2013现代数字信号处理课件第

1、第二章离散随机信号分析基础1、离散时间随机信号信息科学与杨绿溪随机信号更常见,它是时间演化受随机或未知因素影响或驱动的信号，如清语音、图象、的通信信道、生医信号、太阳黑子数、气象数据、数据等，对它们的研究更有实际意义。第二章(1)离散时间随机信号§2.1随量§2.2 随机过程(随机信号)及其特征描述随机过程的定义、集总平均、平稳过程、自相关(矩阵)各态遍历性白噪声、功率谱过程§2.3 随机过程(随机信号)通过滤波器§2.4 谱因子分解§2.5 特殊类型随机过程 AR、MA、ARMA、谐波过程§2.1样本空间到一个数值集合的随量，即将随

2、机样本空间中的每为x的特定值。个单元df (x) =· 概率分布函数: F (F (x)· 概率密度:x0xxdx¥mx = Ex = ò-¥ xfx (x)dx离散mx = E= xk · 均值:k¥函数y = g(x) : my = Ey = Eg(x) = ò-¥ g(x) fx (x)dx¥ò=E| x | =D22x2fx (x)dx· 均:-¥= E x - Ex2 =¥ò-¥Var(x) = sx - Ex2 f2x(x)

3、dx· 方差:xVar(x) = s= D2 - m22x关系式:x概率密度分布x1x2s2s1m1m2斜度s1s2峭度m1> ? <m2；> ? <ìïé x - müï3ìïé x - mù4 üïùEx - m 3Ex - m 4Skew(x) = E íêx ú ý = xKurt(x) = E íý - 3 =ïþ- 3 x xêús

4、s3xss4xïîëxûïþïîëûx如何产生分布函数为Fx(x)的随机变量x(n)?产生0,1均匀分布的y(n);-1取x= Fx(y), 即得x(n)。原理：因y= Fx(x), 所以y(n)的概率密度函数应为：fy(×)=fx(×)/ Fx (×)=1, yÎ0,1Fx, y (x0 , y0 ) = Prx £ x0 , y £ y0 fx, y (x, y) = ¶x¶y Fx, y (x, y)x和y的分

5、布函数¶2密度函数矩特征：互相关= Exy*rxyc= Cov(x, y) = E x - m y - m * = Exy* - m m*协方差xyxyxyE x - mx y - my *Exy* - m m*相关系数r=xy£ 1xys ss sxyxy是归一化的协方差fx, y (x, y) = fx (x) f y ( y)两个随量x和y统计r= m m*orExy* = ExEy*x和y不相关xyxyVarx + y = Varx + Vary§2.2随机过程及其特征描述1、随机过程的定义2、集总平均3、过程4、平稳过程5、宽平稳过程的自协方差和自相关矩

6、阵6、各态遍历性7、白噪声8、功率谱1、随机过程的定义定义：样本空间到离散时间信号x(n)的一个集合的是离散时间信号的一个集总。量A,则x(n)=Acos(nw0)就是例1：掷。等概发生的1到6值赋给随一个随机过程,它是6个等概率发生的不同离散时间信号的集总。例2：重复抛硬币的实验。n时刻头像朝上x(n)=1;否则x(n) = -1。每个实验产生一个1和-1的随机序列，该随机序列的集总是一个随机过程x(n)。若n时刻结果不影响其它时刻结果，则为Bernoulli过程。实际的语音、通信、图象、生医信号都可看作是随机过 程。（有时也可看作是确定性信号）。时变系统.更方便的理解：随机过程是一个带索引

7、的随¼¼x(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) ¼¼随机矢量是特例。量序列各随量有概率分布和概率密度函数：是一阶的。为反映多个随量的相互关联，用分布函数：) (a1 ,.,ak ) = Prx(n1 ) £ a1 ,., x(nk ) £ ak Fx(n ),.,x( n1k量序列形成的随机过程,信号波形如下:例如两种由随给定随机过程x(n)，其它过程可通过对其数学变换(如线性滤波)而产生。例如Bernoulli过程通过一阶递归滤波y(n)=0.5y(n-1)+x(n)产生新的AR(1)过程。2、集总平均量(Ensemb

