2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线的光学性质

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探-源于课本一份阅读材料的探究反思学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引 起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光 学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究， 并对它在 数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思 与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质1.1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射 后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图 1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置. 例 如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物 体加热

2、.1. 2 双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图 1.2）.双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能 找到实际应用.1. 3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选 择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并 可通过转动抛物线的对称轴方向， 控制照射方向.卫星通讯像碗一样 接收或发射天线，一般也是以抛物线

3、绕对称轴旋转得到的， 把接收器 置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的 微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果； 反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发 射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置， 同样保证接收效 果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加 热焦点处的贮水器的.1.2圏诃要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明2. 1 圆锥曲线的切线与法线的定义设直线I与曲线c交于P,Q两点，当直线I连续变动时，P,Q两 点沿着曲线渐渐靠近，一

4、直到P,Q重合为一点M,此时直线I称为曲 线c在点M处的切线，过M与直线I垂直的直线称为曲线C在点M处的 法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化:2.2 圆锥曲线光学性质的证明2 2预备定理1.若点P（x0,y0）是椭圆2上任一点,2Ml二）a1当X = a时，过点P的切线斜率k一定存在，且 k = ylxs对式求导：2yy驾xoa2 2x丄y/点P（x,y。）在椭圆二2T 上，a b故 4 =1 代入得竽书=1.a ba b而当x二-a时，yQ 切线方程为a，也满足式故xo2x響=1是椭圆过点 P（Xo,y。）的切线方程.a bx2v2预备定理 2. 若点呛。）是双

5、曲线孑-芦1上任一点则双曲22则椭圆过该点的切线方程为:xxyy2 -1ab证明:2 2y彳x由7T= 1b a_b2xk= yk毛二_2二切线方程为2a y-b2xa2y（x- X。）.线过该点的切线方程为:XQXyoy12 . 21a b证明:222xy x由口2 _1=b a1 当X = -a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k y|x=x。2 2xy .T点P(xo, yo)在双曲线Ob1上，2 2故学/1代入得竽-a ba b而当x二a时，y= o切线方程为x = - a，也满足式故 竽一響=1 是双曲线过点P(xo,yo)的切线方程.a b预备定理 3.若点P(x,y)是抛物线y2

6、=2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是yoy二P(XX。)证明：由y2=2px，对x求导得：2yy=2p= k二ylx -yo当yo=0时，切线方程为y-yp(x-xo) yo即yy - y：二px - px而y=2pxo二yoy二p(x xo).而当yo=o,x=o时，切线方程为X。7 也满足式故抛物线在该点的切线方程是yy二P(X Xo).定理 1.椭圆上一个点 P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P 处的法线平分(图 2.1 )2 2已知：如图，椭圆C的方程为令出胡,F1,F2分别是其左、右焦点，a bl是过椭圆上一点P(xo, yo)的切线，I为垂直于I且过点P的椭圆的法 线，交2

7、yy =2Xo .k= yIXM二2aay。切线方程为y - y。(x- Xo)b2Xo2ayox轴于Dcyo设.F2PD = : . FjPD = -, 求证：二-.2 2证法一：在C:冷2 =1上,a bP( xo, yo) C, 则过点P的切线方程为：智缨=1a bl是通过点P且与切线l垂直的法 线，二法线I与X轴交于D(-)2Xo,O)a2| FiD |aCX0 2| F2D | a -CXo又由焦半径公式得：| PF1|=a +eXo,| PF2|=a eXo. IF1DI IPF1I|F2D|PF2|.PD是.F1PF2的平分线G+ot = 90=P+P故可得a = B = ar=

8、证法二：由证法一得切线I的斜率k = ylK鑒，而PF1的斜率a y& =,PF2的斜率k2X0cX。- c.l到PF1所成的角满足2yo. bjXo.22 2.2 2.2_ kXo+c a ya y+b x+b cxtan 22221 kk11 b Xoyo(a -b)約。a cy(xoc)a2yotarv丄c2c2| F1D Xoc,| F2D I二C - pXoP(xo, yo)在椭圆2 2C:务占=1上a b则1x01X -(p) =Xoyo(活abFiFL图 2.1同理，PF2到I所成的角满足tan一旦1 + kk2cy/.tan： = tan而:, （0匸）2证法三：如图，作点F3

9、，使点F3与F2关于切线I对称，连结Fl,F3交 椭圆C于点P下面只需证明点P与P重合即可一方面，点P是切线I与椭圆C的唯一交点，则|PFi| |PF22a，是I上 的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为I上的其它点均在椭圆外） 另一方面，在直线I上任取另一点PPRI |PF2冃Phl |PF3| F1F3h：|PF1| |PF2|即P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重合即:一 1 而得证定理 2双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 P 处的切线平分（图 2.2 ）;2 2已知：如图，双曲线C的方程为笃-每=1,Fl,F2分别是其左、右焦a b点，I是过双

