第七章(3-7) 线性离散系统的分析与校正

1、7-3. Z变换理论（记忆）线性连续线性连续系统 可用拉氏变换拉氏变换分析动态及稳态性能。线性离散线性离散系统可用Z变换变换分析动态及稳态性能。Z变换是从拉氏变换直接引申出来的变换方法，实际上是采样函数拉氏变换的变形拉氏变换的变形，故又称采样拉氏采样拉氏变换变换。1. Z变换定义2. Z变换的求法3. Z变换性质4. Z反变换1. Z变换定义变换定义 原原像像像像 :)( :)(*tezEz 变换只对离散信号而言。E(z) 只对应唯一的e*(t)，不对应唯一的e (t)。注：2. Z变换的求法变换的求法级数求和法（定义法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）0( )()nnE ze n

2、Tz 1此题，也可直接查表获得，可简写做( ) ( )E zZ E sP322，常用时间函数的，常用时间函数的Z变换表如表变换表如表7-2所示。所示。1( )Res ( )ilTsis szE zE sze 3. Z变换的性质（基本定理）变换的性质（基本定理）（熟记）（熟记）4. Z反变换反变换7-4. 离散系统的数学模型离散系统的数学模型有：差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式等。连续系统的数学模型有：微分方程、传递函数、状态空间表达式、方框图、信号流图、频率响应特性（图）。 离散系统的数学定义 线性常系数差分方程及其解法 脉冲传递函数 开环系统脉冲传递函数 闭环系统脉冲传递函数 离散

3、系统的数学定义2. 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法 (1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)1()()( kekeke后向差分1阶后向差分2阶后向差分n阶后向差分)1()()(2 kekeke)2()1(2)( kekeke)1()()(11 kekekennndt)(d)(lim0teTkeT )()1()(kekeke 前向差分1阶前向差分2阶前向差分n阶前向差分)()1()(2kekeke )()1(2)2(kekeke )()1()(11kekekennn dt)(d)(lim0teTkeT (2) 差分方程离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式 对于一般的

4、线性定常离散系统， 时刻的输出 ，不仅与 时刻的输入 有关，还与 时刻以前的输入 有关，同时还与 时刻以前的输出 有关。k( )c kkkk( )r k(1), (2),.r kr k(1), (2),.c kc k含义：含义：1101101111( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmnnmmd c tdc tdc td r tdr tdr taaaa c tbbbb r tdtdtdtdtdtdt回忆线性定常连续系统数学模型(3) 差分方程的解法：差分方程的解法：迭代法迭代法Z变换法变换法迭代法迭代法(递推法递推法)：从初值出发，按照差分方程一步一步递推出输出序列。

5、7-16Z变换法变换法7-173. 脉冲传递函数 差分方程的解可以提供离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，研究脉冲传递函数。 所谓零初始条件，是指在 时，输入脉冲序列各采样值 以及输出脉冲序列各采样值 均为零。0t (), ( 2 ),.rTrT(), ( 2 ),.cTcT 上式表明，如果已知 和 ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为( )R z( )G z*11( ) ( ) ( ) ( )c tZC zZG z R z 离散系统复域数学模型离散系统复域数学模型 很多实际系统，输出往往是连续信号 ，而不是采样信

6、号 ，此时，可以在输出端虚设一个理想采样开关输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。如系统的实际输出比较平滑，且采样频率较高，则可用 近似描述 。虚设的采样开关是不存在的虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描脉冲传递函数所能描述的述的，只是输出连续函数 在采样时刻上的离散值 。( )c t*( )c t( )c t*( )c t( )c t*( )c t实际开环离散系统（2）脉冲传递函数意义传递函数的含义：传递函数 是系统脉冲响应 的拉氏变换。( )G z()K nTz( )G s( )K t0( )()( )()nnG zZ K nTK z

7、K nT z脉冲传递函数的含义：脉冲传递函数 等于系统单位脉冲响应序列 的 变换。（3） 脉冲传递函数的求法 定义法是一种求法，另外若已知连续系统或元件的传递函数 ， 如何求其离散化后系统的脉冲传递函数 ？( )G z( )G s两种方法：第一种，先求 的拉氏反变换，得到脉冲响应函数 ，再将按采样周期离散化，得加权序列 ；最后将 进行 变换，求出 。( )G s( )K t()K nT()K nTz( )G z第二种，查表法（较实用，掌握）。把 变换表7-2中的时间函数 看成 ，那么表中的 就是 ，而 则相当于 。因此，根据 变换表7-2，可以直接从 得到 。z( )e t( )K t( )E

