数学物理方程与特殊函数：第五章 贝塞尔方程及第一类贝塞尔函数

1、贝塞尔方程及第一类贝塞尔函数贝塞尔方程及第一类贝塞尔函数222()0 xxxx yxyxny20ddPnrPrPdrdrr 222( )( )() ( )0r P rrP rrnP r220( )( 1)2! (1)nmmnnmmxJxmnm贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质 第一类贝塞尔函数与第二类贝塞尔函数的区别第一类贝塞尔函数与第二类贝塞尔函数的区别 奇偶性奇偶性 递推公式递推公式递推公式递推公式( )nJx01( )( )dJxJ xdx 10( )( )dxJ xxJxdx1( )( )nnnndx Jxx Jxdx1( )( )nnnndxJxxJxdx 11112( )( )( )

2、( )( )2( )nnnnnnJxJxnJxxJxJxJx11( )( )( )( )( )( )nnnnnnxJxnJxxJxxJxnJxxJx 01()()dJxJxdx 1()()nnnndx Jxx Jxdx021021( )( )( )2( )( )( )2JxJxJ xJxJxJ xx递推公式应用证明求积分( )ksx Jx dxk，s关系，递推公式的使用？二维热传导物理问题二维热传导物理问题222222222220,( ,)0txyRuuuatxyxyRux yu( , , )( , ) ( )u x y tV x y T t22222222( )( )000 xyRT taT

3、 tVVVxyV贝塞尔函数的性质（4）22222222( )( )000 xyRT taT tVVVxyV22222110,0r RVVVVrRrrrrV( , )( ) ( )V rP r220( )( )0( )( )() ( )0( )0( )r Rrr P rrP rrP rP rP r 200,( ),02( )cossin1,2.nnnannanbnn 斯特姆斯特姆刘维刘维尔方程尔方程 三三个个函函数数 满满足一定足一定条条件件 边边界界条条件（或定解件（或定解条条件）件） 当当 有有1 1，2 2，3 3类齐类齐次次边边界界条条件或周期件或周期条条件件 当当 在在 的端点的端点给

4、给出自然出自然条条件件 即即)(, 0)()()()()()(bxaxyxxyxqdxxdyxkdxd0)()(bkak)(),(),(xxqxk0)()(bkak0)(xk)(xy2220( )( )() ( )0( )0( )r Rrr P rrP rrnP rP rP r 20ddPnrPrPdrdrr ( )()Y ()nnnnP rA JrBr2220( )( )() ( )0( )0( )r Rrr P rrP rrnP rP rP r 222()0 xxxx yxyxny( )( )nnyAJxBY x 由边界条件( )0(0)P RP ( )()()nnP rAJrBYr(0)

5、nY 0B ( )()nP rAJr()0nJR2220( )( )() ( )0( )0( )r Rrr P rrP rrnP rP rP r 由边界条件( )0(0)P RP ( )()()nnP rAJrBYr(0)nY ( )nJx有没有实的零点？若存在，有多少？0B ( )()nP rAJr()0nJR贝塞尔方程在第一贝塞尔方程在第一类边界条件下的类边界条件下的特征值和特征函数特征值和特征函数? ?贝塞尔函数的性质（4） 有无穷多个实零点，且这些零点在有无穷多个实零点，且这些零点在x x轴上关于原点轴上关于原点对称分布；对称分布； 的零点与的零点与 的零点彼此相间分布，即的零点彼此相

6、间分布，即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的的零点；零点； 以以 表示表示 的正零点，则的正零点，则 当当 时，时，无限接近于无限接近于 ，即，即 几乎是以几乎是以 为周期的周期函数为周期的周期函数( )nJx1( )nJx( )nJx( )nm( )( )1nnmmm 2( )nJx( )nJx关于贝塞尔函数零点的结论( )nJx1( )nJx1)0(0J00(0)10nnJn贝塞尔函数的图象0( )Jx1( )J x2( )Jx3( )Jx贝塞尔函数的性质（4）贝塞尔方程在第一贝塞尔方程在第一类边界条件下的类边界条件下的特征值和特征函