8、le average)一阶:mx (n) = Ex(n)均值方差s (n) = E| x(n) - m (n) | 22xx思考: 若x(n)=确定性d(n)+随机噪声v(n), mx(n) = ?:-自协方差c(l)*r (k,l) = Ex(k )x* (l)自相关x对零均值随机过程，自协方差和自相关是相等的。例谐波过程的均值和自相关。1)实谐波过程(随机相位正弦波): x(n)=Asin(nw0+f)A,w0是均值:, f是-p,p区间均匀分布的随量。mx (n) = Ex(n) = EAsin(nw0+ f )12p¥pò-¥ò-pA sin(n

9、w+ a ) f(a )da =Asin(nw+ a )da = 0=f00自相关:rx (k,l) = Ex(k )x *(l) = EAsin(kw0 + f ) × Asin(lw0 + f )= (1/ 2) A2 Ecos(k - l)w - (1/ 2) A2 Ecos(k + l)w + 2f 00= (1/ 2) A2 cos(k - l)w 0x(n) = Ae j (nw0 +f )2)复谐波过程均值:¥ò-¥m (n) = EAej(nw0 +f ) =Ae j ( nw0 +a )(a )daffx 1 Ae j (nw0 +a

10、) da = 0pò=自相关:2p-pw +f ) × A* e- j (lw0 +f )r (k,l) = Ex(k )x *(l) = EAej (k0x=| A |2 Ee j(k-l)w0 =| A |2e j (k -l )w0均值都是常量,自相关只是k和l差值的函数：宽平稳过程12e jkw0r (k ) =| A |2wr (k ) =2A cos(k)xx0有关两个随机过程x(n)和y(n)的计量：cxy (k,l) = Ex(k ) - mx (k ) y(l) - my (l)*rxy (k,l) = Ex(k ) y *(l)互协方差:互相关: 关系式

11、:c(k,l) = r(k,l) - m(k )m* (l)xyxyxy两随机过程不相关(uncorrelated):c(k,l) = 0r (k,l) = m (k )m* (l)orxy正交(orthogonal):xyxyrxy (k,l) = 0不相关的零均值随机过程之间一定是正交的。所以两者有时通用。例: 两对过程的互相关。1)随机过程x(n)和y(n)之间关系为： y(n)= x(n-1)rxy (k,l) = Ex(k ) y *(l) = Ex(k )x *(l -1) = rx (k,l -1)¥y(n) = å h(m)x(n - m)2) y(n)是x

12、(n)与h(n)的卷积:m=-¥r (k,l) = Ey(k )x * (l) = E ìéü¥ùíê åh(m)x(k - m)ú x * (l)ýyxîëm=-¥ûþ¥= å h(m)rx (k - m,l)m=-¥加性噪声的概念:y(n) = x(n) + w(n)经常假定其均值为零且与信号不相关，这时有:ry (k,l) = rx (k,l) + rw (k,l)性质：若两个随机过程x(n)和y(n

13、)是不相关的，则它们之和z(n)=x(n)+y(n)的各自相关之和：的自相关等于x(n)和y(n)rz (k,l) = rx (k,l) + ry (k,l)例: 多个随机过程之和的自相关。M个不相关的实谐波和观测噪声之和：x(n) = å Am sin(nwm + fm ) + v(n)m=1M12Måcos(k - l)wr (k,l) = + r (k,l)A2xmmvm=1x(n) = s(n) + w(n)噪声 w(n)3、过程设x=x1, x2, ., xnT是n维实值随机矢量，密度函数是概率)üfýþxmx=m1,m2,.,mnT

