高等数学(2017高教五版)课件微积分学基本理论(工科类)

1、一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.5 微积分学基本定理数学分析 第九章定积分三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法*点击以上标题可直接前往对应内容变限积分与原函数的存在性( )( )dbxxf tt 类类似似称称为变下限的定积分.( )( )d , , xaxf ttxa b 称称为变上限的定积分; , fa b设设在在上上可可积积， , , , .xa bfa x 则则在在上上可可积积后退 前进 目录 退出变限积分与原函数的存在性( )d( )dxxxaaf ttf

2、tt .d)(xxxttf ,fa, b因因在在上上有有界界,|( )|, , .Mf txa b故故 于是|( )d| |,xxxf ttx 由 x 的任意性, f 在 a, b 上连续.0lim 0.x 变限积分与原函数的存在性定理9.9（变上限定积分的连续性）,fa,b若若在在上上可可积积( )( )d ,xaxf tta b 则则在在,bax 证,baxx 若若则.上连续上连续从从而而定理9.10（微积分学基本定理）若 f 在 a, b 上连续,( )( )d , xaxf tta b 则则在在上处处可导,且d( )( )d( ), , .dxaxf ttf xxa bx 1( )dx

3、xxf ttxx (),f xx 01. 由于 f 在 x 处连续，因此0( )lim( )( ).xxf xxf x证 , ,xa b 0, , xxxa b 当当且且时时，变限积分与原函数的存在性注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连变限积分与原函数的存在性注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,( )( )d.xaF xf ttC( )d( )( ).baf ttF bF a所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为,( )xaF aC用用代代入入 得得；代入，则得代入，则得再用再用b

4、x 21) ln d ;bxttt2e2) ( )dxxaf tt解：2d1) ln ddbxtttx2ed( )ddxxaf ttx2e2) ( )dxxaf tt由( )duayf tt2exux与复合而成. 2lnxx( )(2e )xf ux例1. 22(e )(e )xxf xx2dln ddxbtttxd( )dduaf ttu2d(e )dxxx求下列积分上限和积分下限函数的导数：变限积分与原函数的存在性cosln(1sin )2xxx例2. 0sin20ln(1)dlimxxttx解:原式 0limx00sinlim(-cos )lim2xxxxx 1( 1)2 12求变限积分

5、与原函数的存在性用罗比达法则定理9.11（积分第二中值定理）设 f 在a, b上可积.(i) 若函数 g 在 a, b 上单调减,且, 0)( xg则存 ,a b 在在使使.d)()(d)()( abaxxfagxxgxf变限积分与原函数的存在性(ii) 若函数 g 在 a, b 上单调增, 且, 0)( xg则存 ,a b 在在使使( ) ( )d( )( )d .bbaf x g xxg bf xx 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). (1) 对任意分割 T：,10bxxxan ( ) ( )dbaIf x g xx11( ) ( )diinxxif x g xx111( ) (

6、 )()diinxixif xg xg xx.21II 111()( )diinxixig xf xx(2)|( )|, , ,f xL xa b故故因因证明分以下五步:变限积分与原函数的存在性1111|( )( )()diinxixiIf xg xg xx111|( )| | ( )()|diinxixif xg xg xx 1.ngiiiLx 1ngiiixL 1|.I 2111()()()niiiiIg xF xF x010()()()g xF xF x)()()(11 nnnxFxFxg(3)( )( )d ,xaF xf tt设设则则可积，可积，因因g使使故故,:10bxxxaTn变

7、限积分与原函数的存在性101() ()()F xg xg x. )()()()()(1111niniiixgbFxgxgxF)()()()()(1121 nnnnnxgxFxgxgxF( , )min ( ) ,xa bmF x( , )max ( ) ,xa bMF x的假设，的假设，由对由对g1()0,ng x 1()()0.iig xg x 记记12111 ()()()niiniIMg xg xMg x 则则( ),Mg a ( ),mg a 12111 ()()()niiniImg xg xmg x ).()(2aMgIamg 于于是是变限积分与原函数的存在性(4) 综合 (2), (

8、3), 得到12( )( ).mg aIIMg a 0,( )( ).mg aIMg a 令令便便得得 ,a b 满足满足( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx ( )0,g a若若则则.)(MagIm( )( )dxaF xf tt由由(5) ( )0,g a 若若( ) ( )d0,baIf x g xx 则则此时任取此时任取变限积分与原函数的存在性( )( )d,( )aIFf ttg a 使使存存在在,ba 的的连连续续性性, ,( ) ( )d( )( )d .baaf x g xxg af xx 即推论 , ,a b 则则存存在在使使( ) ( )d

9、( )( )d( )( )d .bbaaf x g xxg af xxg bf xx ( ) , ( ) , f xa bg xa b设设在在上上可可积积, ,在在上上单单调调, ,变限积分与原函数的存在性证 若 g 为单调递减函数，( )( )( ),h xg xg b令令则 h 非负、单调减,由定理 9.11(i)， ,a b 使使( ) ( )d( )( )dbaaf x h xxh af xx ( )( )( )d .ag ag bf xx 即得( ) ( )dbaf x g xx( )( )d( )( )d( )( )dbaaag af xxg bf xxg bf xx ( )( )