7、数特征值和特征函数()0nJR( )(1,2,.)nmRm( )( )2()1,2,.nnmmmR( )( )()1,2,.nmmnP rJrmR2220( )( )() ( )0( )0( )r Rrr P rrP rrnP rP rP r 1 带权带权正交性：正交性：当当 时时2 特征函特征函数数 在在区间区间 上上构构成成一一个个完完备备集，即集，即mn0)()()(dxxyxyxmnba),(,.)2, 1(,banym)()(1xyfxfnnndxxyxdxxfxyxfnnbaban)()()()()(2( ) ( )( ) ( )( ) ( )0ddy xk xq x y xx y

8、 xdxdx 贝塞尔函数的性质（5） 贝塞尔函数的正交完备性特征函数系( )( )()1,2,.nmmnP rJrmR( )( )0222( )2( )11()()0()()22nnRmknnnnnmnmrJr Jr drRRmkRRJJmk, 0)(2rPPrndrdPrdrd( )( )( )0ddyk xq x yx ydxdx在第一在第一类齐类齐次次边边界界条条件及自然件及自然条条件下件下设 -),()()(1rRJrFnmn),()(2rJrFn, 0)(2rPPrndrdPrdrd0)()(122)(1FrnrRdrdFrdrdnm0)(2222FrnrdrdFrdrddrFR10

9、drFR10drFR20drFR200)()()(21012021022)(drdrdFrdrdFdrdrdFrdrdFdrFrFRRRRnm( )2212122100()()RnRmdFdFrFF drF rFrRdrdr 112221201000()RRRRdFdF dFdFdF dFF rrdrFrrdrdrdr drdrdr dr设),()()(1rRJrFnmn),()(2rJrFn)()()(22)(2112210RdrdFRRFdrdFRRFdrFrFnmRrRrR()()()12()220() ()()()()nnnmmRnnmnnnmJR RJJR JRRRRrF F drR

10、 ( )221212210()()Rnmr Rr RdFdFrFF drF rFrRdrdrn n阶贝阶贝塞尔塞尔函函数数的零点的零点设),()()(1rRJrFnmn),()(2rJrFn)()()(22)()()(210RRRJRJdrFrFInmnmnmnnR型是时当积分得零时当00 , )(mkmkRnk( )( )( )()()2limnmnnnnmmRJR RJI2)(2)()(2)()( 22)( nmnnmnmnmnJRRJRI( )()0nknJRR 分分别对别对 求求导导 由由递递推推关关系系( )( )22( )2( )210()()()()22nnRnnmknnnmnm

11、RRrJr Jr drJJRR),()( )()(11xJnxxJxxJxdxdxJxnnnnnnnn()()()()()1()1()()()n nnn nnn nnmnmmnmmnmJJnJ ()()()()1()()n nnn nnmnmmnmJJ ()()1()()nnnmnmJJ ( )()?nnmJ 由由递递推推关关系系( )2( )22( )2( )21( )()()()222nnnnnmmnmnmnmR JRRIJJR),()( )()(11xJnxxJxxJxdxdxJxnnnnnnnn),()( )()(1)()()()(1)(nmnnnmnmnnnmnmnnnmJnJJ(

12、)( )( )( )1()(),nnnnnnmnmmnmJJ),( )()()(1nmnnmnJJkmJRJRrdrrRJrRJnmnnmnnmnnmnR),(2)( 2)()()(2122)(2)()(0贝塞尔函数的性质（贝塞尔函数的性质（5） 定积分定积分 的正平方的正平方根根 ， 称为贝塞尔函数称为贝塞尔函数 的模值的模值( )20()nRmnrJr drR( )()nmnJrR( )1()2nnmRJ贝塞尔函数的性质（贝塞尔函数的性质（5） 由于贝塞尔方程的特征函数系是正交完备系，因此，对由于贝塞尔方程的特征函数系是正交完备系，因此，对于任意一个在于任意一个在00，RR上具有一阶连续导

