,-1,1,-1)T是