解决解析几何问题的三个关

1、.膁莂薇袅肇莁蚀肀莆蒀螂袃节葿袄肈膈蒈薄袁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肃聿蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃蚂膆膂艿螅罿肈芈袇膄莆芈薇羇节莇虿膂膈莆螁羅肄莅羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇袅肇莁蚀肀莆蒀螂袃节葿袄肈膈蒈薄袁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃肆薃袅羆莅薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肃聿蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃蚂膆膂艿螅罿肈芈袇膄莆芈薇羇节莇虿膂膈莆螁羅肄莅羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇袅肇莁蚀肀莆蒀螂袃节葿袄肈膈蒈薄袁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膃肆薃袅

2、羆莅薂薅蝿芁薁蚇羄芇薁衿袇膃薀蕿肃聿蕿蚁袅莇薈螄肁芃薇袆袄腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅袀肈莀蚄羃羀芆蚃蚂膆膂艿螅罿肈芈袇膄莆芈薇羇节莇虿膂膈莆螁羅肄莅羃螈蒃莄蚃肄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇袅肇莁蚀肀莆蒀螂袃节葿袄肈膈蒈薄袁膄蒇螆膇肀蒇衿羀莈蒆薈膅芄蒅蚁 解决解析几何问题的三个关湖南祁东中等职业学校 周子云 湖南祁东育贤中学 周友良 翻译关例1. 已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）的最小值；（2）的最小值和最大值。解：（1）如图1，A为椭圆的右焦点，作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，图1问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，

3、点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即。当P到P”位置时，有最大值，最大值为；当P到P位置时，有最小值，最小值为。思考：言外之意，弦外之音，你明白了没有？“换一种说法”可是等价转化中很重要的一招呵。例2设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。分析：（）易得椭圆的方程为 .（）由（）得A（2，0），B（2，

4、0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 将代入，化简得·（2x0）.2x0>0，·>0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则2<x1<2，2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差(2）2（）2(x1x2)2(

5、y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得.从而，点B在以MN为直径的圆内。点评：此题的证明思路为证明B点在以MN为直径的圆内MBN为钝角MBP为锐角·>0所以解这题的思路本质是对上述母题的向量方法的充分理解。本题过好翻译转化关是解决问题的关键。 运算关例3. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上，

6、把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例4已知双曲线x22y24。求以P(4，1)为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。解法一：(设斜率k，求交点)设过点P的弦AB的方程为：y1k(x4)代入1得(12k2)x24k(4k1)x32k216k60又P为AB之中点4解得k2故AB所在的直线方程为：2xy70解法二：(设而不求)设A(x1，y1)，B(

7、x，y)则由A、B两点都在双曲线上，有1得0由于P是AB之中点41代入上式得kAB2AB所在直线的方程为2xy70解法三：(设而不求)设A(x1，y1)AB的中点是(4，1)B(8x1，2y1)AB都在双曲线上(1)(2)得：16x18y15602xy70解法四：（参数方程法）设AB所在的直线方程为：代入椭圆方程并整理得P(4,1)为弦的中点， 即即k=2故AB所在的直线方程为：2x-y-7=0 思路关解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下

8、手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其

9、二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭

10、圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求

11、量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 .结合得. 综上，.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.思考1：取值范围问题，你能不能提炼出一个什么模式？思考2：对称问题，你能不能提炼出另一个模式？思考3：对于一个解析几何大题目，你如何提炼它的“思之路”？思考4：你学会通过画图来寻找解题思路了吗？例6.在椭