13、数及分段连续的二上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数阶导数的函数f(r),f(r),只要在只要在r r0 0处有界，在处有界，在r rR R处等于零，处等于零，则可以展成如下的绝对且一致收敛的级数：则可以展成如下的绝对且一致收敛的级数：( )1( )()nmmnmf rA JrR 由正交关系，可得：由正交关系，可得：( )22( )011( )()()2RnmmnnnmArf r Jr drRRJ 贝塞尔方程在第一贝塞尔方程在第一类边界条件下的类边界条件下的特征值和特征函数特征值和特征函数()0nJR( )(1,2,.)nmRm( )( )2()1,2,.nnmmmR( )( )()1

14、,2,.nmmnP rJrmR问题思考问题思考 贝塞尔方程在第二类边界条件下的特征值和特征函数贝塞尔方程在第二类边界条件下的特征值和特征函数? ?022222, 0, 0)(RRrrPPPnrdrdPrdrPdr)()()(rBYrAJrPnn0由于rP，)()(rAJrPn，0)()(RrnRrrAJrP，0)(RJn应用贝塞尔函数求定解问题应用贝塞尔函数求定解问题2222011,0110truuuatrrrruru 2222100,0,rrd FdFrrr FdrdrFF ),()(),(tTrFtru, 0122FdrdFrdrFd, 02TaT贝塞尔方程是零阶的， 0n)()()(00

15、rBYrAJrF0rF由于，)()(0rAJrF，0)()(101rrrAJrF2取，0)() 1 (0AJF10ru 10rF 0rF 对于对于只有当只有当 取取 的零点时的零点时问题才有非零解。问题才有非零解。设设 为为 的第的第M个正零点。个正零点。存在非零解存在非零解此时此时时取当 )( 20mm，)()(00rJArFmmm02()( ),matmmTtC e02()00( , )(),matmmmur tC eJr),()(),(tTrFtru, 0122FdrdFrdrFd, 02TaT，0)() 1 (0AJF0m)(0 xJ)(0 xJ由方程由方程边边界界条条件件经经分离分离

16、变变量法可得通解量法可得通解为为利用正交利用正交性求系性求系数数02()001( , )(),matmmmu r tC eJr,1, 0)1(20012ruuuuruautrrrrrt001( ,0)(),mmmu rC Jr001( ,0)()mmmu rC Jr)(0010rJrdrk)(0010rJrdrkrdrrJCrdrrJrkkk)()()1 (0201000210)(210210kkJCrdrrJrJCkkk)()1 ()(200210021000, 1, 0, 0,1,kkkxrxrdxdrxr当当取00020k20021)()1 ()(20kkkkkdxxJxxJC00020

17、k20021)()1 ()(20kkkkkdxxJxxJCdxdx(x)xJdxJCkk)()1 ()(2120k2020k0210k0k0k2101200202021kkk022(1)()()kkxxCxJ (x)xJ (x)dxJdxdx(x)Jd(xJdx(x)JxJCkkkk2204002120k12020k0210k0k)(42)(2200210k240021022)()(4)(40kkkkkkJJJ(x)J(xC200210k2)()(4kkkJJC由于由于200210k2)()(4kkkJJC)(2)()(11xJxnxJxJnnn-)(2)()(0100200kkkkJJJ)(

18、2)(01002kkkJJ300100k120021)(8)(2)(4kkkkkkJJJC3001)(8kkkJC3001)(8kkkJC,1, 0)1(20012ruuuuruautrrrrrt02()001( , )(),matmmmu r tC eJr02()00003118( , )(),()matmmmmu r teJrJ贝塞尔函数的其他类型贝塞尔函数的其他类型第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数-汉克尔函数汉克尔函数)( 2)()()(2)()()()()()()()(1)(1)()(1)(1)(1)()(1)(xHxHxHxHxnxHxHxHxdxxHxdxHxdxxHxdinini

