旋转曲面的面积

1、4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题, 都可按 “分一、微元法二、旋转曲面的面积用以导出旋转曲面面积的计算公式. “微元法”来处理. 本节将介绍微元法,并量的积分形式, 但在实际应用中又常用割、近似、求极限” 三个步骤导出所求( )( )d ,xaxf tt 则则( )( ) ,d( )dxf xf xx 或或, 且且( )0 ,( )( )d .baabf xx当当,baf 为为上的连续函数时，若令上的连续函数时，若令一、微元法现在恰好要把问题倒过来现在恰好要把问题倒过来: 若所求量若所求量 是分布在区是分布在区 , (),a xaxb间间上上的的 或者说它是该区间的端点或者说它是该区间

2、的端点 x 的函数的函数, 即即( ) ,f xx 其中其中 f 为某一连续函数为某一连续函数, 而且当时而且当时,0 x( )( ),f xxox 而且当而且当 x = b 时时,)(b 适为最终所求的值适为最终所求的值. 那么只要把那么只要把( )dbaf xx计算出来计算出来, 就是该问题所就是该问题所,),(baxx 在任意小区间上在任意小区间上, 若能把若能把 的的 , , x xxa b 微小增量近似表示为的线性形微小增量近似表示为的线性形式式 x( ) .f xx 在一般情况下在一般情况下, 要严格检验要严格检验( )f xx 以上方法通常称为以上方法通常称为微元法微元法, 在用

3、微元法时在用微元法时, 应注意应注意:求的结果求的结果.(2) 微元法的关键是正确给出微元法的关键是正确给出的近似表达式的近似表达式 为为的高阶无穷小量不是一件容易的事的高阶无穷小量不是一件容易的事.x (1) 所求量所求量 关于分布区间必须是可加的关于分布区间必须是可加的. ),0)(, )( xfbaxxfy这段曲线绕这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面(如下图如下图).设平面光滑曲线设平面光滑曲线 C 的方程为的方程为二、 旋转曲面的面积Oabxyxxx ( )yf x通过通过 x 轴上点轴上点 x 与与 分别作垂直于分别作垂直于 x 轴的轴的平平 xx 22 (

4、 )( ) Sf xf xxxy22 ( ) 1(),yf xyxx 其中其中( )( ).yf xxf x由于由于2200lim0, lim1()1( ),xxyyfxx 时时, , 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, , 即即面面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当很小当很小x因此由的连续性可以保证因此由的连续性可以保证)(xf 22 2 ( )12( ) 1( )yf xyxf xfxxx( ),ox所以得到所以得到2d2 ( ) 1( )d ,Sf xfxx22( ) 1( )d .baSf xfxx如果光滑曲线由参数方程如

5、果光滑曲线由参数方程,),(),( ttyytxx给出给出, 且且, 0)( ty则曲线则曲线 C 绕绕 x 轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转曲面的面积为曲面的面积为222( )( )( )d .Sy txtytt 例例1 求将椭圆求将椭圆)(12222babyax 绕绕 x 轴旋转轴旋转所得所得椭球面的面积椭球面的面积.解解 将上半椭圆写成参数方程将上半椭圆写成参数方程cos ,sin ,0.xat ybtt 令令222,ccabea则则222202sinsincosdSbt atbt t2222204sin()cosdbt aabt t222204cosd(cos )bactt 122041d

6、abe uu2211141arcsin022abue ueue2arcsinbacabaca222222arcsin.aabb baab aba特特别别当当时时, ,即即半半径径为为 的的球球面面的的面面积积: :02222/204sin d4cos4.Sat tata例例2 求心脏线求心脏线)cos1( ar绕极轴旋转所得曲绕极轴旋转所得曲面的面积面的面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解解 将曲线用参数方程表示将曲线用参数方程表示:cos(1cos )cos ,xra 于是于是sin(1cos )sin .yra 请读者自行指出这应该怎么做？请读者自行指出这应该怎么做？22