质点及质点系的动量定理

1、11 质点及质点系的动量定理质点及质点系的动量定理第三章第三章 运动的守恒定律运动的守恒定律3 动量守恒定律及意义动量守恒定律及意义5 功能原理功能原理主要内容主要内容:4 质点及质点系的动能定理质点及质点系的动能定理6 机械能守恒定律机械能守恒定律2 质心及质心运动定理质心及质心运动定理21.1 质点的动量及动量定理质点的动量及动量定理vmP 令令PddtF ttdtFI0令令0PPI动量定理的微分形式动量定理的微分形式 冲量冲量 动量定理的积分形式动量定理的积分形式 动量动量 sN 秒秒牛顿牛顿31.2 质点组的动量及动量定理质点组的动量及动量定理 由具有相互作用的若干个质点构成的系由具有

2、相互作用的若干个质点构成的系统，称之为统，称之为质点组质点组. . 系统内各质点之间的相互作用力称之为系统内各质点之间的相互作用力称之为内力内力. . 系统外其它物体对系统内任意一质点的系统外其它物体对系统内任意一质点的作用力称之为作用力称之为外力外力. . 4iiiiPdtdF iiiiPPFF令令质点组受的合外力质点组受的合外力质点组的动量质点组的动量PddtF 即即质点组的动量定理的微分形式质点组的动量定理的微分形式 00PPdtFtt 质点组动量定理的积分形式质点组动量定理的积分形式 51.3 角动量及角动量定理角动量及角动量定理质点角动量质点角动量Lrmv角动量定理角动量定理dLM

3、dt62 质心及质心运动定理质心及质心运动定理iiiiciiiiciiiicmzmzmymymxmx/iiiicmrmr/iiiicmvmv/iiiicmama/cciiiaMamF质心运动定理质心运动定理73 动量守恒定律及其意义动量守恒定律及其意义0 iiFF若若常矢量常矢量则则 iiPP动量守恒的条件动量守恒的条件动量守恒的内容动量守恒的内容 1. 实际中当合内力远远大于合外力时，动量实际中当合内力远远大于合外力时，动量守恒定律也可认为成立守恒定律也可认为成立. . 2. 某一方向上合外力为零，则该方向上动量某一方向上合外力为零，则该方向上动量守恒定律守恒定律. .角动量守恒定律角动量守

4、恒定律0M若常矢量则L8常量；时当xniniixiixPvmF110niniyiyiiyPvmF110常量；时当常量。时当zniiziniizPvmF1104. 动量守恒定律是最普遍、最重要的定律之动量守恒定律是最普遍、最重要的定律之 一。适用于宏观和微观领域。一。适用于宏观和微观领域。直角坐标系中的分量式：直角坐标系中的分量式：3. 动量守恒定律只适用于惯性参照系动量守恒定律只适用于惯性参照系. .94.1 功功1. 功的定义功的定义rd rFFrdFdW rdFdWrrdF cos BALABrdFdWWABrdF4 质点及质点系的动能定理质点及质点系的动能定理102.在直角坐标系中：元功

5、可表示为在直角坐标系中：元功可表示为功是标量。只有大小，没有方向。功是标量。只有大小，没有方向。3. 变力对它做功变力对它做功4. 合力对质点做的功合力对质点做的功合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。114.2 功率功率1. 平均功率平均功率tWN 2. 瞬时功率瞬时功率(简称功率简称功率)dtdWN dtrdFvF3. 功率的单位功率的单位功率的单位为焦耳每秒功率的单位为焦耳每秒（ ）. . 1sJ W1sJ11 122022121mvmvW ,212mvEk 令令.21200mvEk 0kkEEW 则则 作用在质点上的合外力所做的功等于该作用在质点上的合外力所做

6、的功等于该质点动能的增量质点动能的增量. . 4.3 质点的动能定理质点的动能定理13 2121llrdFrdFW外外力力令令 212112llrdfrdfW内内力力2222112121vmvmEk 2202210102121vmvmEk 0kkEEWW 内内力力外外力力则则kEWW 内内力力外外力力或或若是若是N 个质点构成的质点组个质点构成的质点组, , 则则,2112 NiiikvmE.211200 NiiikvmE4.4 质点组的动能定理质点组的动能定理14 动量和动能的相同点是：二者都是描述动量和动能的相同点是：二者都是描述质点运动的状态量质点运动的状态量. . 动量和动能的不同点是