19、nininininninninninn)()()() 1 (xjYxJxHnnn)()()() 2(xjYxJxHnnn)(2)()()(2)()() 2() 1 () 2() 1 (xYjxHxHxJxHxHnnnnnn虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数0)( 222ynxxyyx( )()()nny xAJjxBYjx0)( 222ynxxyyx)()()(xBYxAJxynnjx虚虚宗量（或宗量（或变变形）的形）的贝贝塞尔方程塞尔方程,)1(!)2()()(20mnmxjxJjxInmmnnn( )( )2( )(2)( )( )sinlimnnnnIxIxKxIxIx)()()(xBKx

20、AIxynn0)( 222ynxxyyxn不为整数n为整数虚宗量贝塞尔函数没有实零点贝塞尔函数 总结贝赛尔方程标准形式及解贝赛尔方程标准形式及解-贝赛尔函数贝赛尔函数贝赛尔函数的母函数贝赛尔函数的母函数 积分公式积分公式 与三角函数关系与三角函数关系贝赛尔函数的性质贝赛尔函数的性质 第一类贝赛尔函数特点第一类贝赛尔函数特点 第二类贝赛尔函数特点第二类贝赛尔函数特点 贝塞尔函数的奇偶性贝塞尔函数的奇偶性 递推公式递推公式 贝赛尔函数的零点贝赛尔函数的零点 第一类边界条件下贝赛尔方程的特征值和特征函数第一类边界条件下贝赛尔方程的特征值和特征函数 贝塞尔函数的正交完备性贝塞尔函数的正交完备性贝赛尔函

21、数求定解问题贝赛尔函数求定解问题()( 1)( )( )( 1)( )nnnnnnJxJxJxJx 0(0)1J(0)nY (0)0,0nJn重点掌握贝塞尔方程、第一类贝塞尔函数及贝赛尔函数的贝塞尔方程、第一类贝塞尔函数及贝赛尔函数的性质，会利用性质进行证明和积分。性质，会利用性质进行证明和积分。 1 1 勒勒让让德多德多项项式的微分表示式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx上式通常又上式通常又称为称为勒勒让让德多德多项项式的式的罗罗德利克表示式德利克表示式【证明证明】用二用二项项式定理把式定理把lx) 1(2展展开开lkkllklkkkllllxklkxkklllxl

22、022022)!( !21) 1() 1()(!)!(!21) 1(!21220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk勒勒让让德多德多项项式的性式的性质质220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk把上式把上式对对x求求导导l次凡是次凡是幂幂次次(22 )lkl的的项项在在l次求次求导过导过程中成程中成为为零，所以只需保留零，所以只需保留幂幂次次(22 )lkl的的项项，即，即2lk 的的项项，应应取取max 2lk，并并且注意到且注意到 222d(22 )(221)22(1)dllklklxlklkl

23、klxx因此有因此有22 220 201d(22 )(221)(21)(1)( 1)2 !d2!()!(22 )!( 1)P ( ).2!()!(2 )!llllklklllkklkllklklklkxxlxk lklkxxk lklklkkllklkkkllllxklkxkklllxl022022)!( !21) 1() 1()(!)!(!21) 1(!212201P ( )(1cos) d2 llxxx2 2 勒勒让让德多德多项项式的拉普拉斯式的拉普拉斯积积分表示分表示从该积从该积分可看出分可看出 P (1)1lP ( 1)( 1)ll P ( )1lx ) 11(x3. 3. 奇偶性奇偶

24、性根据勒根据勒让让德多德多项项式的定式的定义义式，作代式，作代换换(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )lllxx 即即当当l为为偶偶数时数时，勒，勒让让德多德多项项式式P ( )lx为为偶函偶函数数为为奇奇数时数时为为奇函奇函数数 lP ( )lx220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk4 4 勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数 201P ( ) (1) (11) 12nnnx ttxtxt 因此因此2112 costt或或2112txt叫作勒叫作勒让让德多德多项项式的式的母函数母函数函数按函数按t t展开成幂级数，其