14、是由xi的均值mi组成的矢量，Cx是对称正定的协方差矩阵，则称x是随机量xi是矢量，而各随的。过程定义：若离散随机过程x(n)其样本的各种有限集合都是的，则称其是过程。它由均值矢量和协方差矩阵完全定义。4、平稳过程fx(n) (a ) =fx(n+k ) (a )一阶平稳:一阶密度函数与时间相,其均值和方差均是) (a1 ,a2 ) =fx( n +k ),x( n +k ) (a1 ,a2 )平稳:fx(n ),x(n1212L 阶平稳: 过程x(n)和x(n+k)有相同的L阶密度函数。稳: 若一个过程对所有的阶次L>0都是平稳的。宽平稳性(WSS)平稳稍弱,但经常混用比mx(n) =

15、mx过程的均值是，即：自相关只取决于差值, 即： rx(k,l) = rx(k-l)过程的方差是有限的，即： cx(0) < ¥例：Bernoulli过程、随机相位正弦波、噪声等。实际中很少有是宽平稳而不是稳的随机信号。白宽平稳:x(n), y(n) 宽平稳, 再加上 rxy(k, l)= Ex(k)y*(l) = rxy(k-l)，只与差值有关。其它的平稳性： (了解)半平稳：例如y(n)是宽平稳的x(n)在n1,n2区间的一段，其它时刻为0。局部平稳：例如y(n)=a(n)×x(n)。WSS自相关序列rx(k)=Ex(n+k)x*(n)的性质对称性: rx(k)

16、= rx*(-k)对实过程： rx(k) = rx(-k):rx(0) = E|x(n)|2 ³ 0均最大值: rx(0) ³ |rx(k)|周期性：若一个WSS随机过程的自相关序列rx(k) 对某个k0有rx(k0) = rx(0),则rx(k)是周期的，且周期为k0。另外,x(n)是均方周期的,即E|x(n) - x(n -k0)|2 = 0。例:随机相位正弦信号是周期过程。由x(n)=Asin(nw0+f) 得 rx(k) = (1/2)A2cos(kw0)。若取w0=2p/N，则rx(k)是周期N的，x(n)也是均方周期的。将x(n)周期延拓所得的y(n), 其自相

17、关序列也是周期的.实数随机信号的自相关序列5、宽平稳过程的自协方差和自相关矩阵若x=x(0), x(1), ., x(p)T是WSS过程x(n)的p+1维随机矢量, 则有自相关阵Rx的定义： (注意x的元素的次序)é Ex(0)x *(0)Ex(0)x *( p)ùEx(1)x *( p) úEx(0)x * (1)Ex(1)x * (1)MEx( p)x * (1)LLLExx H = ê Ex(1)x *(0)êúMMêëEx( p)x *(0)Ex( p)x *( p)úûé r

18、ê rùúú*r* (2)* (1)r* ( p)LLxr ( p -1)*= ê r (2)x*r (1)xxMMMr ( p - 2)Mrx (0)êrú-Lëû- m类似可定义自协方差阵Cx:)H Cm HC若x(n)是零均值,则C 和R 等效:xxx自相关矩阵的性质性质1：WSS随机过程x(n)的自相关阵是一个 特Toeplitz矩阵, Rx =Toeprx(0), rx(1), rx(p)。性质2： WSS的Rx具有非负定性，即Rx ³ 0。(对称阵 Rx非负定的充要条件是aH Rx

19、a³0.)性质3： WSS的Rx的特征值为实值，且非负。它们可用于验证WSS- Rx的；自相关匹配建模；等。还应了解多通道信号x的空间自相关阵Rx。例 1.随机相位正弦信号的自相关序列为rx(k)=(1/2)A2cos(kw0)l1 = 1+ cosw0³ 0³ 0cosw0 ùR = 1 A2é1êëcosw0úû1l = 1- coswx220det(Rx ) = 1- cos w= sin w ³ 02200y(n) = Ae j (nw1+f1 ) + Ae j (nw2 +f2 )例