7、：动量和动能的不同点是： 1 1、动量是矢量，而动能是标量；、动量是矢量，而动能是标量； 2 2、动量取决于力对时间的积累、动量取决于力对时间的积累（冲量冲量）, , 而动能则取决于力对空间积累而动能则取决于力对空间积累（功功）； 3 3、质点组动量的改变仅与外力的冲量有、质点组动量的改变仅与外力的冲量有 关，质点组动能的改变不仅与外力有关关，质点组动能的改变不仅与外力有关 而且还与内力有关；而且还与内力有关； 4 4、质点间机械运动的传递用动量来描述，、质点间机械运动的传递用动量来描述， 机械运动与其它形式运动的传递用动能机械运动与其它形式运动的传递用动能 来描述来描述. . 动量和动能的异

8、同点动量和动能的异同点155.1 保守力及保守力的功保守力及保守力的功1. 万有引力的功万有引力的功rMmFl d dr5 功能原理功能原理12rMmGrMmGW引2. 重力的功重力的功)(12mgymgyW重xoy1y2yrd Gm163. 弹性力的功弹性力的功xoF21222121kxkxW弹 若某种力做功仅与起末位置有关而与路若某种力做功仅与起末位置有关而与路径无关，则这种力称之为径无关，则这种力称之为保守力保守力； 若某种力做功不仅与起末位置有关而且若某种力做功不仅与起末位置有关而且还与路径有关，则这种力称之为还与路径有关，则这种力称之为非保守力非保守力. . 保守力和非保守力属于系统

9、保守力和非保守力属于系统（质点组质点组）的内力的内力. . 17保守力。即若, 0, 0dWWrdF非保守力。即若, 0, 0dWWrdF重力、弹性力、万有引力、静电力重力、弹性力、万有引力、静电力摩擦力、爆炸力摩擦力、爆炸力物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种特性的力，统称为非保守力。这种特性的力，统称为非保守力。18 （1）势能）势能 为状态量，是状态（位置）的单值为状态量，是状态（位置）的单值 函数。其数值还与零势能点的选取有关。函数。其数值还与零势能点的选取有

10、关。 （2）势能属于物体与系统所共有。）势能属于物体与系统所共有。 （3）只有保守力场才能引入势能的概念。）只有保守力场才能引入势能的概念。 守力所做的功。势能零点位置时保等于质点从该点移动到势能。那么某点的作为势能零点，即选取rErErPP0005.2 势能势能195.3 功能原理功能原理 pkMpkMEEEEEE非非保保守守内内力力保保守守内内力力内内力力WWW )()(00pkpkMpkEEEEWWEEEWW非保守内力非保守内力外力外力非保守内力非保守内力外力外力或者或者206 机械能和机械能守恒定律机械能和机械能守恒定律 0000pkpkMMEEEEEEWW或或则则若若非保守内力非保守

11、内力外力外力,1 NikikEE其其中中.1 NipipEE 若外力和非保守内力均不做功，或质点若外力和非保守内力均不做功，或质点组在只有保守内力做功的条件下，质点组内组在只有保守内力做功的条件下，质点组内部的机械能相互转化，但总的机械能守恒部的机械能相互转化，但总的机械能守恒. . 这就是这就是机械能转化和机械能守恒定律机械能转化和机械能守恒定律. . 21 （1） 前提前提: :只有保守内力做功，其它内力和外只有保守内力做功，其它内力和外 力不做功，或它们的代数和为零，或可以忽略不力不做功，或它们的代数和为零，或可以忽略不计；计； （2）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考只适用于惯性参考

12、系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，机械能不一定守恒。系中，即使满足上述条件，机械能不一定守恒。 （3）与惯性参考系的选择有关。因为外力做功与惯性参考系的选择有关。因为外力做功 虽然与选取参考系无关，但非保守内力做功是否虽然与选取参考系无关，但非保守内力做功是否为零为零, ,则决定于参考系的选择。则决定于参考系的选择。机械能守恒的几点说明机械能守恒的几点说明: : 227 能量转化和能量守恒定律能量转化和能量守恒定律 能量既不能消灭，也不能产生；它只能能量既不能消灭，也不能产生；它只能从一个物体传递给另一个物体，或物体的一从一个物体传递给另一个物体，或物体的一部分传递给另一部分，由一种