8、 s( )G s( )E z( )G zz( )G s( )G z若 为较高次的有理分式，需要进行部分分式法分解，然后逐项查出相应的( )G s( )G z7-194. 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数 开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采采样开关的数目和位置样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也截然不同。离散系统特有的现象离散系统特有的现象（重点，必考）（重点，必考）7-21这个结论很有用这个结论很有用5. 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数 采样器在闭环系统中可以有多种配置的

9、可能性，因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式。下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。图中，虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而虚设的，输入采样信号 和反馈采样信号 事实上并不存在。图中所有理想采样开关都同步工作，采样周期为 。*( )r t*( )b tT？ 可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数C(z)。 对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统典型结构图，及其输出采样信号Z变换函数C(z)可参见P34

10、3表7-3。例例7-22 设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为)()(1)()()(2121zHGzGzGzGz证明：证明：由图可得)()()(12sEsGsC)()()(11sEsGsE对E1(s)离散化，有)()()(11sEsGsE)()()()(12sEsGsGsC考虑到)()()()()()()()()(12sEsGsGsHsRsCsHsRsE离散化有)()()()()(12sEsGsHGsRsE则即)()(1)()(21SHGsGsRsE考试、考研题型，若在 前 加入零阶保持器呢？)(2sG输出信号的采样拉氏变换进行Z变换，证得)()(1)()()()()(2121zH

11、GzGzGzGzRzCz)()(1)()()()()()()(211212SHGsGsRsGsGsEsGsGsC例7-23 设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数解：解：由图可得)()()(sEsGsC)()()()(sCsHsRsE离散化有)()()()(sCsGHsGRsC取Z变换有)(1)()(zGHzRGzC无法分离出无法分离出 得不到脉冲传递函数得不到脉冲传递函数( )R z7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差1.S域到Z域的映射2.离散系统稳定性的充分必要条件稳定性的充分必要条件3.离散系统的稳定性判据稳定性判据4.采样周期与开环增益对稳定性的影响5.离散系统的稳态

12、误差稳态误差1. S域到域到Z域的映射域的映射2.离散系统稳定性的充分必要条件7-273.离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据 连续系统稳定要求系统特征方程的根都在S平面的左边，而离散系统稳定要求特征根都在Z平面的单位圆内。 是否能引入一种Z域到W域的线性变换，使得Z平面上的单位圆内区域，映射成W平面上的左半平面？（3）朱利稳定判据直接在Z域中的稳定性判据 对于线性定常离散系统，除了采用W变换，在W域中利用劳斯判据判断系统的稳定性外，还可以在Z域中直接应用朱利判据判断离散系统的稳定性。4.采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响7-305.离散系统的稳态误差（离散系

13、统的稳态误差（离散系统在采样瞬时的稳态误差离散系统在采样瞬时的稳态误差）连续系统稳态误差最基本的求法：定义法与静态误差系数法。这两种方法，在一定条件下可推广到离散系统。1）定义法求离散系统的稳态误差 因为因为 与与 都与都与 有关。有关。( )G z( )R zT（熟记）（熟记）731离散系统在采样瞬时的稳态误差离散系统在采样瞬时的稳态误差注： 如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希望求出离散系统在扰动作用下的稳态误差，只要求出系统误差的z 变换函数 或 ，在离散系统稳定的情况下，同样可以应用Z变换的终值定理算出系统的稳态误差。( )E z( )nEz 采用定义法计算离散系统的稳态

14、误差仍有一定的计算量，因此希望把连续系统静态误差系数法推广到离散系统中来。2）离散系统的型别与静态误差系数法）离散系统的型别与静态误差系数法a).采样器不影响脉冲传递函数的极点采样器不影响脉冲传递函数的极点b).c).教材教材P358 表表7-5（熟记）（熟记）7-6. 离散系统的动态性能分析 时域法、根轨迹法和频域法 ，其中时域法最简单。本章介绍时域法。1.离散系统的时间响应2.采样器和保持器对动态性能的影响3.闭环极点与动态响应的关系1. 离散系统的时间响应7-32T=1S闭环脉冲传递函数2( )0.3680.264( )1( )0.632G zzzG zzz将 代入上式，求出单位阶跃序列

15、响应的Z变换( )1zR zz121230.3680.264( )( ) ( )1 21.6320.632zzC zz R zzzz 通过综合除法，将 展成无穷幂级数( )C z12345678( )0.3681.41.41.1470.8950.8021.40.868.C zzzzzzzzz基于Z变换的定义，由上式求得系统在单位阶跃外作用下的输出序列 为()c nT由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算，所以是近似的。2. 采样器和保持器对动态性能的影响结论：结论：1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。某

