大学一年级高数期末考试题及答案

1、学期高等数学期末考试试卷答案计算题(本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分)，所以，有x2ax b = B 1 x2D x 12=B D x22Dx B D.比较上式两端的系数，有1 B D, a=2D, b=B，D所以，得b=11 1 求极限lim O+cosx)/x屮sin3x解:limx )01 c o 2x 423xxk2 2 设x 0时，f x与是等价无穷小，.f t dt与Axk等价无穷小，求常数k与A20解:3X由于当x 0时，.ft dt与Axk等价无穷小，所以03Xf t dtlim -一 l= 1而xa Axk所以，lim13=1因此，k -1, A-1xT

2、6Akx6x2ax b3 3 如果不定积分2厂dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件.x 11 x2解:x2亠ax亠b将-化为部分分式，有x 121 x2x2ax bx 121x2B Cx D厂厂，1 + x2ax b因此不定积分一2dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数(x + 1% +x2)x2ax b即 -x 121 x2x 1D B 1x2D x 12十-=-彳 +2f、.21 x(x +1 Y(1 +x2525 5 计算定积分mi n、1,052d所以，min：1,01x -2 dx二1dx0解：j2 x=x21x : 11 _x _22：x_ 3x 3一3日5

3、 5 设曲线C的极坐标方程为r =asin，求曲线C的全长.3解：3日日曲线r =asin 周的定义域为0，即0 _二_ 3二.因此曲线C的全长为333二 _3二srrd” .00O C甘OA日OHa2si n a2si n col d3333兀as i0二.（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分），6 6 .求岀函数f x = lim-sin x2n的所有间断点，并指岀这些间断点的类型.1 2x解:sin二xsin二xx企1 +(2xfX 121x =-21x二2x1211因此x1与x2是函数22f x的间断点.l i m f x = lim0=0,1 -1 xx221li

4、m f x二lim si n二x= T，因此x是函数1 1 2x_2x二2f x的第一类可去型间断点.x_2 dx213x dx x - 2 dx二28lim f x二lim sin：x =1，lim f x二lim 0 = 0，因此1 - 1 1 1亠xxx2X r间断点.匕求极限lim7 b解：7 7 设是函数f x =arcsinx在区间0,b I上使用 LagrangeLagrange（拉格朗日） 中值定理中的中值”f X二arc s ixT在区间0, b l上应用 LagrangeLagrange 中值定理，知存在-三0, b，使得1arcs in b -arcs in0b - 0所

5、以，2=1 -b- iarcs inb丿因此,令t =arcs inb,则有所以，lim17 b38 8 设f(x)= feyf dy，求f f (x Jdx0 0解:1二在方程f X二ey2dy中，令x =1，得01二0f (1 )= Jey(2_ydy = Jey(2_ydy = 0001丄再在方程f X二ey 2dy两端对X求导，得x - -e10111因此，f x dx = xf x:一xf x dx二一xf x dx0001 122二xe1dx = e , xe dx =0 0(1 / =e一eJ 2 J,9 9 研究方程ex=ax2a 0在区间-：，：内实根的个数.解:X = 是函

6、数f X类可去型设函数f x二ax2 3 4e1,f x = 2axe公ax2e二ax 2-x e*.令fi=o，得函数f x的驻点Xi=0, X2=2.由于a 0，所以lim f x二lim ax2e1二：，X)二x .因此，得函数f x的性态2e2 若4ae，-1 . 0，即a时，函数fx=axe-1在-：:,0、0, 2、2,二 内各4有一个零点，即方程ex二ax2在-：:，亠内有3个实根.22.2 若4ae -1=0，即a时，函数f x = ax e -1在-, 0、0, :内各有一个零42e22 若4ae-1 -0，即a时，函数f xi=ax e*-1在:0有一个零点，即方程ex=a

7、x4在1.7儿：内有 1 1 个实根.1010 设函数f x可导，且满足f：；：-x = x f x ?-1，f 0 = 0.试求函数f x的极值.解：在方程f - x =x f x -1中令t -x，得t - -t-1T，即f X = -X f I.-X厂1f (x )+ xf ( X )=X在万程组丿中消去f ( x),得-xf (x )+ f (-X )= -Xlim f x = lim ax2eX ) :：x .2x-1 = a limx-1 = a limexx:ex2x亠alimj1.i 化ex2点，即方程e=ax在- ：，：内有 2 2 个实根.2fX二尸1 +x积分，注意f 0

8、 =0，得f x - f 0二.1 dt即01+tt +t5 6 7 812f x2dt=x In 1 x -arctanx01+t225応1Jef0 krctan xdx =，f (1)=002丄2X X由f X21 +x2得函数f x的驻点Xi=0,X2- -1而f ” Xi戶1 2x - x2k 所以,(1 + x2)f 0 =10,f-1：024三应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），1111 求曲线y二.x的一条切线，使得该曲线与切线I及直线X= 0和*=2所围成的图形绕x轴旋转的旋转体的体积为最小.解:1由y，可知曲线y在t, . t处的切线方程

9、为2磁1 1y-. tx-t，或yx，t2Jt2Jt因此所求旋转体的体积为所以，f 0戶0是函数f x极小值；f一1=一1ln2是函数f x极大值.设切点坐标为t, t,所以，理dt-8r2=0得驻点t二4 . 3t2JI士*，舍去t = _由于-33d2Vdt2方程为y164 3t220，因而函数V在t处达到极小值，而且也是最小值因此所求切线V31212 设函数f x在闭区间0,11上连续，在开区间0,1内可导，且解:因为f x在闭区间0, 1 1上连续, 所以由积分中值定理，知存在ne |0,-丨，使得1风21efarctan二一.再由f 1 =0，得兀2efJarctan口 =少=efC)arctan1.4作函数gx=efxarctanx，则函数在区间：，1 ! 0, 11上连续，在区间，1内可导.所以由 RolleRolle中值定理，存在匚三厂，1二0,1，使得g= 0.而g (x )=efW f (x )a ret axe)所以存在匚