13、形式转化为另部分传递给另一部分，由一种形式转化为另一种形式一种形式. . 这称之为能量转化和能量守恒定这称之为能量转化和能量守恒定律律. . 238 例题分析例题分析 1.如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为 的小球的小球, ,当它以初速度当它以初速度 射向桌面，射向桌面，撞击桌面后以速度撞击桌面后以速度 弹开弹开. . 和和 与桌面法线方向之间的夹角分别为与桌面法线方向之间的夹角分别为 和和 . .（1）求小球所受到的冲量；求小球所受到的冲量；（2）如果撞击的时间为如果撞击的时间为 ，试求桌面，试求桌面施于小球的平均冲击力施于小球的平均冲击力. . kg105 . 23 m11sm20

14、v12sm18 v1v2v451 302 s001. 024解解 已知条件如图所示。已知条件如图所示。11sm20 v451 12sm18 v302 1 2 s001. 0,kg105 . 23 tm)(1212vvmPPI )cos(sin)cos(sin111222jivjivm 310)21039()2109(41 jiI25tIF )SN(1000. 754. 13 ji)N(00. 754. 1ji )21039()2109(41ji 26 2.如图所示，在光滑的平面上，质量为如图所示，在光滑的平面上，质量为 的质点以角速度的质点以角速度 沿半径为沿半径为 的圆周匀速运的圆周匀速运动

15、动. . 试分别用积分法和动量定理，求出试分别用积分法和动量定理，求出 从从 到到 的过程中合外力的冲量的过程中合外力的冲量. . m R 02/ 解解)(tFRom 用积分法求解如下：用积分法求解如下： 21)(ttdttFI 21)sincos(2ttdtjimR dtjidtdmR)sincos(20 27)(tFRom 用动量定理求解如下：用动量定理求解如下： 21)(ttdttFI)(12vvm )(jimR )(jimRI 12PP 1v2v28 3.一辆装煤车以一辆装煤车以 的速率从煤斗的速率从煤斗下面通过，如图所示下面通过，如图所示. . 每秒钟落入车厢的煤每秒钟落入车厢的煤为

16、为 ，如果使车厢的速率保，如果使车厢的速率保持不变，应加多大的牵引力拉车厢？持不变，应加多大的牵引力拉车厢？（车厢车厢与钢轨间的摩擦忽略不计与钢轨间的摩擦忽略不计）. . 1sm3 v1-skg500 dtdmmdmvF29解解 以以m 表示在表示在t 时刻煤车和已落入煤车的煤时刻煤车和已落入煤车的煤的总质量的总质量. .在此后在此后 时间内又有质量为时间内又有质量为 的的煤落入车厢煤落入车厢. . dtdm 取取m 和和 为研究对象，则对这一系统为研究对象，则对这一系统在时刻在时刻t 的水平方向总动量为的水平方向总动量为 dmmvdmmv 0在在 时刻的水平方向总动量为时刻的水平方向总动量为

17、dtt vdmmvdmmv)( 在在 时间内水平方向总动量的增量为时间内水平方向总动量的增量为dtvdmmvvdmmdP )(30 此系统所受的水平牵引力此系统所受的水平牵引力F ，由动量定由动量定律可得律可得 vdmFdt 所以所以dtdmvF N105 . 150033 31 4.一个原来静止在光滑水平面上的物体，一个原来静止在光滑水平面上的物体，突然列成了三块，且以相同的速率沿三个方突然列成了三块，且以相同的速率沿三个方向在水平面上运动，各方向之间的夹角如图向在水平面上运动，各方向之间的夹角如图所示所示. .求三块物体的质量比求三块物体的质量比. . vm,2vm,1vm,3012009

18、00150解解 设三块物体的速设三块物体的速率均为率均为 ，由于原来，由于原来静止，而且在列解过静止，而且在列解过程中不受外力的作用，程中不受外力的作用，所以它们的动量守恒所以它们的动量守恒. . 于是有于是有 v0321 PPP32vm,2vm,1vm,301200900150 030sin60sin030cos60cos030203021vmvmvmvmvm竖竖直直方方向向：水水平平方方向向：3:1:2:321 mmm联立求解可得三块物体的质量比为联立求解可得三块物体的质量比为33 5.5.一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。