12、圆 上求一点P ,使它到该椭圆两焦点的距离之差的绝对值为4.思路一 设P(x,y)为所求的点,由已知得:上述方程组的求解具有很大的运算量,因而这种方法并不可取.思路二 设P(x,y)为所求的点,因为P 点到已知椭圆两焦点的距离之差的绝对值为4,所以由双曲线的定义可知点P 在双曲线上,故得:解上述方程组即可得到P 点的坐标.思路二与思路一相比,其运算量显然要小得多.但在思路二中仍然需要解一个比较复杂的方程组,而且思路二还有一定的局限性.比如,将例2 中“到该椭圆两焦点的距离之差的绝对值为4”改为“到该椭圆两焦点的距离之积为16”,那么思路二就失效了.此时若采用思路一的方法,则仍需解一个与思路一的

13、运算量相当的方程组,因而需要另辟途径,寻求本题的最佳解法.思路三 设P(x,y)为所求的点, ，为下、上焦点.由“椭圆上一点到一焦点的距离与该点到相应准线的距离之比等于离心率e ”可知由此可得 同理可得: 从而 解方程即得P 点的坐标(以下略).比较上述三种思路不难看出,思路三简捷、明快,堪称最佳.思路三之所以简捷明了,其功劳在于、两式.事实上,、两式就是焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式.因此,在得到思路三之后,教师应“顺藤摸瓜”,适时介绍圆锥曲线的焦半径公式,并组织若干道与圆锥曲线的焦半径公式有关的典型的题目进行教学,让学生充分体会圆锥曲线中与焦点弦有关的一类问题的解题规律,从而收到良好的教

14、学效果。例7如图,已知椭圆的长轴,焦距,过椭圆焦点 作直线,交椭圆与两点M,N ,设,当取什么值时等于椭圆短轴的长.解一 易知 ,椭圆的方程为,直线MN 的方程为.联立椭圆与直线方程并消去y 得由韦达定理得: 又将、代入上式可解出k 的值(以下略).解二 同解一得式.另一方面,由焦点在x 轴上的椭圆的焦半径公式得 分别为点M 、N 的横坐标),故 .联立、可得k 的值(以下略).设 连结,则由椭圆的定义可知.在中,由余弦定理得,由此式可得同理,连结 ,则在 中可得由此可得cosa 的值(以下略).解四 易知直线MN 的参数方程为:代入椭圆的方程可得从而不难得到由此可得sina 的值(以下略).

15、这一例题的解法涉及到代数、三角、平几、直线及椭圆等部分知识,同时还涉及到处理解几问题的“韦达定理法”、“利用焦半径公式法”、“几何法”等数学重要的思想方法,达到了以少胜多,解一题覆盖一大片的效果。一题多解应注意从以下几点:第一,要善于引导学生从多方位、多角度探求问题的各种解法;第二,既要重视突出问题的一般解法,又要注重比较并寻找问题的最佳解决案;第三,注重培养学生善于剖析问题的各种解法并进行反思,促进学生养成一种善于从解题中发现规律的良好习惯;第四,鼓励学生突破常规,积极寻找“别出心裁”的创造性解法.上述四点,对于培养学生思维的严谨性、逻辑性、批判性、深刻性、广阔性、灵活性、创造性等主要的思维品质是具有十分重大意义的。 节蒅蝿肇蒈莁螈膀芁虿螇衿肃薅袆羂艿蒁袅肄肂莇袄螄芇莃袃羆膀蚂袃肈莆薈袂膁膈蒄袁袀莄莀袀羃膇蚈罿肅莂薄羈膇膅蒀羇袇莀蒆薄聿芃莂薃膁葿蚁薂袁节薇薁羃蒇蒃薀肆芀荿蚀膈肃蚈虿袈芈薄蚈羀肁薀蚇膂莆蒆蚆袂腿莂蚅羄莅蚀蚄肇膇薆蚄腿莃蒂螃衿膆莈螂羁莁芄螁膃膄蚃螀袃蒀蕿蝿羅节蒅蝿肇蒈莁螈膀芁虿螇衿肃薅袆羂艿蒁袅肄肂莇袄螄芇莃袃羆膀蚂袃肈莆薈袂膁膈蒄袁袀莄莀袀羃膇蚈