25、系数为展开成幂级数，其系数为n n阶勒让德多项式阶勒让德多项式5 5 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式11(1)( )(21)( )( )0nnnnPxnxPxnPx1( )( )( )0nnnnPxxPxPx11( )( )( )0nnnnPxPxxPx11( )(21)( )( )0nnnPxnPxPx(1)n根据勒根据勒让让德多德多项项式的母函式的母函数数可以可以导导出勒出勒让让德多德多项项式的式的递递推公式推公式 201P ( ) 12nnntxtxt对对t求求导导 123/20P ( )(12)nnnxtntxtxt对对上式上式两边两边同乘以同乘以2(1 2)txt，得，

26、得2120(1 2)P ( )1 2nnnxttxtntxtxt2100()P ( )(12)P ( )nnnnnnxttxtxtntx对对上式，比上式，比较两边较两边的的kt项项的系的系数数，得，得111P ( )P( )(1)P( )2P ( )(1)P( )kkkkkxxxkxxkxkx即即 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx(1)k 上式即上式即为为勒勒让让德多德多项项式的一式的一个递个递推公式推公式 6. 6. 勒勒让让德多德多项项式的零点式的零点对对于勒于勒让让德多德多项项式的零点，有如下式的零点，有如下结论结论：（i）P ( )nx的的n个个零点都

27、是零点都是实实的，且在的，且在) 1 , 1(内内；（ii）P ( )nx的零点的零点与与1P( )nx的零点互相分离的零点互相分离 X X0 0时时，勒，勒让让德多德多项项式的式的值值21P(0)0n2(2 )!(21)!P (0)( 1)( 1)2!2!(2 )!nnnnnnnnnn 220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxk lklk2dd(1)(1)0dd(1)yxl lyxxy x ( )( )( )0ddyk xq x yx ydxdx2( )11,( )0k xxxk x l 整数12( )( )llyC P xC Q x无界P ( )1lx

28、 -11x特征值特征函数(1)l l ( )lP x7.7.勒勒让让德多德多项项式的正交性及其模式的正交性及其模不同不同阶阶的勒的勒让让德多德多项项式在式在区间区间 1,1上上满满足足12,1P ( )P ( )dnlln lxxxN其中其中,1 ()0 ()n lnlnl当当nl时满时满足足11P ( )P ( )0nlxx dx称为称为正交性正交性 相等相等时时可求出其模可求出其模1212P ( ) (0,1,2,)21llNx dxll 在区间在区间 -1,1-1,1上的具有一阶连续导数及分段上的具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数连续的二阶导数的函数 ，满足勒让德多项式满，满足勒

29、让德多项式满足的边界条件，则在足的边界条件，则在-1,1-1,1上可展开为勒让德多项式的上可展开为勒让德多项式的级数级数 ( )f x0( )P ( )nnnf xCx其中系其中系数数 1121( )P ( )d2nnnCfxxx在在实际应实际应用中用中,经经常要作代常要作代换换cosx,此此时时勒勒让让德方程的解德方程的解为为P (cos )n，这时这时有有 0(cos )P (cos )nnnfC021(cos )P (cos )sin d2nnnCf 勒勒让让德多德多项项式的式的应应用（广用（广义义傅氏傅氏级数级数展展开开） 例例1 将函数函数 3( )f xx按勒按勒让让德多德多项项式

30、形式展式形式展开开.【解解】 由由3001 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考考虑虑到到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，显显然有然有 020CC11331111333P ( )dd225Cxxxxx x1133333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxx0( )P ( )nnnf xCx1121( )P ( )d2nnnCfxxx例例2 2 将函数将函数 cos2 (0)展展开为开为勒勒让让德多德多项项式式P (cos )n形式形式 【解解】 用直接展用直接展开开法法令令 cosx，则则由由22cos22cos121x 我我们们知道：知道：20121P ( )1, P ( ), P ( )(31)2xxxxx可可设设2001 12221P ( )P ( )P ( )xCxCxCx 考考虑虑到勒到勒让让德函德函数数的奇偶性，的奇偶性，显显然然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx项项的系的系数数，显显