19、如果把绳的上端放开，下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。的三倍。证：证： 设设 t=0 时刻，绳的上端为时刻，绳的上端为 x 轴轴的原点的原点O ，向下为正方向，绳长为，向下为正方向，绳长为 l ,总质量为总质量为 M 。xxlON34 则则 t 时刻，已落到桌面上的绳长为时刻，已落到桌面上的绳长为 x ，质量为，质量为 m=M x / l，以此为研究对象。受力如图所示：以此为研究对象。受力如图所示：NP

20、Tm35可忽略不计。即因为PdPdT,将（将（2）式代入（）式代入（1）式得）式得PdTdm366. 从从10米深的井中把米深的井中把10千克的水匀速上提，若千克的水匀速上提，若每升高每升高1米漏去米漏去0.2千克的水千克的水. . (1)画出示意图，设置坐标轴后，写出力所作元画出示意图，设置坐标轴后，写出力所作元功的表达式功的表达式. . (2)计算把水从井下匀速提到井口计算把水从井下匀速提到井口外力所作的功外力所作的功. .解解 (1)建立坐标并作示意图如下：建立坐标并作示意图如下：oymFdmGF gmmF)(gym)( 37(2) 21)(yygdyymW 1008 . 9)2 . 0

21、10(dyy)J(882 idyFdW 故故gdyym)( 38 7.一质量为一质量为10kg的质点，沿的质点，沿x 轴无摩擦轴无摩擦的运动的运动. . 设设t = =0时，质点位于原点，速度为时，质点位于原点，速度为零零（即初始条件为：即初始条件为： ）. . 问：问：0, 000 vx（1）设质点在设质点在F =3+4t 牛顿力的作用下运动牛顿力的作用下运动了了3秒秒（t 以秒计以秒计），它的速度和加速度增为，它的速度和加速度增为多大？多大？（2）设质点在设质点在F =3+4x 牛顿力的作用下移动牛顿力的作用下移动了了3米米（x 以米计以米计），它的速度和加速度增为，它的速度和加速度增为多

22、大？多大？39 解解 （1）设设t 时刻质点速度为时刻质点速度为v , ,则由动则由动量定理得量定理得 tFdtmvmv00 tdtt0)43(223tt ,232mttv 所以所以mtdtdva43 代入数据代入数据t =3s、m =10kg可得速度和加速可得速度和加速度分别为度分别为 .sm5 . 1,sm7 . 221 av40（2）设移动到设移动到x 位置时质点速度为位置时质点速度为v ，则由则由动能定理，得动能定理，得 xFdxmvmv02022121xdxx 0)43(223xx ,462mxxv 所以所以.43mxmFa 代入数据代入数据x =3m、m =10kg可得速度和加速可

23、得速度和加速度分别为度分别为 .sm5 . 1,sm3 . 221 av41 8.一球形容器落入水中，刚接触水面时，其速度一球形容器落入水中，刚接触水面时，其速度为为 。设此容器在水中所受的浮力与重力相等，水。设此容器在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为的阻力为 f=-kv ,求（求（1）阻力所做的功；（）阻力所做的功；（2）下落）下落距离与时间的函数关系。距离与时间的函数关系。0v 解解：（一）如图，取坐标：（一）如图，取坐标 Ox 向下为正。由功的定义，向下为正。由功的定义，水的阻力做的功为水的阻力做的功为0vOP浮Ff42由题意：由题意：两边积分两边积分即即得得即即43将（将（2）式代

24、入（）式代入（1）式得）式得44（二）由（二）由（2）式得）式得 两边积分：两边积分：得得45（2）如果如果 和和 交换位置，结果如何？交换位置，结果如何？1m2m（1）对上面的木板必须施加多大的正压力对上面的木板必须施加多大的正压力 以便在力以便在力 突然撤去而上面的木板跳起来时，突然撤去而上面的木板跳起来时，恰好使下面的木板提离地面？恰好使下面的木板提离地面？FF 9.如图所示，用一弹簧把质量分别为如图所示，用一弹簧把质量分别为 和和 的两块木板连接在一起，放在地面上，弹的两块木板连接在一起，放在地面上，弹簧的质量可忽略不计，且簧的质量可忽略不计，且 . . 问：问：12mm 1m2m46

