椭圆的性质 (定稿版))

1、学校：上海中学东校学校：上海中学东校年级：高二年级年级：高二年级教师：张晓东教师：张晓东学校：学校：上海中学东校上海中学东校年级：年级：高二年级高二年级教师：教师：张晓东张晓东 温故知新温故知新32222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba椭圆分母看大小，焦点随着大的跑椭圆分母看大小，焦点随着大的跑222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a

2、、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO求法求法：一一定定焦点位置；二焦点位置；二设设椭圆方程；三椭圆方程；三求求a a、b b的值的值. .几个注意的地方：几个注意的地方：1、椭圆定义的代数表示：、椭圆定义的代数表示：例：动点例：动点P到到A(-1,0),B(1,0)满足：满足： (1)若若 动点动点P的轨迹方程的轨迹方程_。(2)若若 动点动点P的轨迹方程的轨迹方程_。 1212| 2 (2|)PFPFa aFF 温故知新温故知新| 2PAPB| 4PAPB2、椭圆标准方程的要求：、椭圆标准方程的要求：(1)右边为右边为1 (2)左

3、边平方和形式左边平方和形式(3)坐标各项分子系数为坐标各项分子系数为1例：把例：把 化为标准方程。化为标准方程。 223510 xy 神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.太阳系1、怎样研究椭圆的几何性质？、怎样研究椭圆的几何性质？图形：几何角度图形：几何角度方程：代数角度方程：代数角度 2、研究椭圆的哪些几何性质？、研究椭圆的哪些几何性质？形少数时难入微数缺形时少直觉数形结合百般好探究探究1 1：椭圆是不是轴对称图形？是不是中心椭圆是不是轴对称图形？是不是中心对称图形？为什么？对称图形？为什么？ 标准位置的椭圆的

4、对称轴是什么？对标准位置的椭圆的对称轴是什么？对称中心是什么？称中心是什么？ yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3113yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3114yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3115yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3116yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3117yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3118yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3119yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3120yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3121

5、yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3122yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3123yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3124yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3125yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3126yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3127yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3128yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3129yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3130yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3131yxoF1F2x2y

6、2= 1a22b2022-3-3132yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3133yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3134yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3135yxoF1F2x2y2= 1a22b36yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3137yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3138yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3139yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3140yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3141yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3142

7、yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3143yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3144yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3145yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3146yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3147yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3148yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3149yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3150yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3151yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3152yxoF1F2x2y

8、2= 1a22b2022-3-3153yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3154yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3155yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3156yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3157yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3158yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3159yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3160yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3161yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3162yxoF1F2x2y2= 1a22b20

9、22-3-3163yxoF1F2x2y2= 1a22b2022-3-3164YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xya bab 关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称2022-3-3165)0(12222babyax在在之中，把（之中，把（ ）换成（）换成（ ），），方程不变，说明：方程不变，说明：椭圆关于（椭圆关于（ ）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（ ）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（ ）点对称；）点对称；故，坐标轴是椭圆的对称轴，故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心原点是椭圆的对称中心 o

10、xy中心：椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。标准位置的椭圆的对称轴是标准位置的椭圆的对称轴是x x轴、轴、y y 轴，轴，原点是它的对称中心。椭圆的对称中心原点是它的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。叫做椭圆的中心。 探究探究2 2：22221(0),?xyabxyab椭圆与 轴轴各有几个交点，坐标分别是什么令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？令令 x=0，得，得 y=？说明椭圆与？说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？ oyB2B1A1A2F1F2cab

11、椭圆顶点坐标为：定义：定义：椭圆与它的对称轴的椭圆与它的对称轴的四个交点四个交点椭圆的顶点椭圆的顶点.回顾：A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).焦点坐标(c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab （ab0）69O x F1 A2B1 B2 y A1(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) a c b 222abc11122122B FB FB FB FaF2 222bac 在椭圆标准方程的推导过程中令在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是什么？能使方程简单整齐，其几何意义是什

12、么？ C C是半是半焦距，焦距，b b是是短半轴长，短半轴长，连接其中一连接其中一个短轴顶点个短轴顶点和焦点，得和焦点，得到一个直角到一个直角三角形。三角形。长轴：线段A1A2；长轴长 |A1A2|=2a.短轴：线段B1B2；短轴长 |B1B2|=2b.a、b、c分别叫做椭圆的_、_、_；焦点必在长轴上.a、b、c几何意义：a2=b2+c2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bacF2F1|B2F2|=a；注意：71定义：定义： 22221xy=ab （ab0）焦距：线段F1F2；焦距长 |B1B2|=2c.长半轴长短半轴长半焦距顶点顶点:椭圆和坐标轴的交

13、点叫做椭圆的顶点 椭圆有四个顶点四个顶点（a，0）、（0，b） 线段A1A2叫做椭圆的长轴长轴，且长为2a2a， a叫做椭圆的长半轴长长半轴长 线段B1B2叫做椭圆的短轴短轴，且长为2b2b， b叫做椭圆的短半轴长短半轴长O x F1 F2 A2B1 B2 y A1(-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 为椭圆的焦距焦距, 为椭圆的半焦距半焦距c2c1 1、已知椭圆方程为、已知椭圆方程为9x9x2 2+4y+4y2 2=36,=36,长轴长：长轴长： 。 短轴长：短轴长： 。焦焦 距：距： 。 焦点坐标是：焦点坐标是： 。 顶点坐标是：顶点坐标是： 。外切矩形的面积等于：外切矩形的