20、2. 两个复谐波之和e jkw1e jkw2e- jw1r (k ) =| A |2+ | A |2yéêëe jw1+ e- jw22ùúû2+ e jw2R=| A |2yl = 2 + 2 cos(w1 - w2 ) ³ 012l = 2 - 2 cos(w1 - w2 ) ³ 022若w2= -w1，则它正弦信号。为例1中所讨论的随机相位空间自相关阵多通道的宽平稳随机矢量x=x0, x1, xpTMIMO通信对多通道的宽平稳随机矢量x=x0, x1, xpT，其空间自相关阵Rxx(或自协方差阵Cxx)定义为

21、：é Ex x*Ex x* ùEx x*LL00*010p*êúúEx x*Ex x Ex x Exx = êH1011M1pMMêúêëEx x*Ex x*LExLLLx úûp0r r rrp1r r rppéê= êêêërrxx (0, p) ùrxx (1, p) ú(0, 2)(1, 2)rxx (2, p) ú = Rxx(2, 2)úMMMMrxx ( p, p

22、)úûr( p, 2)L自相关阵的对角化就对应时间域白化或空间域白化6、各态遍历性(ergodicity)N -1x(n)1= 1Låå i(N ) =时间平均=集总平均？mmx (n)x (n)xNLn=0i=1WSS过程x(n)的样本均值收敛均值? 若满足如下均方一致性收敛条件,则称x(n)是均值各态遍历的：Lim E | m (N ) - m |2 = 0xxN ®¥定义：若 WSS 过程的样本均值m x (N ) 以均方意义收敛于mx ，则Lim m x (N ) = mx称该过程是均值各态遍历的，我们写为：N ®&

23、#165;样本均值以均方意义收敛的两个等效条件：Lim E m x (N ) = mx1、样本均值是渐进无偏的:2、该估计的方差在N®¥时趋于零:N ®¥LimVar m x (N ) = 0N ®¥均值各态遍历定理 1：设 x(n)是一个 WSS 随机过程，自协方差序列为cx (k) ，则 x(n)是均值各态遍历的充要条件是：N -1 1Nåc (k ) = 0LimxN ®¥k =0均值各态遍历定理 2：设 x(n)是一个 WSS 随机过程，自协方差序列为cx (k ) ，则x(n)是均值各态遍历的充

24、分条件是cx (0) < ¥，且：Lim cx (k ) = 0k ®¥例均值各态遍历性。1、对 Bernoulli 过程，它由的随量的序列，每个变量的方差为 1，该过程的自协方差为： cx (k ) = d (k )因此由均值各态遍历定理 2，Bernoull 过程是均值各态遍历的2、随机相位正弦信号 x(n) = Asin(nw0 + f ) ，并假设w0 ¹ 0 ，其自协方差为：c (k ) = 1 A2cos(kw )x02sin(NwìüN -N -11/ 2) cos(N -1)wåk =0í&#

25、229;w ) = Rewjk=cos(ke0/ 2利用：ý0sin(w / 2)00î k =0þ0sin(Nw / 2)N -1A21åcx (k ) =×0cos(N -1)w0 / 2我们有：sin(w0 / 2)N2Nk =0只要w0 ¹ 0 ，则 N®¥时上式趋于 0，它是均值各态遍历的。= 0 ， x(n) = Asin(f ) ，其协方差为c (k ) = 1 A2 ，所以而对w0x2这时它不是均值各态遍历的。自相关各态遍历：若当 N®¥时rx (k, N ) 在均方意义下收敛到

26、rx (k ) ，即：Lim E | r (k, N ) - r (k ) |= 02xxN ®¥Lim rx (k, N ) = rx (k )或记为：N ®¥N - 1N1å其中r (k, N ) =x(n)x *(n - k ) 是rx (k ) 的样本均值估计。xn=0自相关各态遍历定理：对一个协方差为cx (k ) 的宽平稳它是自相关各态遍历的充分必要条件是：N -过程， 1N1åc (k ) = 02LimxN ®¥k =0实际中都假设随机过程是各态遍历的，并由所获得的性能来决定是否合适。7、白噪声白噪