25、1m2m1m2m1m2mF2x 1x 0 重重pE0 弹弹pE 解解 设弹簧的弹性系数为设弹簧的弹性系数为k , ,上面的木板上面的木板处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点 , , 如图所示如图所示. . 47 则则 上跳使弹簧必须伸长上跳使弹簧必须伸长 才能使下面的木板恰能提起，才能使下面的木板恰能提起， 1mkgmx21 正压力正压力 压上压上面的木板时，弹簧压缩量面的木板时，弹簧压缩量 突然撤去外力突然撤去外力 后，上面的木板由这一位置后，上面的木板由这一位置从静止开始向上运动

26、，因为系统从静止开始向上运动，因为系统（两块木板、两块木板、弹簧、地球弹簧、地球）只有重力、弹性力做功，所以只有重力、弹性力做功，所以系统遵守机械能守恒定律系统遵守机械能守恒定律. . F kgmFx12 F 若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰能伸长能伸长 ，则以上各量必须满足，则以上各量必须满足 1x 21121222121xxgmxkxk 48把把 和和 代入上式，化简可得代入上式，化简可得 1x 2x 2212gmgmF gmmF21 所所以以因为因为 不是压力，故舍去不是压力，故舍去. . gmmF21 所得结果具有对称性，因此所得结果具有对称性，因此

27、 和和 交换交换位置结果是不会改变的位置结果是不会改变的. . 1m2m49 10.如图所示，质量为如图所示，质量为m 的物块从离平板的物块从离平板高为高为h 的位置下落，落在质量为的位置下落，落在质量为m 的平板上的平板上. . 已知轻质弹簧的弹性系数为已知轻质弹簧的弹性系数为k ，物块与平板物块与平板的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量最大压缩量. . 解解 该问题可分解为三个过程加以处理，该问题可分解为三个过程加以处理，即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、物块与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程物块

28、与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程. . 在物块下落的过程中，物块是自由下落，在物块下落的过程中，物块是自由下落，所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为 ghv21 50h1x2x 在物块与平板碰撞过程中，由于碰撞过在物块与平板碰撞过程中，由于碰撞过程时间极为短促，此时重力、弹性力比碰撞程时间极为短促，此时重力、弹性力比碰撞时相互作用的冲力小得多，可以忽略不计，时相互作用的冲力小得多，可以忽略不计，若碰撞后物块和平板共同前进的速度为若碰撞后物块和平板共同前进的速度为 ，则由动量守恒定律可得则由动量守恒定律可得 2v21)(vmmmv 51 在碰撞后弹簧继续压

29、缩的过程中，取物在碰撞后弹簧继续压缩的过程中，取物块、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究块、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究对象，由于质点组仅有保守力对象，由于质点组仅有保守力（重力、弹性重力、弹性力力）做功，所以由机械能守恒定律得做功，所以由机械能守恒定律得 pkMEEE 由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组的动能变化为的动能变化为 22)(210vmmEk 质点组的势能变化为质点组的势能变化为5221222121)()(21kxgxmmxxkEp 021)()(21)(212122

30、2122 kxgxmmxxkvmm所所以以1kxmg 又又因因为为联立以上各式，并整理可得联立以上各式，并整理可得 02222 kmghxkmgx53hkmgkmgkmgx 22解之可得解之可得 因为要求因为要求 ，所以舍去负根，则碰，所以舍去负根，则碰撞后弹簧的最大压缩量为撞后弹簧的最大压缩量为 02 xhkmgkmgkmgxxx 221max254 11.如图是打桩的示意图如图是打桩的示意图. . 设锤和桩的质设锤和桩的质量分别为量分别为 和和 ，锤的下落高度为，锤的下落高度为h ，假定假定地基的阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进地基的阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进土中的深度为土中的深度为

31、d ，求地基的阻力求地基的阻力f 等于多大？等于多大？ 1m2m1m2mhd 解解 以锤为研究对象，锤以锤为研究对象，锤打击桩前作自由落体运动打击桩前作自由落体运动, ,则则 ghv21 以锤和桩为研究对象，则以锤和桩为研究对象，则锤与桩构成的质点组动量守恒锤与桩构成的质点组动量守恒. . 设锤打击桩后不回跳，锤和桩设锤打击桩后不回跳，锤和桩以共同的速度以共同的速度v 进入土中，则进入土中，则 55vmmvm)(2111 以锤、桩和地球构成的质点组为研究对以锤、桩和地球构成的质点组为研究对象由功能原理可得象由功能原理可得 22121)(21)(vmmgdmmfd 联立以上各式，并求解可得联立以