16、些情况下，例如在具有大延迟（大惯性）的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度，如本章的第一个例子，炉温控制系统。2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和震荡次数也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。 采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响开环脉冲传递函数的零点。但是，对闭环系统而言，开环脉冲传递函数零点的变化，必然引起闭环脉冲传递函数极点的改变。因此采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能。3. 闭环极点与动态响应的关系连续系统闭环极点分布与暂态分量的运动形式j闭环极点位置的共轭回忆：连续系统闭环极点与动态响应的关

17、系结论：结论：1）若闭环实数极点位于右半Z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列单向正脉冲序列。实极点位于单位圆内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位圆上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，脉冲序列发散。2）若闭环实数极点位于Z左半平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列双向交替脉冲序列。实极点位于单位圆内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。 离散系统闭环脉冲传递函离散系统闭环脉冲传递函数的极点在数的极点在Z平面上单位圆内平面上单位圆内的分布，对系统的动态响应具的分布，对

18、系统的动态响应具有重要影响。有重要影响。确立它们之间的关系，哪怕只是定性关系，对分析和设计离散系统，都具有指导意义。结论：（重要）结论：（重要） 位于Z平面单位圆内的共轭复数极点，对应输出动态响应的形式为振荡收敛脉冲序列，但复数极点位于左半单位圆内所对应的振荡频率，要高于右半单位圆内的情但复数极点位于左半单位圆内所对应的振荡频率，要高于右半单位圆内的情况。复数极点位置越靠左，振荡频率越高。况。复数极点位置越靠左，振荡频率越高。综上以上三种情况，得到如下重要结论：综上以上三种情况，得到如下重要结论：离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环极点

19、位于当闭环极点位于Z平面上左半平面内单位圆内时，由于输出衰减脉冲交替变号（高平面上左半平面内单位圆内时，由于输出衰减脉冲交替变号（高频振荡脉冲），动态过程品质很差，动态性能欠佳。频振荡脉冲），动态过程品质很差，动态性能欠佳。因此在离散系统设计时，应把闭环极点安置在因此在离散系统设计时，应把闭环极点安置在Z平面的右半单位圆内，且尽量靠近平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点。原点。()0sTTjTjzeeeez 7-7. 离散系统的数字校正线性离散系统的设计方法，主要有模拟化方法和离散化方法。模拟化方法，把系统按模拟化进行分析，按连续系统理论设计校正装置（第六章），将该校正装置数字化。典型代表数字P

20、ID控制器的设计方法。后续课程计算机控制技术会详细学习数字控制器的设计。离散化方法又称直接数字设计法，把系统按离散化进行分析，求出系统的脉冲传递函数，然后按离散系统理论设计数字控制器。典型代表最小拍系统设计。方法较简便，可实现较复杂的控制规律，具有一般性。本节主要介绍该方法。1.离散系统数字校正的目的2.数字控制器的脉冲传递函数与实现3.最少拍系统设计4.无纹波最少拍系统设计5.PID数字控制器的实现1.离散系统数字校正的目的 在使系统稳定的基础上进步提高系统的控制性能，如满足一些典型控制信号作用下系统在采样时刻上无稳态误差，以及过渡过程在最少个采样周期内结束等项要求。 2.数字控制器的脉冲传

21、递函数与实现D(s)或D(z)为数字控制器（或数字校正装置）的传递函数或者脉冲传递函数，G(s)为保持器与被控对象的传递函数，H(s)为反馈测量装置的传递函数。 单位反馈线性离散系统的闭环脉冲传递函数与误差脉冲传递函数为)()(1)()()()()(zGzDzGzDzRzYz)()()()(zzGzzDe 数字控制器的脉冲传递函数D(z)()(11)()()(zGzDzRzEze)()()(1)(zzGzzDee( )( )1ezz离散系统的数字校正问题是离散系统的数字校正问题是：根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数 或误差脉冲传递函数 ，然后利用 确定数字控制器的脉冲传递函数

22、，并加以实现。)(z)(ze)(zD)(1)()()(zzGzzD或)()()(1)(zzGzzDee)()()()(zzGzzDe 3.最少拍系统设计（离散化设计的代表） 在采样过程中，通常把一个采样周期称作一拍。所谓最少拍系统，是指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。 最少拍系统的设计是针对典型输入作用进行的。常见的典型作用为阶跃函数，单位速度函数和单位加速度函数。最少拍系统的设计原则是: 若系统广义被控对象 无延迟且在Z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数 ，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数 。 G z z D z3.无纹波最少拍系统设计 由于最少拍系统在非采样时刻存在纹波，为工程界所不容许，故希望设计无纹波最少拍系统。 无纹波最少拍系统的设计要求是：在某种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波。4.PID数字控制器的实现（模拟化设计方法的代表）本章小结 1. 离散系统概念：系统中