体积最值问题

1、南洋模范中学南洋模范中学曹土清曹土清 无盖长方体铁皮盒问题 用一张长用一张长80cm80cm，宽，宽50cm50cm的长方形铁皮做一只的长方形铁皮做一只无盖长方体铁皮盒无盖长方体铁皮盒( (焊接处厚度及损耗不计焊接处厚度及损耗不计) )，问，问这只铁皮盒的这只铁皮盒的尽可能大的体积是多少？的体积是多少？一、提出问题一、提出问题8050 x将长方形的四个角都将长方形的四个角都去掉一个小正方形后去掉一个小正方形后,围成无盖长方体围成无盖长方体.为什么要去掉的一定是正方形？长方形行不行为什么要去掉的一定是正方形？长方形行不行? ?为保证围成长方体上口齐平！否则x8050 x将长方体的四个角都去掉一个

2、小正方形后将长方体的四个角都去掉一个小正方形后,围成无盖长方体围成无盖长方体.(802 )(502 )VShxx x x802x502xx802x502x2 2(25)(40)xxx (025)x 32254023xxx 3365220342.6 cm3 二、质疑二、质疑注意：出现了不满足注意：出现了不满足“一正二定三相等一正二定三相等” 的问题，怎么办？的问题，怎么办？问：上式中等号何时取得呢？问：上式中等号何时取得呢？怎样能取得等号？怎样能取得等号？4 (25)(40)xxx 32254023xxx (1)(1)(1)2540axaaxx = = =解得解得2a 故故43 (502 )(4

3、0)6Vxxx 3329018000 cm33 当且仅当当且仅当 ，即，即 时，取等号时，取等号.350240 xxx = = =10 x 说明：说明： 乘在乘在 也可，或也可，或 也可也可a40 x 4 (25)(40)Vax bxxab 当且仅当当且仅当4(25)(40)Vxxxaa(1)a (1)a a如何修改题目就可直接取到如何修改题目就可直接取到“=”=”？此结果是不是问题所要求的此结果是不是问题所要求的尽可能大的体积呢尽可能大的体积呢实际上，上述实际上，上述“设计设计”中至少中至少“浪费浪费”了四个小正了四个小正方形！浪费率达方形！浪费率达4 10010%50 80 还有其他方案吗

4、还有其他方案吗？三、反思三、反思 用一张长用一张长80cm80cm，宽，宽50cm50cm的长方形铁皮做一只的长方形铁皮做一只无盖长方体铁皮盒无盖长方体铁皮盒( (焊接处厚度及损耗不计焊接处厚度及损耗不计) )，问，问这只铁皮盒的这只铁皮盒的尽可能大的体积是多少？的体积是多少？总体积总体积V1 22000cm3.10四个小正方形四个小正方形面积面积41010106030上口周长上口周长180，底面面积底面面积1800 为了不浪费铁皮，将剪下的四个小正方形剪成小长为了不浪费铁皮，将剪下的四个小正方形剪成小长条焊接到长方体上口，可增加体积。条焊接到长方体上口，可增加体积。设计一设计一8050603

5、0400cm180 可剪成宽为可剪成宽为从而增加体积从而增加体积 cm3，4001800=4000180 从右侧剪下两个小正方形，将其焊接到左侧中间从右侧剪下两个小正方形，将其焊接到左侧中间.此时，此时，3268.52512.521406.25 cmV 12.568.52512.514注：小正方形边长为宽注：小正方形边长为宽 50 的的 ？设计二设计二 也可以将上面两个小正方形补在下面中间，体积可也可以将上面两个小正方形补在下面中间，体积可能更大能更大此时，此时，3330402024000 cmV 的确更大！的确更大！（直觉（直觉因为因为更方更方）20203040设计三设计三20 不必考虑如何

6、不必考虑如何“设计设计”，故，故，3400022322abbcacabbcac 这是理想化模型，它的体积是最大的，这是理想化模型，它的体积是最大的，此时长方体的底面的确为正方形！此时长方体的底面的确为正方形！推知推知 设长方体三边为设长方体三边为 ，则有则有 224000abbcac ,ab c34400003024343.2 cm9Vabc 此时，此时，22abbcac得，得，20 3010 30,33abc 设计四设计四此时，此时，a:b:c=2:2:1刚刚讲刚刚讲“设计四设计四”较为困难，那现在换一角度：为使设计较为困难，那现在换一角度：为使设计简便易行，且用料又省，选择铁皮长宽比例多少

7、为好呢？简便易行，且用料又省，选择铁皮长宽比例多少为好呢？比如：比如：由上面的分析长方体尺寸设计为由上面的分析长方体尺寸设计为2 : 2 : 1时，用料最省，时，用料最省，那如何选择材料并进行设计呢？那如何选择材料并进行设计呢？探究一探究一 1 : 3 3 : 4 1 : 1 1 : 2四、升华四、升华122211112制作方案制作方案法一法一逆向思考：逆向思考：先将无盖长方体张展开成平面图形先将无盖长方体张展开成平面图形法二法二法三法三法四法四1222割割割割割割1222割割割割割割111222割割割割11211112法一法一若把若把“无盖无盖”去掉，结果会如何？去掉，结果会如何？做成做成正