14、面积等于： 。 写出与椭圆写出与椭圆 有相同焦点的有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程。至少两个不同的椭圆方程。你能写出你能写出所有的椭圆方程吗？所有的椭圆方程吗？ 229436xy2222112738xyxy答案不唯一，如；等。221(0)5xy焦点相同的所有椭圆方程为 2 2、 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为距离为5 5，焦点到椭圆中心的距离为，焦点到椭圆中心的距离为3 3，则，则椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为_11625116252222xyyx或探究探究3 3：动手画一画：动手画一画：请同学们在矩形方框中画出最大请同学们在矩形方框中画出最大的一个

15、椭圆。的一个椭圆。思考：思考：若椭圆方程为若椭圆方程为 其中，其中，x x 、y y的取值范围是什么？的取值范围是什么？ 椭圆落在椭圆落在 组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab,xa yb 由由22221xyab221xa221yb和即即byax和-axa , -byb再如：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑 范围；1cossin22问：思考是否还有其他方法？问：思考是否还有其他方法？123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 345-1-5-2-3-4x1 2 345-1-5-2-3-4x3、根据前面所学有关知识画出下列图形、根据前面所学有关知

16、识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 椭圆的简单画法：椭圆的简单画法：矩形矩形椭圆四个顶点椭圆四个顶点矩形内画内切椭圆矩形内画内切椭圆例例1 1：(1)(1)求以原点为中心，一个焦点为求以原点为中心，一个焦点为 且长轴长是短轴长的且长轴长是短轴长的 倍的椭圆标准倍的椭圆标准方程方程; ;(2)(2)过点（过点（2 2，0 0），且长轴长是短轴长），且长轴长是短轴长的的2 2倍的椭圆标准方程倍的椭圆标准方程. .例题精讲例题精讲例例1 1：(1)(1)求以原点为中心，一个焦点为求以原点为中心，一个焦点为 且长轴长是短轴长的且长

17、轴长是短轴长的 倍的椭圆方程倍的椭圆方程; ; 解：（1）由题意可知：椭圆焦点位于y轴上。且 ，则由 ，得 ， ;椭圆的标准方程为： .例例1 1：(2)(2)过点（过点（2 2，0 0），且长轴长是短轴长），且长轴长是短轴长的的2 2倍的椭圆方程倍的椭圆方程. . 解：设椭圆方程为：解：设椭圆方程为：(1)(1)若椭圆交点位于若椭圆交点位于x x轴上，则轴上，则 此时椭圆方程为：此时椭圆方程为：(2)(2)若椭圆交点位于若椭圆交点位于y y轴上，则轴上，则 此时椭圆方程为：此时椭圆方程为：综上，所求椭圆方程为：综上，所求椭圆方程为： 或或22221xyaba=2,b=122141xya=2,

18、b=4221416xy22141xy221416xy例例2： 已知椭圆的方程为已知椭圆的方程为长轴长是：长轴长是：_; _.短轴长是：短轴长是：_; _.焦距是：焦距是： _; _.焦点坐标是：焦点坐标是：_; _.顶点坐标是：顶点坐标是：_; _.当当0m1时时例题精讲例题精讲222) 1(0 xm ym mm 且12m12m2 m2 m212mm212mm21(0,)mm21(,0)mm1(0,);( 2,0)mm1(,0);(0, 2)mm2212231164|PF |xyP例 、 是椭圆上任一点，F、F 是椭圆的两个焦点，求的长度的取值范围。例题精讲例题精讲42 3,42 3答案：,a

19、c ac答案：22221221(0)|PF |xyPababFF变式： 是椭圆上任一点，分别是椭圆的左右两个焦点，求长度的取值范围。221(1,0)4xyCP变式：椭圆上到点的距离为最小的点 的坐标为_.23几几何何意意义义：1A2A1F2F1B2ByxO1.离离距距离离最最远远的的点点：离离距距离离最最中中心心中中心心近近的的点点：112.FF离离距距离离最最远远的的点点()()：离离距距离离最最近近的的远远日日点点近近点点( (日日点点) )：12,A A12,B B2A1A2 22 22 22 2y yx xa ab b- - - - - - - - - - - - - - - - -

20、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 1- - - - - - - - - - -1 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 1- - - - - - - - - -练练习习：点点P P是是椭椭圆圆 + += =1 1上上的的动动点点，当当P P的的坐坐标标为为时时，P P到到原原点点O O的的最最大大距距离离为为；当当P P的的坐坐标标为为时时，P P到到原原点点O O的的最最小小距距离离为为；设设F F （c c, ,0 0) ), ,则则当当P P的的坐坐标标为为时时，P PF F 的的最最大大值

21、值为为；则则当当P P的的坐坐标标为为时时，P PF F 的的最最小小值值为为。(a.0)(-a,0)a(0,b)(0,-b)b(-a.0)a+c(a.0)a-c焦点在焦点在x轴上轴上 例例4、1970年年4月月24日我国发射的第一颗人造卫星，日我国发射的第一颗人造卫星，它的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，它的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，卫星在近地点卫星在近地点A与地球表面的距离为与地球表面的距离为439千米，在远千米，在远地点地点B与地球表面的距离为与地球表面的距离为2384千米，地球中心与千米，地球中心与A，B在同一直线上。已知地球的半径为在同一直线上。已知地球的半径为6371千米，千米，建立适当的坐标系，求卫星的轨道方程。建立适当的坐标系，求卫星的轨道方程。 解：如图，以卫星轨道的中心为原点，以千米为单位，解：如图，以卫星轨道的中心为原点，以千米为单位，建立平面直角坐标系，地球中心在建立平面直角坐标系，地球中心