第三章插值方法2013秋1

1、1一、插值问题一、插值问题个个点点及及它它的的函函数数值值设设给给定定1 n)()(xfxP 解决此类问题就称为解决此类问题就称为插值问题插值问题。)()(),(xfxPxf来来近近似似代代替替法法构构造造一一个个多多项项式式以以要要想想办办但但是是现现在在是是未未知知的的，所所函函数数关关系系，它它们们之之间间存存在在具具体体的的一一般般是是根根据据测测量量得得到到的的工工程程中中经经常常要要用用到到，这这些些点点的的数数据据信信息息，在在2二、插值法二、插值法 上上有有定定义义，在在区区间间设设函函数数baxfy,)( 上上的的值值且且已已知知在在点点bxxxan 10使使）（若若存存在在

2、一一简简单单函函数数,10 xPyyyn), 1 ,0()(niyxPii 的的插插值值函函数数。为为成成立立，就就称称)()(xfxP插插值值函函数数）)(1xP插插值值节节点点，）nxxx102 插插值值区区间间）ba,3插插值值条条件件） ),.,1 , 0()(4niyxPii插值余项插值余项） )()()(5xPxfxR被被插插函函数数）)(6xf如图所示如图所示知曲线知曲线并用它近似已并用它近似已）个点（个点（给定的给定的使其通过使其通过求曲线求曲线是是从几何上看，插值法就从几何上看，插值法就),(,.,1 , 0,1),(xfyniyxnxPyii 几何意义：几何意义：则则称称为

3、为外外插插。相相应应插插值值称称为为内内插插，否否的的最最小小闭闭区区间间时时，当当估估算算点点属属于于包包含含nxxx,.,1034三、插值类型三、插值类型根据插值函数的类型分为：根据插值函数的类型分为：1)1)多项式插值：函数作成多项式多项式插值：函数作成多项式。2)2)三角插值：函数作成三角函数的多项式三角插值：函数作成三角函数的多项式。( )cos ,sinP xfxx3)3)有理函数插值。有理函数插值。 二元、三元函数也有类似的插值二元、三元函数也有类似的插值。4)4)分段插值：函数作成分段多项式分段插值：函数作成分段多项式。1四、插值多项式的存在唯一性四、插值多项式的存在唯一性)(

4、1xP求求多多项项式式1011( )0nnnnnnP xaa xaxa xa设一 次多项式（）点点的的值值代代入入个个插插值值条条件件，将将每每个个节节这这就就要要根根据据已已知知的的也也就就是是求求求求1,.,)(10 naaaxPn100010100()nnnnP xyaa xaxa x11101 11 11()nnnnP xyaa xaxa x1011()nnnnnnnnnP xyaa xaxa x2的的存存在在唯唯一一性性。证证明明插插值值多多项项式式)(2xP 根据代数知识，由克兰姆法则，方程组的解根据代数知识，由克兰姆法则，方程组的解存在唯一的充要条件是欲求解的线性方程组的系存在唯

5、一的充要条件是欲求解的线性方程组的系数行列式不为零。数行列式不为零。1000111101111(,.,)1nnnnnnnnnnnxxxxxxV x xxxxx因此，在这里的系数行列式为因此，在这里的系数行列式为此行列式就是著名的范德蒙行列式。此行列式就是著名的范德蒙行列式。3)(),.,(10110jiijninnxxxxxV 0, jijixxxxji故故所所有有因因子子时时，由由于于0),.,(10 nnxxxV于于是是存存在在唯唯一一。多多项项式式从从而而解解存存在在唯唯一一，插插值值列列式式不不等等于于零零，阶阶线线性性方方程程组组的的系系数数行行这这说说明明)(1xPn 次次多多项项

6、式式存存在在唯唯一一。并并且且这这个个，项项式式系系数数个个插插值值条条件件即即可可求求出出多多出出次次多多项项式式，只只要要给给如如果果要要求求的的插插值值函函数数是是naaannn,.,110 4三、拉格朗日插值多项式三、拉格朗日插值多项式。次次插插值值多多项项式式求求一一个个，个个插插值值条条件件个个点点及及对对应应点点的的函函数数值值已已知知)()1(1xLnnnn 满满足足插插值值条条件件：假假设设)(xLn),.,2 , 1 , 0()()(nixfyxLiiin 即即次次插插值值多多项项式式的的表表达达式式再再求求，个个，设设它它们们分分别别为为次次）插插值值基基函函数数（的的具

7、具体体作作法法也也是是先先确确定定nxLxLxLnnxLnn),(.)()(1)(10 nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100 值值多多项项式式。我我们们称称其其为为拉拉格格朗朗日日插插12特特点点：次次插插值值基基函函数数具具有有如如下下n次次多多项项式式。都都是是）nxlxlxln)(),.,(),(110 0001)(0iixli kikixlik01)( 1011)(1iixli）在节点上）在节点上2 ninixlin01)(），否否则则等等于于（角角标标一一致致时时等等于于0113一一样样的的：性性，二二次次插插值值基基函函数数是是次次插插值值基基函函数数求求法法与与线