32、上各式，并求解可得dmmghmgmmf)()(212121 56 12. 一质量为一质量为m = =3500kg 铝制人造地球铝制人造地球卫星绕地球做圆周运动，轨道高度为卫星绕地球做圆周运动，轨道高度为h = =100km，关闭发动机后，由于空气阻力，它关闭发动机后，由于空气阻力，它将逐渐减速，最后撞回到地面将逐渐减速，最后撞回到地面. . （1）求卫星在正常轨道时的总能量和落求卫星在正常轨道时的总能量和落回到地面后的总能量回到地面后的总能量. . （2）如果卫星落地后减少的能量全部以如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化吗？

33、它能被全部蒸发吗？吗？它能被全部蒸发吗？ 已知铝的熔解热是已知铝的熔解热是 ，铝的蒸发热为铝的蒸发热为 15kgJ1098. 3 C.kgJ1005. 117 C57 解解（1）卫星做圆周运动时，地球对卫卫星做圆周运动时，地球对卫星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则eeeRhvmRhmMG 22)( 因此卫星做圆周运动时的总能量为因此卫星做圆周运动时的总能量为 eepkMRhmMGmvEEE 221eeeeRhmMGRhmMG )(258)(2eeRhmMG J101 . 111 卫星落回到地面卫星落回到地面（v = 0，h = 0）时的总时的总能量为能量为

34、 eeMRmMGE J102 . 211 （2）卫星由轨道上落回到地面后，能量卫星由轨道上落回到地面后，能量的减少为的减少为 MMMEEE J101 . 111 59 卫星全部熔化所需要的热量为卫星全部熔化所需要的热量为 EJ104 . 19 mCQ 如果卫星落地后减少的能量全部以热量如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化. .卫星全部被蒸发所需要的热量为卫星全部被蒸发所需要的热量为 QCmQ M10EJ107 . 360 13.如图所示如图所示, ,劲度系数为劲度系数为k 的轻弹簧水的轻弹簧水平放置平放置, ,一端固定一

35、端固定, ,另一端系一质量为另一端系一质量为m 的物的物体，物体与水平面间的摩擦系数为体，物体与水平面间的摩擦系数为 . . 开始开始时弹簧没有伸长，现以恒力时弹簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡将物体自平衡位置开始向右拉动，试求系统的最大势能为位置开始向右拉动，试求系统的最大势能为. . Fkm 解解 由于系统的重力势能不变，所以系由于系统的重力势能不变，所以系统的势能仅为弹性势能统的势能仅为弹性势能. . 弹性势能最大处并弹性势能最大处并不在合力为零的位置处，而是在速度为零的不在合力为零的位置处，而是在速度为零的位置处，所以由动能定理得位置处，所以由动能定理得 61 2021mvdxkx

36、mgFx 222121mvkxxmgF 即即 mkxxmgFv22 所以所以令令 可求得可求得 0 v mgFkx 2max所以系统的最大势能为所以系统的最大势能为 22maxmax221mgFkkxEp 62 14. 一条均匀链条，质量为一条均匀链条，质量为 m，总长为，总长为 l，成直线状，成直线状放在桌面上，设桌面与链条间摩擦系数为放在桌面上，设桌面与链条间摩擦系数为。现已。现已知链条下垂长度为知链条下垂长度为 a 时，链条开始下滑。用动能定时，链条开始下滑。用动能定理，功能原理计算链条刚好全部离开桌面时速率。理，功能原理计算链条刚好全部离开桌面时速率。Oxaxdx对下垂部分对下垂部分a：Oxal x解解: (一一)由动能定理由动能定理：63对桌面上部分对桌面上部分 l-a:将（将（2）式和（）式和（3）式代入（）式代入（1）式得）式得有有64（二）以链条、地球为研究对象，由功能原理（二）以链条、地球为研究对象，由功能原理设设O为零势能点为零势能点将（