8、方体正方体时，体积最大！时，体积最大！得得2320003 ()abbcacabc323200040001517213.3 cm39Vabc此时此时20 153abcabc探究二探究二 远在阿基米德时代，人们就承认了这一事实远在阿基米德时代，人们就承认了这一事实. . 但在数学上给予证明还是近代来的事，完全令人满但在数学上给予证明还是近代来的事，完全令人满意的证明要用到高等数学的知识意的证明要用到高等数学的知识. . 近世几何学家施近世几何学家施塔纳给出了初等证法但较为繁琐塔纳给出了初等证法但较为繁琐. . 探究三探究三再把再把“长方体长方体”改为改为“几何体几何体”呢？呢？做成做成球体球体时，

9、体积最大！时，体积最大！定性分析：在表面张力的作用下，液体有力求定性分析：在表面张力的作用下，液体有力求 使其表面积达到最小的趋势使其表面积达到最小的趋势,所以所以 呈现出球形水珠。呈现出球形水珠。 表面积给定的长方体中正方体体积最大；表面积给定的长方体中正方体体积最大； 表面积给定的几何体中球体体积最大表面积给定的几何体中球体体积最大. 给定体积的长方体中，正方体表面积最小；给定体积的长方体中，正方体表面积最小； 给定体积的几何体中，球体表面积最小给定体积的几何体中，球体表面积最小.利用这个结论我们来思考这样一个问题：利用这个结论我们来思考这样一个问题：我们得到了等周问题的两个非常重要的结论

10、：我们得到了等周问题的两个非常重要的结论：根据类比可得到两个重要的结论：根据类比可得到两个重要的结论： 周长给定的矩形中，正方形面积最大；周长给定的矩形中，正方形面积最大；1. 周长给定的封闭平面图形中，圆面积最大周长给定的封闭平面图形中，圆面积最大；推广推广周长一定的周长一定的n边形中，正边形中，正n边形面积最大；边形面积最大；换句话说，换句话说，六个长、宽、高分别为六个长、宽、高分别为 且且 的小长方的小长方体打包成大长方体（要求：每相邻两盒必须是以全等的面体打包成大长方体（要求：每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状为长方体）积对接，最后得到的包装形状为长方体）. 请你设计

11、一个请你设计一个方案，使表面积最小，给予证明并画出示意图方案，使表面积最小，给予证明并画出示意图.,abcabc 大胆猜测：大胆猜测：因总体积因总体积 固定固定. 6abc 要使长方体更方，要使长方体更方，因而可设计为因而可设计为 623abcabc 或或但两者哪个更方呢？但两者哪个更方呢？ 五、拓展五、拓展两者哪个更方呢？两者哪个更方呢？ |6| |23 |,cbbc若若可得可得 ，3cb 3cb 6a bc () 时，选时，选 方式方式3cb 23abc () 时，选时，选 方式方式3cb () 时，选两者都可以时，选两者都可以故故 可设计为可设计为 623abcabc 或或严格证明：严格

12、证明： “规则打包规则打包”实质上只有两种类型实质上只有两种类型. 设小长方体过同一顶点的面积为设小长方体过同一顶点的面积为 A，B，C () 若若 1 6 方式：方式： abc，则，则 S12ab+12ac+12bcbac S2A+12B+12C，要使，要使 S 最小最小严格证明：严格证明：设小长方体过同一顶点的面积为设小长方体过同一顶点的面积为A，B，C () 若若2 3方式：方式： abc，则，则 S24ab+6ac+12bcbac比较：比较：S1 S2 6ac-2ab=2a(3c-b) () 3cb时，时， 取取“23” () 3cb时，取两者都可时，取两者都可 () 3cb时，时，

13、取取“16”() 若若1 6方式：则方式：则 S12ab+12ac+12bc S4A+6B+12C，要使，要使S最小最小六、小结六、小结 通过对生活中一个实际问题的探讨，大家初步了解通过对生活中一个实际问题的探讨，大家初步了解了基本等周问题，大家使用数学的意识、创新意识了基本等周问题，大家使用数学的意识、创新意识及实践能力；及实践能力； 在今后的学习中养成自我探索、自我分析、自我设在今后的学习中养成自我探索、自我分析、自我设计、自我决策，充分发挥自己的积极性与主动性；计、自我决策，充分发挥自己的积极性与主动性； 通过这节课希望大家今后学会质疑、反思、逆向、通过这节课希望大家今后学会质疑、反思、逆向、类比、推广、探究等科学的思维品质。类比、推广、探究等科学的思维品质。知识点：知识点：不等式求最值；等周问题的两个结论、方法不等式求最值；等周问题的两个结论、方法使用数学的意识、使用数学的意识、创新意识创新意识实践能力实践能力自我探索、自我探索、自我分析、自我分析、自我设自我设计、计、自我决策，自我决策，质疑、质疑、反思、反思、逆向、逆向、类比、类