积分等式与不等式

1、第七讲第七讲 积分等式与不等式问题积分等式与不等式问题1 积分等式问题积分等式问题方法方法: (3) 利用定积分的积分性质利用定积分的积分性质(4) 利用定积分的换元法、分部积分法利用定积分的换元法、分部积分法 (2) 利用微分中值定理利用微分中值定理(1) 利用单调性、最值等方法利用单调性、最值等方法 baaxdxfxdxf)()(31 证明证明在在 a , b 内内有点有点 , 使使 设设 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 且且 f (x) 0 , 例例1 (练习十二练习十二/九九) 解解原等式原等式 baadxxfdxxf031)()( 构造辅助函数构造辅助函数 baxadxx

2、fdxxfxg)()()(31则则 g(x) 在在 a , b上连续上连续 , 且有且有031 badxxfag)()(032 badxxfbg)()(根据零值定理根据零值定理 , 存在存在 (a , b) 使使 g( ) = 0例例2 (练习十二练习十二/十六十六) baxadttfxbdttfax)()()()(在在 (a , b) 内有唯一实根内有唯一实根 f (x) 是是 a, b 上取正值的连续上取正值的连续 ,试证明试证明:方程方程 解解原等式原等式 bxxadttfxbdttfax0)()()()(即即 , 结论成立结论成立 baadxxfdxxf)()( 31构造辅助函数构造辅

3、助函数 bxxadttfxbdttfaxxg)()()()()(则则 g(x) 在在 a , b上连续上连续 , 且有且有0 badxxfabag)()()(0 badxxfabbg)()()(根据零值定理根据零值定理 , 存在存在 (a , b) 使使 g( ) = 0 , 即方程即方程 在在 ( a , b ) 内至少有一实根内至少有一实根 又又)()()()()()( xfxbdttfaxxfdttfxgxabx 0 baabxfdttf)()( g(x) 单调增单调增 方程在方程在 (a , b) 内有唯一的实根内有唯一的实根例例3 (练习十二练习十二/十四十四),xdxfexdxfe

4、xx 3210)()(证明证明: 存在存在 (0 , 3) 使使 f (x) 在在 0, 3 上可导上可导, f ( ) = f ( )解解原等式原等式 ) , ( , )()( 300 ff构造辅助函数构造辅助函数 , )()(xfexx 则则 (x) 在在 0 , 3上连续上连续 , ( 0 , 3 ) 上可导上可导又利用积分中值定理有又利用积分中值定理有 , , )()()(10111101 fedxxfex , , )()()(32222322 fedxxfex)()( 21 在在 上利用罗尔定理上利用罗尔定理 , 存在存在 使使 , 21 ) , (, 3021 0 )( )()(

5、0 ff例例4 (练习十二练习十二/十五十五) abdttfgdttgf)()()()(证明证明: 存在存在 ( a , b)使使 设设 f (x) , g(x)在在 a, b 上连续上连续 , 原等式原等式 abdttfgdttgf0)()()()(解解 bxxxadttgdttf0 )()( abdttfgdttgf0)()()()(构造辅助函数构造辅助函数 bxxadttgdttfxF)()()(则则 F(x) 在在 a , b上连续上连续 , ( a , b ) 内可导内可导 , 且有且有F(a) = F(b)根据罗尔定理根据罗尔定理 , 存在存在 使使 ), (ba 0 )( F即即

6、 abdttfgdttgf)()()()(例例5)()(nnmmxfxnxfxm m 和和 n , 方程方程 若若 f (x) 是是 0 , 1 上连续上连续 , 对于任意给定的正数对于任意给定的正数在区间在区间 ( 0 , 1 ) 内总有解内总有解.原方程原方程 011 )()(nnmmxfnxxfmx解解 存在存在 (0 , 1) 使使0 xxxmndttf)(构造辅助函数构造辅助函数 mnxxdttfxF)()(则则 F(x) 在在 0 , 1上连续上连续 , ( 0 , 1 ) 内可导内可导 , 且有且有F(0) = F(1) = 0根据罗尔定理根据罗尔定理 , 存在存在 使使 ),

7、(10 0 )( F)()( nnmmfnfm 11 即即)()( nnmmfnfm 例例6 xx uduufuxdudttf00 0)()()(设设 f (x) 为连续函数为连续函数 , 证明证明:解解设设 udttfug0)()( xx uduugdudttf00 0)()( xxduuufuug00)()( xduuufxxg0)()( xxduuufduufx00)()( xduufux0)()( a, b 总成立总成立例例7 设设 f (x)为正的连续函数为正的连续函数 , 试证明试证明:对任对任意实数意实数dxxfaxfdxxfbxfba 00)()(ln)()(ln解解dxxfd

8、xbxfdxxfbxfaaa 000)(ln)(ln)()(lnbxt dxxfdttfabab 0)(ln)(lndxxfdxaxfdxxfaxfbbb 000)(ln)(ln)()(lnaxt dxxfdttfbbaa 0)(ln)(ln又又dxxfdttfabab 0)(ln)(lndxxfdxxfab 00)(ln)(lndxxfdxxfabaa 0)(ln)(lndxxfdxxfbbaa 0)(ln)(ln 等式成立等式成立 总有总有 xxxxtdtttfdtttttf11141)(arctan)(例例8 设设 f (x) 在在 (0 , + ) 上连续上连续, 证明证明:对任一正数

9、对任一正数 x , 解解 xxdtttttfI11 arctan)(tu1 xxduuuuuuf121111arctan)( xxdtttttf111arctan)(分析分析: 利用恒等式利用恒等式21 ttarctanarctan xxxxdtttttfdtttttfI111112arctan)(arctan)( xxdttttttf111arctanarctan)( xxtdtttf112)( xxxxtdtttfdtttttfI11141)(arctan)( 2 积分不等式问题积分不等式问题例例9 100dxxfdxxf)()(设设 f (x)在在 0 , 1 上单调减少且连续上单调减少

10、且连续 , 证明证明: 当当 0 1时时,原不等式原不等式 0100dxxfdxxf)()( 解解 100010 dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()( 101 dxxfdxxf)()()( 10112121 , )()()()(ff0121 )()()( ff解二解二 0dxxf)(tx 10dtxf )( 10dtxf)( 由于由于 f (x) 单调减单调减 , 0 1 tt )()( tftf 1010dttfdtxf)()( 100dttfdxxf)()( 解三解三 原不等式原不等式 100010 , )()( dxxfdxxf构造辅助函数构造辅助函数 , 则则

11、(0) = 0 xdttfxdxxfx010)()( )( 1010 , )()()()( )( fxfdttfxfx由由 f (x) 单调减单调减 , 所以所以当当 0 x 时时 , 0 )( x , ( , )()( 000 xx 当当 0 1 时时 , ( ) 0 , ) , ( , )()( 101 xx) , ( , )( 100 xx 0 )( x 当当 x 0 , 证明证明:21)()()(abxdxfxdxfbaba 解解利用利用 Cauchy-Schwarz 不等式有不等式有2221)()()()(dxxfxfdxabbaba dxxfdxxfbaba221) )()( dxxfdxxfbaba )()(1例例14 设设 f (x) 在在 a , b 上连续可微上连续可微 , 且且 f (a) = 0 , babaxdxfabxdxf2222)()()(证明证明:解解由由 得连续性及得连续性及 f (a) = 0 , 得得)( xfdttfxfxa )( )(利用利用 Cauchy-Schwar