27、声是以后经常会遇到的一种重要的基本离散时间随机过程。一个宽平稳过程v(n)，不管是实值的或复值的，若其自协方差函数在k¹0零，即c (k ) = s d (k )2vv则称它为白过程。因此，白噪声就是互不相关的随量的一个序列，每个变量的方差是sv2。白噪声定义中只规定了其种白噪声随机过程。例如白噪声、均匀分布白噪声等。形式，因此应有无数白噪声(WGN)、Bernoulli 注意对复数白噪声v(n)=v1(n)+jv2(n),其方差是实部的方差和虚部的方差之和:E|v(n)|2=E| v1(n)|2+E|v2 (n)|2 以后将看到，很多重要的随机过程可通过将白噪声激励一个线性移不变滤

28、波器而产生。一些白噪声的波形高斯Bernoulli均匀8、WSS过程的功率谱¥1p2p ò-pjw- jkwwwdwÛ-辛r (k ) =理jjkPP (e)exk =-¥¥¥Px (z) = å rx (k )zk =-¥P (z) = å r- k(k )z-kxyxyk =-¥性质 1：对称性。WSS 过程 x(n)的功率谱是实值: P (e jw ) = P* (e jw ) ,xx而P (z) 满足如下对称条件： P (z) = P* (1/ z*)xxx性质 2：正实性。WSS -

29、x(n)的功率谱是非负的，即P (e jw ) ³ 0 。x性质 3：总功率。零均值 WSS 随机过程的功率正比于功率谱密1p2p ò-pP (e)dw = r (0)w度曲线下的面积，即： E| x(n) |2 =jxx功率谱的另一种表示经典谱估计的基础与x(n)变换幅值平方的集总均值有特定等效关系。21N1NNåå å定义: P (e jw ) =x(n)e- jnwx(n)x *(m)e- j(n-m)w=N2N +12N +1n=- Nn=- N m=- NNE P (e jw ) =1åNå- j (n-m)wr

30、(n - m)eNx2N +1n=- N m=- N进行下标变换k=n-m，并将上式的一些项重组后得：E P (e jw ) =12 Nåk =-2 N2 Nå | k |2N +1ww- jk- jk(2N +1- | k |)r (k )e=(1-)r (k )eNxx2N +1k =-2 N¥¥åw- jkwwåk =-¥(e)= P (e)jjLim E Pr (k )e假设，则| k | r (k ) < ¥NxxxN®¥k =-¥ìï2 ü

31、;ï1NE í å x(n)e- jnwwP (e) = Limj综合得：ýïþx2N +1N®¥ïî n=- N因此，功率谱可以被看作是P (e jw ) 在 N®¥时极值的期望值。N常见过程的功率谱零均值白噪声自相关序列是 r (k ) = s d (k ) ，功率谱是： 21.vvP (e) = swj2vv2.随机相位正弦信号的自相关序列是余弦函数：12A cos(kw )r (k ) =2x01w) =pd (w - w ) + d (w + w )j2因此其功率谱

32、为：P (eA x002若一个过程有如下的自相关序列： r (k ) = a，其中|a|<1，在后|k|3.x面将看到，它对应于一个一阶自回归过程。其功率谱为：¥¥¥åw = åa k e- jkw + åa k e jkww) =- jk-1jP (er (k )exxk =-¥k =01k =01-a 21=+-1 =1-ae- jw1-aejw1- 2a cosw + a 2显然，它是w 的实偶函数，且是非负的。性质 4：特征值上下边界性质。零均值 WSS 随机过程的 n´n 自相关阵Rx 的特征值，其

33、上下取值范围由功率谱的最大和最小值给定即： min P (e) £ lw£ max P (e jw )jxixww证明:R q = l q , i=1,nl=q = (1),., q (n -1)T i xiiiiiiiin-1 n-1r (k - l) = 1 pååòwj (k -l )wdwqH R q =-*l)q (l) ,jq (k )r (kP (e)eixiixixpx2-pk =0 l =0n-n- 1 11pååò-pww (k -l )dwqH R q =*jjq(k )q (l)P (e)e