8、线n。必定含有因子必定含有因子所以所以时，时，由于由于对于对于).()()(, 0)(.,),(2100210nnxxxxxxxlxlxxxxxxxl 的的值值。是是，恰恰好好时时，如如果果)(1)()()()(0002010210 xlxxxxxxxxxxxxxxnn )()()()()(02010210nnxxxxxxxxxxxxxl 次次插插值值的的一一个个基基函函数数。为为n义义：满满足足插插值值条条件件。于于是是定定显显然然记记上上式式为为)(),(00 xlxl14个个基基函函数数。同同理理，可可作作出出另另外外 n)()()()()(12101201nnxxxxxxxxxxxxx

9、l )()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl )()()()()(110110 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxl日日插插值值多多项项式式）为为：次次插插值值多多项项式式（拉拉格格朗朗相相应应的的nnnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100 knkkyxl)(0 15knknkkkkkkknkknyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxL 011101110)()()()()()()(以以后后的的部部分分。用用时时，当当1111,0 kkkkxxxxxxk以以前前的的部部分分。用用时时，当当nknnkx

10、xxxxxnk ,化化简简：)()()(101nnxxxxxxx 记记)()()(0201001nnxxxxxxx )()()()(11101nkkkkkkkknxxxxxxxxxxx knkknknnyxxxxxL 011)()()()( 所所以以，即即16四、插值余项四、插值余项)()(xfxLn 记记误误差差，所所以以它它们们之之间间必必然然存存在在近近似似代代替替由由于于),()(xfxLn)()()(xLxfxRnn 插插值值余余项项截截断断误误差差插插值值余余项项特特点点：。）插插值值节节点点上上没没有有误误差差1), 1 , 0(0)()()(nixLxfxRiniin )()(

11、iinxfxL 利利用用的的是是插插值值条条件件。有多大，可由定理给出有多大，可由定理给出有误差，至于误差有误差，至于误差与与）不在节点上时）不在节点上时)()(2xLxfn17 ，且且依依赖赖于于 xba, )()()(101nnxxxxxxx )()1()()()()()1()1(xnfxLxfxRnnnn ！ 插插值值余余项项任任何何则则对对的的插插值值多多项项式式是是满满足足条条件件节节点点内内存存在在在在上上连连续续在在设设,),.,2 , 1 , 0()()(,),()(,)(10)1()(baxniyxLxLbxxxabaxfbaxfiinnnnn 定理：定理：首首先先回回顾顾罗

12、罗尔尔定定理理中中的的中中值值定定理理方方法法。此此定定理理的的证证明明类类此此高高数数这里这里18满满足足条条件件假假设设函函数数)(xf 上上连连续续；在在）baxf,)(1内内可可导导；在在）),()(2baxf；）)()(3bfaf 使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba 。0)( f最最简简单单的的情情况况如如图图：ab xy0)(xfy 0斜斜率率为为导导数数的的几几何何意意义义是是)()(bfaf 0)( f19证明：证明：)()()(xLxfxRnn )()()(iinnxfxLxL 满满足足插插值值条条件件由由于于),.,2 , 1 , 0(0)()()(nixLxf

13、xRiniin 个个零零点点有有1)( nxRn)()()()(10nnxxxxxxxKxR 设设)()(1xxKn 有关的待定函数有关的待定函数是与是与其中其中xxK)( )(,代代替替用用作作函函数数上上一一个个固固定定点点看看成成现现在在把把txbax)()()()()(1txktLtftnn 即即20的的零零点点考考虑虑)(t ),.,2 , 1 , 0(0)()()()()(1nixxkxLxfxininii 的零点的零点至少具有至少具有1)( nt 0)()()()()(1 xxkxLxfxnn 又又的的一一个个零零点点也也是是)(tx 个零点个零点具有具有2)( nt 利用罗尔定

14、理利用罗尔定理0)()()()()(210 xxxxxn 0)(1 0)(2 0)(3 0)( n 0)(1 n 121,.,1)( nnt 个个零零点点具具有有21再利用罗尔定理再利用罗尔定理个零点个零点具有具有nt)( 反复应用罗尔定理得反复应用罗尔定理得 有一个零点，记为有一个零点，记为)()1(tn 0)()1( n阶导数阶导数求求另一方面，对另一方面，对1)( nt )!1)()()()1()1( nxktftnn 代替代替用用 t0)()1( n0)1)()()1( ！nxkfn xbanfxkn且且依依赖赖于于),()!1()()()1( )()!1()()(1)1(xnfxRn

15、nn 证毕证毕22说明：说明：只只是是一一个个估估计计式式所所求求的的因因此此我我们们也也未未知知所所以以未未知知由由于于)(,)(,)()1)1(xRxfxfnn 若估计若估计)21)1()(max nnbxaMxf的截断误差限是的截断误差限是逼近逼近那么插值多项式那么插值多项式)()(xfxLn)()!1()(11xnMxRnnn 大大，这这样样便便于于求求解解。作作余余项项估估计计可可以以适适当当放放23误差的方法误差的方法另外，再介绍一种估计另外，再介绍一种估计事后误差估计事后误差估计 的的讨讨论论有有根根据据前前面面余余项项记记为为次次插插值值多多项项式式一一个个再再构构造造如如一一

