边际分布与随机变量的独立性ppt课件

1、3.2 边沿分布与随机变量的独立性边沿分布与随机变量的独立性问题：知二维随机变量问题：知二维随机变量 (X, Y) 的结合分布，的结合分布，如何求出如何求出 X 和和 Y 各自的分布？各自的分布？3.2.1 边沿分布函数边沿分布函数巳知巳知 (X, Y) 的结合分布函数为的结合分布函数为 F(x, y)，那那么么 Y FY (y) = F(+ , y). X FX (x) = F(x, +),边缘分布的几何意义边缘分布的几何意义FX(x)的函数值表示随机点的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区落入如下左图所示区域内的概率；域内的概率； FY(y)的函数值表示随机点的函数值表示随机点(X

2、,Y)落入如下右图所示区落入如下右图所示区域内的概率。域内的概率。O x xO xyyy补例补例5 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的结合分布函数为的结合分布函数为 2arctan2arctan),(yCxBAyxF其中其中A A，B B，C C为常数，为常数，x(-,+)x(-,+)，y(-,+) y(-,+) (1)(1)试确定试确定A A，B B，C C；(2)(2)求求X X和和Y Y的边缘分布函数；的边缘分布函数；(3)(3)求求P(X2)P(X2)解解 (1) (1)由结合分布函数性质由结合分布函数性质2 2可知可知122),(lim),(CBAyxFFyx022),(CBA

3、F022),(CBAF解得解得21A2B2C(2)2arctan1212arctan21),()(2xxxFxFX ),(x2arctan1212arctan2221),()(2yyyFyFY ),(y(3)(3)由由X X的分布函数可得的分布函数可得4141211)2(1)2(1)2(XFXPXP故故2arctan22arctan21),(2yxyxF3.2.2 边沿分布列边沿分布列巳知巳知 (X, Y) 的结合分布列为的结合分布列为 pij，那那么么 X 的分布列为： Y 的分布列为： ()iijijP Xxpp()jijjiP Yypp以表格方式表示为以表格方式表示为YXy1y2yjP(

4、X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp121jjpp11jijpp例3.2.1把两封信随机地投入曾经编好号的3个邮筒内,设 。的分布律及边缘分布率求个邮筒内信的数目分别表示投入第),(,2 , 1,YXYX解：)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(2 , 1 , 0,取由题设，各自的取值为YXYX均不能够，因此相应的概率均为02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由对称性求得再由

5、古典概率计算得 ：一切计算结果列表如下 ：(, )XYX Y和 的边缘分布律可由的分布律确定( X,Y )关于Y的边缘分布律( X,Y )关于X的边缘分布律例例3.2.2 知知(X,Y)的分布律为的分布律为故关于故关于X和和Y的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。 YX1011/103/1003/103/10 YX10pi11/103/102/503/103/103/5pj2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解解3.2.3 边沿密度函数边沿密度函数巳知巳知 (X, Y) 的结合密度函数为的结合密度函数为 f(x, y)，那那么么 X 的密

6、度函数为 ： Y 的密度函数为 ： ( )( , )d .Xfxf x yy( )( , )d .Yfyf x yx1,01,;( , )0,.xyxp x y其他试求：试求： 1边缘密度函数边缘密度函数pX(x)和和pY(y);2P(X1/2).3.2.4例在区域设二维随机变量),(YX, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服从均匀分布，求边缘概率密度，解：(, )X Y不难得到的概率密度., 0, 10, 6),(2其它xyxxyxf则., 0, 10),(66),()(22其它xxXxxxdydyyxfxf., 010),(66),()(其它yyYyyydxdxyx

7、fyf(, ),X YG虽然的联合分布是在 上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。 yxyyxxyxf,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 于于是是 21122112221212221)()(2)( xxyyxy dyeexfxyxX2112222121)1(212)(221121)( dyyxfxfX),()(由由于于 令令),(1111222 xyt则有则有 同同理理 yeyfyY,21)(22222)(2 xedteexfxtxX,2121)(2121221212)(122)(1 由结合分布可以求出边沿分布由结合分布可以求出边沿分布. 但

8、由边沿分布普通无法求出结合分布但由边沿分布普通无法求出结合分布. 所以结合分布包含更多的信息所以结合分布包含更多的信息.注注 意意 点点 (1) 二维正态分布的边沿分布是一维正态：二维正态分布的边沿分布是一维正态： 假设假设 (X, Y) N ( 1, 2 , 12, 22 , )，注 意 点 (2) 那么 X N (1, 12)， Y N (2 , 22 ). 二维均匀分布的边沿分布不一定是一维均匀分布二维均匀分布的边沿分布不一定是一维均匀分布.解解: 由题意得由题意得2211( , )0 xyp x y其 它xy-112x1y当当|x|1时，时，p(x, y)=0，所以，所以 p(x)=0

9、当当|x|1时时,22111( )xxdyp x221x不是均匀分布不是均匀分布21yx练习练习1 设二维随机变量设二维随机变量其其它它0, 1048),(),(23xyxxxyyxfYX求边缘密度函数求边缘密度函数fX(x)和和fY(y)解解 当当0 x1时时,dyyxfxfX),()()(24487523xxxydyxxO 1 x y1y=x2y=x3当当x0或或x1时，时，fX(x)=0，所以，所以其其它它010)(24)(75xxxxfX当当0yY)。O xy=x2y=xy解解 (1) 1),(dxdyyxf 111212dxydyCxx421C(2)确定积分区域确定积分区域xxydy

10、xdxYXP2203421)(21010:21xxyxD111:2xyxD4习题将只红球和只白球随机地投入曾经编好号的3个盒子内红球的数目，表示落入第设个盒子中去1,X及边缘分布律。的分布律求个盒子内白球的数目表示落入第),(,2YXY解：无妨分别把2只红球和2只白球看作是有差别的例如编号，由古典概型计算得 4222211161,1381P XY 123类似地计算出下表内的其它结果 ：比较一下例3.2.1的表和例3.2.2的表，立刻可以发现，两者有完全一样的边缘分布，而结合分布却是不一样的。由此可知，由边缘分布并不能独一地确定结合分布 。习题习题7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在矩形

11、区域在矩形区域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服从均匀分布，假设上服从均匀分布，假设YXYXU01YXYXV2021试求试求(U,V)的结合分布律，并判别的结合分布律，并判别U与与V能否相互独立。能否相互独立。解解 (X,Y)在在G上服从均匀分布，那么结合密度函数上服从均匀分布，那么结合密度函数为为O 1 2 xy1y=xx=2yGGyxGyxyxf),(0),(21),()()2,()0, 0(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf1014121),(0)2,() 1, 0(YXYXPVUP)2()2,()0, 1(YXYPYXYXPVUPyxyyydxdydxdyyxf21024121),()2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf220202121),(U,V)的结合分布律和边缘分布律为的结合分布律和边缘分布律为VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2经检验，经检验， U和和V不是相互独立的。其中不是相互独立的。其中pijpi pj习题习题8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有具有概率密度函数概率密度函数 其它其它0 01015),(2yxyxyxf(1)求求X,Y的边缘概率密度；的边缘概率密度；(2)问问X与与Y能