34、2pixiiixk =0 l =0éùn-n-= 1 11p-pååòwwwdw- jlj*jkP (e)q (k )eq (l)eêú2pxiië k =0ûl =0n-1å iww- jk由于Q (e) =jq (k )e是特征矢量q 的变换，所以:iik =01p2p ò-pP (e jw )| Q (e jw ) |2 dwqH R q =ixixi1p2p ò-p| Q (e jw ) |2 dw=类似可得：ii1p2p ò-pP (e jw )| Q (

35、e jw ) |2dwqH R qxili=ixi因此有：1p2p ò-p| Q (e jw ) |2dwii由于112ppp-péùû2p ò-pòP (e jw ) | Q (e jw ) |2dww| Q (e jw ) |2dw£ max P (ej)ë wxixi112ppp-péù2p ò-pòP (e jw ) | Q (e jw ) |2dww| Q (e jw ) |2dw³ min P (ej)ë wûxixiwwmin P

36、(e) £ l £ max P (e)jj因此有：证毕。xixww§2.3随机过程通过滤波器x(n)¥y(n) = x(n) * h(n) = å h(k )x(n - k )k =-¥y(n)的均值:Ey(n) = E ìh(k )x(n - k )ü¥í åýîk =-¥þh(k )¥¥= å h(k )Ex(n - k ) = mk =-¥å= m H (ej 0)xxk =-¥H

37、(z)或h(n)y(n)y(n)的自相关: 首先计算x(n)和y(n)的互相关r (n + k, n) = Ey(n + k )x *(n) = E ìh(l)x(n + k - l)x * n)ü¥í åýyxîl =-¥þ= rx (k ) * h(k )¥¥= å h(l)Ex(n + k - l)x *(n) = å h(l)rx (k - l)l =-¥l =-¥它只与k有关。再计算y(n)的自相关ìü¥r

38、y (n + k, n) = Ey(n + k ) y *(n) = E í y(n + k ) å x * (l)h *(n - l)ýîþl =-¥¥¥= å h *(n - l)Ey(n + k )x * (l) = å h *(n - l)ryx (n + k - l)l =-¥l =-¥¥ry (n + k, n) = å h *(m)ryx (m + k ) = ryx (k ) * h *(-k )取 m=n-l®m=-¥

39、即ry (n + k, n) 只与差值 k 有关： ry (k ) = ryx (k ) * h *(-k )®ry (k ) = rx (k ) * h(k ) * h *(-k )¥¥ry (k ) = å å h(l)rx (m - l + k )h *(m)l =-¥ m=-¥若x(n)是宽平稳的,则只要ry(0)<¥，y(n)也就是宽平稳的。另外，x(n)和y(n)是宽平稳的。¥¥= r (0) = å å h(l)r (m - l)h *(m)s 2y(n)

40、的方差:yyxl=-¥ m=-¥s 2= E| y(n) |2 = hH R h若 h(n)有限长(h),则有:yxy(n)和x(n)的功率谱之间的关系2www) = P (eP (z) = P (z)H (z)H * (1/ z*)jjjP (e) H (e)yxyx不能辨识H(ejw)的相位.不能辨识非最小相位系统.若h(n)是实值的, 则 H(z)=H*(z *),Py(z)=Px(z)H(z)H(1/ z)无论h(n)是实值或复值,函数H(z)在z=z0处有一个极点，则功率谱Py(z)在z=z0处有个极点，*在镜像共轭位置z=1/z0 处还有另一个极点.例1白噪声通

41、过滤波器11- 0.25z-1方差白噪声 w(n)(s =1)通过H (z) =2设 x(n)是的随机过程,而产生w则 x(n)的功率谱为：1P (z) = s H (z)H (z) =-21xw(1- 0.25z-1)(1- 0.25z)它有一对极点: z=0.25 和镜像位置的 z=4。可由Px (z) 的部分分式分解获得 x(n)的自相关：Px (z) = (1 - 0.25z-1)(z-1 - 0.25)z-116 /151 - 0.25z-14 /1516 /1516 /151 - 4z-1=+=-z-1- 0.251 - 0.25z-1再取其逆 Z 变换就得：r (k ) = 16