16、组组至至少少有有一一个个点点不不同同与与上上面面个个插插值值节节点点再再另另选选一一组组记记为为次次插插值值多多项项式式，构构造造一一个个如如选选值值节节点点个个插插任任选选其其中中的的的的任任一一区区间间点点是是包包含含，个个插插值值节节点点给给出出),(,.,),(1),(,.,1,.,.,2)2(121)1(10110110 xLnxxxnxLnxxxnxxxbaxxxnnnnnnn 24)()()!1()()()(112)1()2( nnnxxxxnfxLxf 。其其中中),(,21ba 变化不大，则变化不大，则在插值区间内连续而且在插值区间内连续而且若若)()1(xfn 10)2()

17、1()()()()( nnnxxxxxLxfxLxf因此可以得到因此可以得到)()()()2(010)1(101xLxxxxxLxxxxxfnnnnn )()()!1()()()(01)1()1(nnnxxxxnfxLxf 25从而推出从而推出 )()()()()2()1(100)1(xLxLxxxxxLxfnnnn )()()()()2()1(101)2(xLxLxxxxxLxfnnnnn 。法，通常称为事后估计法，通常称为事后估计方方算的结果来估计误差的算的结果来估计误差的之差来估计。这种用计之差来估计。这种用计值函数值函数的误差可以通过两个插的误差可以通过两个插和函数和函数出，插值函数出

18、，插值函数由上面两个公式可以看由上面两个公式可以看)()(),()2()1(xfxLxLnn计是常用的。计是常用的。在计算中，事后误差估在计算中，事后误差估26介绍两种最简单的插值：介绍两种最简单的插值：5二、线性插值与抛物线插值二、线性插值与抛物线插值1 1 线性插值线性插值 的的两两端端点点处处函函数数值值假假定定已已知知区区间间1, kkxx 是插值曲线。是插值曲线。，来近似代替曲线来近似代替曲线这两点作一条直线这两点作一条直线过过几何意义：几何意义：)()()(,1111xLxfxLyxyxkkkk 。)(),(11 kkkkxfyxfy6拉格朗日插值形式：拉格朗日插值形式：）（*均差

19、形式均差形式,牛顿插值：牛顿插值：基函数特点：基函数特点：)()(11111两两点点式式 kkkkkkkkyxxxxyxxxxxLy)()()()()()(111点点斜斜式式kkkkkkxxxxxfxfxfxLy 。记记它它们们为为它它们们的的线线性性组组合合，分分别别）式式是是都都是是一一次次式式，（与与）)(),(*11111xlxlxxxxxxxxkkkkkkkk 1011)(01)(21kikixlkikixlikik）7为为线线性性插插值值基基函函数数。和和这这时时我我们们就就称称)()(1xlxlkk 2 2 抛物线插值抛物线插值只要确定基函数就可以求出抛物线插值（二次插只要确定基

20、函数就可以求出抛物线插值（二次插值）多项式的表达式。值）多项式的表达式。求求一一个个二二次次多多项项式式）函函数数值值（三三个个插插值值条条件件已已知知三三个个点点及及对对应应点点的的)()(),(),(21111xLyxfyxfyxfykkkkkk )(),(),(11xlxlxlkkk 数分别为数分别为不妨设抛物线插值基函不妨设抛物线插值基函（线线性性插插值值多多项项式式）。多多项项式式就就可可求求出出与与只只要要确确定定基基函函数数因因此此可可表表示示为为相相应应的的线线性性插插值值多多项项式式)(),()(,)()()(11111xLxlxlyxlyxlxLkkkkkk 8抛物线插值（

21、二次）插值基函数特点：抛物线插值（二次）插值基函数特点：下面具体作插值基函数：下面具体作插值基函数：本本身身都都是是二二次次式式。)(),(),()111xlxlxlkkk )3(1011)(1 kikixlik)2(01)( kikixlik在节点上有在节点上有)2)1(1011)(1 kikixlik9的值。的值。，恰好是，恰好是时，时，如果如果)(1)()(1111111 kkkkkkkkkxlxxxxxxxxxx于是定义于是定义）。）。满足插值条件（满足插值条件（显然显然记上式为记上式为1)(),(11xlxlkk )()()(11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl为抛物线（二

22、次）插值的一个基函数。为抛物线（二次）插值的一个基函数。, 0)(),(111 xlxxxxxlkkkk时时，和和由由于于对对于于。必必定定含含有有因因子子所所以以)()(11 kkkxxxxxl10同理同理,可作出另外两个基函数：可作出另外两个基函数：)()()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 11112)()()()( kkkkkkyxlyxlyxlxL（抛物线插值）多项式（抛物线插值）多项式立即得到二次插值立即得到二次插值利用二次插值基函数，利用二次插值基函数，插插值值基基函函数数。条条件件，我我们们称称之之为为二二次次值值都都是是二二次次式式