10、曲线C上的一点P（xo,yo）的切线，交x轴于点D，设&PD =：,F2PD二1求证：:=-2 2证明：C：y1a2b2X两 焦 点 为Fdc,0)F2(C,0)(c2二a2b2)则过点P的切线竽一辔=1a b2切线I与x轴交于D(,0)。Xo由双曲线的焦半径公式得cc|PFi|=| X。a|,|PF2冃一X。-a|aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0),F(c,0)二切线I为.FPF之角分线。夹角被抛物线在点 P 处法线平分(图 2.3 )已知：如图，抛物线C的方程为为y2=4cx, 直线I是过抛物线上一点P(X0, y0)的切线， 交X车由于D,. DPF -PDF二,反射线PQ与I所成角记

11、为1,故|DF1|H a|,|DF2*|Ex0-a|,皿-归X0aX0aX0IPF2I1討a|IDF2I定理 3 抛物线上一个点 P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的P(xo,y。)在双曲线上图 3.1.1求证：-=-证明：如图，抛物线C的方程为图 3.1.1C:y2=4cx，点P(Xo,y)在该抛物线上，则过点P的切线为yy二p(x - X。)切线l与x轴交于D(Xo,O)焦点为F(c ,0)，(同位角)T|PF|(Xoc)2y2讥c|,|DF |=|xc|二|PFHDF|通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？三、圆锥曲

12、线的光学性质的应用3.1 解决入射与反射问题例 1.设抛物线C:y2二x，光线从点 A(5, 2)射出，平行C的对称轴，射在C上的 P 点，经过反射后，又射到C上的 Q 点，贝 S P 点的坐标为_, Q 点的坐标为_ P F2 Q）,究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定 义，图 3.2.i 中的|PiFi|+|PiQ|2a，可见图 3.2.i 所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图 3.2.2 所示的光线又有什么特点 呢？将图 3.2.i.和图 3.2.2 中的光线反射路线合并图 3.2.3，由于 |P2Q| +|P2Fi|+|PiQ|+|PiFi|是定值 4a（a 为椭

13、圆长半轴长），而 |PiQ|+|PiFi|由前面知最小，由此猜测|P2Q| +|P2Fi|可能就是最大值。PiF2F2P2P23.2.2P23.2.3I（二）证明|PiFi|+|PiQ|是最小值。如图 3.2.2，连接 QF2,延长交椭圆于在椭圆上另取一点P2, 由椭圆定义知：|P2Q|-|QF2| +|PFi| = | FFi| +|P；F2| （*）,因为|P；冋|P2QI-IQF2I，代入（*）式得 IP2QI-IQF2I +|P2F1I |P2F1I +|P2QI-IQF2I 所以，|P2Q| +IP2F1I |P2F1I +| 巳 Q|。猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出I F

14、2Q|（4二2）242=2.10可得最小值为2a-| F2Q| = 10 -2.10最大值为2a IF2QITO 2 .10.2例 5.已知双曲线 C: x2一上=1, Fi、F2为分别是其左右焦点，3点Q（4,9）, M 是 C 上的动点，求|M 冋+|MQ|的取值范围。分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是 不封闭曲线，显然|M 冋+|MQ|可以无限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值 范围，关键是求出|MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特 点， 我们猜想：从 Fi射出经双曲线反射后经过点 Q 的光线所经过的路 程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从

15、一个焦点射出的光线 经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从 Fi射出被双曲线反射后经过点 Q 的光线：连接 FiQ,与双曲线的交点 即为使得|MF2|+|MQ|最小的点，设为 P 点，光线从 F P Qo（见图 2） （二）证明：如图 2:按猜想作出点 P,由于所求点 P 显然不在 双曲线的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一 点P，由双曲线定义知:|PFi|-|PF2| = |PFi| -|PF2I，即|PFi|+|PF2I |PQ| +|PFi|+ |PF2|=|PQ| +|PFi|+|PF2|，故 |PQ|+|PF2| 33. 3.圆锥曲线光学性质在

16、解决与“切线”相关问题时起简捷作 用。光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射角)， 光线被曲线 反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。 可见, 曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。以椭圆为例：如图3.3.1 , I 是过椭圆周上一点 P 的椭圆的切线， m 是 P 点处的法线，光线从足/ 1二/2,且/ 3=24。-y1上一动点 P 的椭圆 C 的动切16 12线，过 C 的左焦点 F1作I的垂线，求垂足 Q 的轨迹方程。分析：如图 3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手， 或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于I是椭圆的 切线，切点为 P

17、,联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：I是2RPF 的外角平分线，F1关于直线I的对称点F；在 RP 的延长线上。这样， 由于 | P F1| =|PF2|，故Fi(F2)射出被椭F例 7.已知I是过椭圆 C:图-IF1F2FIP Fi|+|PF2|=2a=8， 而 Q O 分别是RF、F；F2的中点，所以|QO|=4。从而 Q 点轨迹是以 O 为圆心、以 4 为半径的圆。即点 Q 的方程为 x2 y2=163. 4 在生产生活中的作用例 8.某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图 3.4.1 ,其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转 而成的曲面；抛物线以 cm 为单位的设计 尺寸如 图 3.4.2 .为了达到最佳加热 效果，F应距碟底多少？解：以碟形内壁底为原点，