42、 () u(k ) +1161614 u(-k -1) =kk|k|()x15 41515 4也可以反向地由一个有理功率谱密度函数获得产生该过程的 滤波器系统辨识或信道估计的频域方法。例2获得特定功率谱对应的滤波器假设用方差白噪声激励一个线性移不变滤波器产生的随w )+ 5 4 cos(2w) =j,机过程的功率谱： P (e试估计该滤波器。10 + 6 coswx5 + 2e j2w+ 2e- j 2wjwjw) =10 + 3e jw解：将Px (e) 写成复指数表达形式： Px (e+ 3e- jw(1+z-2 )(1+z2 )115 + 2z2 + 2z-223再用 z 代替e jw&

43、#190;®P (z) = ()2 ×22x10 + 3(z + z-1)(1+ 1 z-1)(1+ 1 z)33P (z) = H (z)H (z-1)若将P (z) 因子化为：xx2 1 + (1/ 2)z-2H (z) =×则得：3 1 + (1/ 3)z-1h(n) = 2 (- 1)n u(n) + 1 (- 1)n-2 u(n - 2)它是因果滤波器：3333功率谱非负的间接证明信号功率按频率如何分布。为理解这一点，设功率谱描述的H (e jw ) 是一个窄带带通滤波器，中心频率为w ，带宽为Dw 。0设x(n)是一个零均值宽平稳过程,它通过该滤波器,

44、产生输出过程y(n)。由于y(n)中的平均功率是：1p2p ò-pw)dwE| y(n) |2 = r (0) =jP (eyy1p2p ò-p| H (e jw ) |2w)dwE| y(n) |2 =jP (exwD12pw +Dw /2 òwww)dw0»jjP (eP (e)0x2px-Dw /2 0故P (e jw ) 可看作是个密度函数,描述 x(n)率随w 的变化。x1w +Dw /2 òww)dw ³ 0又由于E| y(n) |2总是非负,因此：0jP (e2px-Dw /2 0上式对任何ww 都成立的唯一方式就是P

45、(e) 非负。w和所有Dj0x§2.4谱因子分解宽平稳过程的功率谱P (e) 是w 的实值、正定的周期函数。wjx若又是w的连续函数，则 Px(z)可因式分解为如下乘积形式：为何有这样的分解？ Px (z) = explnPx (z) ?P (z) = s Q(z)Q * (1/ z*)2x0w) 是w连续函数®jx(n)中无周期分量。P (ex¥å x对 P (z) =- kr (k )z, 可假设 lnP (z) 在包含 圆的圆环域 xxk =-¥r<|z|<1/r内是的,这意味着lnPx (z)及其所有导数是 z 的连续函&#

46、165;å- klnP (z) =数,且lnP (z)可按级数展开为:c(k )zxxk =-¥ ¥åw- jkw) =j圆上计算lnP (z)，有： lnP (ec(k )e而若在xxk =-¥1p2p ò-plnP (e)edwwjkw因此有： c(k ) =jx因P (e jw ) 是实值,该系数应共轭对称, 即c(-k ) = c *(k )。另外xc(0) = 1 òp lnP (e jw )dw 2p-pxì-k ü¥所以有: Px (z) = explnPx (z) = exp&#

47、237; å c(k)zýîk =-¥þ= expc(0) expìüexpìü¥-1íåí å-k-kc(k ) zc(k )zýýî k =1þîk =-¥þ其中Q(z) = expìc(k )z¥üíå> r ,-k是因果稳定q(k ) 的 Z 变换,可幂级,| z |ýî k =1þ数展开： Q