10、d( )( )d .bag af xxg bf xx 变限积分与原函数的存在性因此( ) ( )d( )( )dbbaaf x g xxg bf xx ( )( )( )d ,ag ag bf xx 定理9.12（定积分换元积分法）换元积分法与分部积分法( ),( ),( ), ,ab atb t 且且则( )d( ( )( )d .baf xxfttt 证( )( ) , F xf xa b设设是是在在上上的的一一个个原原函函数数, ,( ) ,t 连连续续, ,在在上上连连续续可可微微, ,( ) , f xa b若在上若在上的一个原函数. 因此( ( )( ( )( )Ftftt 是是

11、( )( )d( )ftttFt ( )baF x ( )d .baf xx 换元积分法与分部积分法则则注 与不定积分不同之处:例3202d.1x xx求求解. 15（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用原变量代回.定积分换元后不一定要一般说来，用第一换元积分法时，用第二换20212220211d211dxxxxx22012 12x换元积分法与分部积分法例4402d .21xxx求求解402d21xxx3311(3 )23tt1271(9)(3)233.322（变元,变限）, 12xt设设,212tx则则,ddttx ;2322tx

12、, 1 0tx时时. 3 4tx时时于是于是换元积分法与分部积分法3211(3)d2tt例5350sinsind .xx x求求解350sinsindxx x320sin|cos|dxxx3322202sincos dsin( cos )dxx xxxx3322202sind(sin )sind(sin )xxxx552220222sinsin55xx224().555 （必须注意偶次根式的非负性）换元积分法与分部积分法例6120ln(1)d .1xxx求求解2dtan ,d.1xxttx设设则则, 00 xt时时当当120ln(1)d1xxx40cossinlndcostttt402cos(

13、)4lndcosttt444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt, 1 4xt时时 00tan1,4tt 且且当当时时，于是于是换元积分法与分部积分法40ln(1tan )dtt,dd ,4utut 设设则则0,4tu时时4t 时时0404lncos()dlncos ( d )4ttuu40lncos d .u u 因此,14200ln(1)dln2d1xxtxln2.8 0,u于是于是 换元积分法与分部积分法444000ln2dlncos()dlncos d .4ttttt抵消定理9.13（定积分分部积分法）若 u(x),v(x)为 a, b 上的连续可微函数,则有定

14、积分的分部积分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx证 因为 uv 是vuvu 在 a, b 上的一个原函数,( ( ) ( ) dbau x v xx( ) ( ).bau x v x 移项后则得所以( ) ( )d( ) ( )dbbaau x v xxu x v xx( ) ( )d( ) ( )( ) ( )d .bbbaaau x v xxu x v xu x v xx换元积分法与分部积分法例7120arcsind .x x求求解111 2220002darcsindarcsin1x xxxxxx112222

15、011(1)d(1)262xx 1 220112x 31.122,arcsinxvxu设设,1dd2xxu则则,ddxv 换元积分法与分部积分法例820sind .nx x求求解20sindnnJx x120sincosnxx 22200(1)sind(1)sindnnnx xnx x2(1)(1).nnnJnJ于是21,2 .nnnJJnn 换元积分法与分部积分法120sindcosnxx 2220(1)sincosdnnxxx200d,2Jx210sin d1,Jx x1, 2,.m 由于221 2312222 2mmmJmm 21 !,2!2mm 212222121 213mmmJmm,

16、! !12! !2mm换元积分法与分部积分法21,2 .nnnJJnn 20sindnnJx x所以同理20cosdnx x21 !,2,2!22!,21.21 !mnmmmnmm 20sindnx x()2xt 令令换元积分法与分部积分法由此可得沃利斯（Wallis）公式：22!1lim.221 !21mmmm 换元积分法与分部积分法11222000sindsindsind ,nnnx xx xx x2!21 !22 !,21 !2!221 !mmmmmm 22!121 !212mmAmm lim()mmmBA于于是是00,2mmmABA 而而lim.2mmA 故故22!10,21 !2(2

17、1)mmmm22!1.21 !2mmBmm若 u(x), v(x) 在 a, b 上有 (n+1) 阶连续导函数, 则(1)( )( )dbnau x vxx( )(1)( )( )( )( )nnu x vxu x vx1(1)( 1)( ) ( )d .bnnaux v xx 泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式：( )( 1)( ) ( ) bnnaux v x 泰勒公式的积分型余项用分部积分公式 n 次，可得( )( )( ),nnf xP xRx则( )( ),nP xf xn为为的的阶阶泰泰勒勒多多项项式式 余余项项为为其中其中00( )()1,f xxU xn设

18、设在在的的某某邻邻域域内内有有阶阶连连续续导导数数0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn,之之间间则0(),xU x 设设证( )() , ( )( ),nu txtv tf t 0txx在在与与泰勒公式的积分型余项0(1)1( )( )() d .!xnnnxRxftxttn于于是是，泰泰勒勒公公式式的的余余项项000! ( )!()()()n f xnf xfxxx 00! ( ) 0( )dxxxxn f tf tt( )1(1) ()( )()( )nnnnxtftn xtft 00()() !nnfxxxn ,!xRnn0(1)( )() dxnnxftxtt注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日余项：泰勒公式的积分型余项0(1)1( )( )() d!