48、(z) = 1+ q(1)z-1 + q(2)z-2 +LL (Q(¥)=1¾®q(0)=1)因Q(z)和lnQ(z)在|z|>r域都是的，故Q(z)是最小相位滤波器,Q(z)在圆外无极零点,1/Q(z)也是因果稳定。再利用c(k)的共轭对称性,可根据Q(z)将第二个因式表达为：ü*ì-1üì¥üì¥exp í å c(k)z-k ý = exp íåc *(k)zk ý = exp íåc(k)(1

49、/ z*)-k ý= Q * (1/ z*)îk =-¥þî k =1þî k =1þ这就导致了功率谱的如下谱因式分解：s= expc(0) = expìü1pòP (z) = s Q(z)Q * (1/ z*)LnP (e)dww2j2íý0pxî2þx0-p是一个非负实数。对实值的随机过程，谱因式分解取如下形式：P (z) = s Q(z)Q(z)-21x0可谱因子分解的随机过程都称为规则过程，有如下性质:任何规则过程都可看作是因果稳定滤波器

50、H(z)(或Q(z) 在方差s02白噪声v(n)驱动下的输出。称为其新息表示。1/H(z)是个白化滤波器。即x(n)通过1/H(z)输出的是方差 为s02的白噪声。该白噪声v(n)是x(n)的新息过程。由于v(n)和x(n)之间是一个可逆变换，因此这两个过程可以互相导出，也说明它们含有相同的信息。若是有理函数功率谱Px(z)=N(z)/D(z), 谱因子分解为é B(z) ùé B * (1/ z*) ùP (z) = s Q(z)Q * (1/ z*) = s220ê A(z) úê A* (1/ z*) úx0

51、ëûë û圆内：其中A(z)和B(z)1多项式,根都在B(z) = 1+ b(1)z-1 +LL + b(q)z-q Px(z)的分解形式®极零点镜像对称 Px(z)是实系数®极零点共轭对称出现A(z) = 1+ a(1)z-1+LL + a( p)z- p 般的极零点(复数)对出现。并非所有WSS过程功率谱都有前述的谱因子分解:Wold 分解定理：一般的宽平稳随机过程可写成两个过程之和：x(n) = xp (n) + xr (n)其中xr (n) 是规则过程， xp (n) 是可过程，且xr (n) 与 xp (n) 相互E x (

52、n)x (n) =*0正交，即：rp¥过程满足：xp (n) = åa(k )xp (n - k ) , 即 xp (n) 可由以前值无误可k =1。其充要条件是, 其谱由脉冲组成：N差地线性åwa d (w - w )(e) =jPxpkkk =1可过程的例子有随机相位正弦波、复谐波过程等。作为 Wold 分解定理的引理可知宽平稳过程功率谱的一般形式为NåP (e jw ) = Pwa d (w - w )(e) +jxxrkkk =1其中P (e jw ) 是规则过程的谱，是谱的连续部分，而脉冲之xr和是线谱，代表过程的可部分。§2.5特殊

53、类型的随机过程自回归滑动平均(ARMA)过程自回归(AR)过程 滑动平均(MA)过程谐波过程1、自回归滑动平均(ARMA)过程白噪声v(n)激励因果稳定LTI滤波器产生的宽平稳过程x(n)qåk =0- kb (k )zBq (z)qH (z) =pA (z)1+ åap (k )zk =1- kp* (1/ z*)BP (z) = s×2v功率谱:xA (z) A* (1/ z*)pp2A (e jw ) 2P (e) = s×wwj2jorB (e)xvqp功率谱为这种形式的随机过程称为ARMA(p,q)过程。注意ARMA(p,q)过程的功率谱有 2p 个极点和 2q 个零点，并具有镜像对称性质。例 ARMA(2, 2)随机过程。一个 ARMA(2,2)过程的功率谱如图，它是白噪声通过一个两极点两零点的线性移不变滤波器 H(z)而产生。H (z) =1- 0.5562z-1 + 0.81z-21+ 0.9025z-2± jp± j 2p零点z =